揭開“最速降落”問題的謎
把不在同一鉛垂線上的兩點A、B，用怎樣的一條曲線連接起來，才能使得在重力作用下，當質點沿著它由A滑至B時，所用的時間最少？
人們為了揭開它的謎底，曾經經曆了相當漫長的時間。
16世紀以前，幾乎所有的人都認為：沿連接AB的線段滑落用時最少。理由是：在連接A、B的所有曲線中，線段AB最短。少走路，“自然”少花時間。
到了17世紀初，意大利比薩城的那位智者，大名鼎鼎的伽利略（Galilei，1564～1642），也對最速降落問題進行了思考。伽利略覺得此事沒有那麼簡單！他認為最速降落曲線似乎應當是過A、B而切於過A點鉛垂線的一段圓弧。理由是：質點開初是以接近自由落體的速度下滑的，雖然圓弧AB比弦AB要長一些，但在下滑路程中有很長一段路，質點是以很高的速度通過的。從總體上講，用的時間比沿直線AB要更短些！
公元1696年，瑞士數學家約翰·貝努利（Bemoulli Johann，1667～1748）呼籲數學家們重新研究這個問題。他認為伽利略雖然提出了正確的思路，但伽利略沒有講清下滑曲線是圓弧的道理。為此，約翰·貝努利和他的哥哥雅各·貝努利，以及牛頓、羅必達等數學家，對此作了深刻的研究，終於發現連接A、B兩點的最速降落曲線，即非直線也非圓弧，而是一條圓擺線！
比如：當一枚錢幣在直線上滾動的時候，錢幣上的一個固定點P，在空間劃出一條軌線，這條軌線便是圓擺線或稱旋輪線。
設圓幣的半徑為r，取圓幣滾動所沿的直線為X軸，如圖建立直角坐標係XOY。假定初始狀態時，圓幣上的固定點P與原點O重合。則當圓幣滾動ф角後，圓必滾動到B點，且圓與X軸相切於A。作PQ⊥AB，Q為垂足。
即
這就是圓擺線的方程，它是以參數形式出現的。擺線上點的坐標都隨著旋角ф的變化而改變！
現在，讓我們回到3世紀前約翰·貝努利的、富有創造和想象的解答上來。
如圖，把質點下降的平麵分成許多間隔很小的等距離層。質點下降時，從A開始逐一地穿過這些層到達於B。由於質點滑落到P（X，y）處的動能，等於下落過程中勢能的減少，即
從而
上式表明：此時此刻質點運動的速度隻與它所在的層次有關。換句話說，下圖中的質點，在各個分層中有著各自不同的運動速度。
就這樣，約翰·貝努利靠著超人的天賦，立即聯想起光的折射：從A點發出的光線，經一層又一層的折射，到達於B0這條光線所走的路，肯定就是最速降落曲線！
妙極了！如此一個高深的問題，在一種巧妙的解析下，終於迎刃而解！
接下去的工作對於數學家來說是輕車熟路的了！假定光線在各層內的前進速度，恰等於質點在該層內的滑落速度，分別為V1，V2，V3…；進入各層時的入射角分別為a1，a2，a3…。由光的折射定律知：
當層數分得無限多時，以上式子演化為
注意到曲線的切線的傾斜角β與入射角α之間存在著互餘關係，從而
後一式子在數學上稱為微分方程。這個微分方程的解，正是前麵介紹的圓擺線。
擺線的種類極多，當P點在動圓外或動圓內時，可分別得到如同上圖的長幅擺線（Ⅱ）和短幅擺線（Ⅰ）。
如果動圓不是沿直線。而是沿定圓滾動時，也能得到形形色色的擺線，所有這些擺線家族的成員，全都非常美觀。