歐拉
人們對於列昂納德·歐拉的讚美之詞非常多，他被稱為“無與倫比的算法學家”、“應用數學大師”、“分析的化身”、“英雄世紀的數學英雄”等等。被稱為“法國的牛頓”的數學天文學家拉普拉斯曾經說過：“讀讀歐拉！讀讀歐拉！他是我們大家的老師。”阿拉哥也曾經這樣形容歐拉：“歐拉計算毫不費力，就像人呼吸、或者鷹在風中保持平衡一樣。”如果說17世紀由於創造了兩千多年以來夢寐以求的微積分而被譽為天才的世紀，那麼18世紀由於數學家們把微積分大大向前推進，並且在各個數學技術領域取得了輝煌的勝利，而成為英雄的世紀。18世紀數學英雄的最高代表就是列昂納德·歐拉。牛頓、萊布尼茲建立的微積分為世紀數學家所掌握，向數學、物理、天文和其它各個科學技術領域開拓，取得了前所未有的進步。浩浩蕩蕩向數學征戰的旗手歐拉，以他非凡的聰明才智、勤奮勞動和驚人毅力，把微積分發展成為擁有眾多分支的分析數學。這種廣義的數學分析實際上包括了對所有運動變化的定量研究。他在幾何、代數上數量龐大的發明創造，導致了一些全新的數學分支的誕生。歐拉為促進數學空前蓬勃的發展耗盡了畢生的精力：先是獻出了他的雙目，最終是他的生命。他為人類文明建立了不朽的功勳。
歐拉是曆史上最多產的數學家，他編寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，1748年在瑞士洛桑出版了《無窮小分析引論》（兩卷），這是第一部溝通微積分與初等數學的分析著作。1755年發表了《微分學原理》（兩卷），1768～1774年發表了《積分學原理》（三卷），這對牛頓和萊布尼茲的微積分與傅立葉級數理論的發展起了巨大的推動作用。1774年，他又發表了《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》一書，使變分法作為一個新的數學分支誕生了。他還是複變函數論的先驅者。在數論研究上他也作出了卓越的貢獻，著名的“哥德巴赫猜想”就是從他在1742年與哥德巴赫的通信中引申提出來的。1766年他雙目失明後，還口述完成了《代數學完整引論》，先後有俄文、德文、法文版問世，成為歐洲幾代學者的教科書。他在概率論、微分幾何、代數拓撲學等方麵都有重大的貢獻，而在初等數學的算數、代數、幾何、三角學上的創見與成就更是比比皆是，不勝枚舉。人們可以在所有數學的分支中見到他光輝的名字：歐拉公式、歐拉函數、歐拉方程、歐拉多項式、歐拉常數、歐拉積分、歐拉線。發現立體幾何中有名的歐拉定理和建立起今天三角學科學體係的就是這位大名鼎鼎的歐拉。不僅如此，在數學以外的許多學科還有一大串以他的名字命名的專門術語來紀念他的卓越貢獻：歐拉運動學方程、歐拉流動力學方程、歐拉力、歐拉角、歐拉坐標、歐拉相關，等等。他那博大精深的學識和無窮無盡的創造力永遠是人們敬慕的對象。
有人說，歐拉寫他的高超論文，恰如文筆流暢的作家給他的至親好友寫信那樣輕鬆自如；甚至有人說，歐拉能在妻子第一次和第二次催他吃午飯的不到半小時的間隙裏完成一篇論文。在這裏姑且不論這些說法是不是言過其實，但是從這裏我們多少可以看出他那無與倫比的數學才華。多產的法國數學家柯西（1789～1857）的全集有26卷；德國數學家高斯的全集有12卷；而歐拉的一生共創作了886篇論著，他的全集共有74卷之多。除了教科書以外，在他工作的時期幾乎以每年800頁的速度寫出獨具創造性的論文。如果考慮到他生命的最後17年雙目已完全失明，就更加令人驚歎不止了。甚至到了1936年，人們也無法確切地知道歐拉著作的數量，隻是估計要出版他的全部著作需要大四開本60—80卷。1909年，瑞士的自然科學協會著手收集和出版歐拉的散軼的論文時，曾經指出：“歐拉不僅屬於瑞士，而且屬於全世界。”當時他們得到了來自世界各地的許多個人和數學團體的經濟資助。可是在俄羅斯的彼得堡（列寧格勒）發現的一大堆無可置疑的手稿，經過仔細估算過的預算費用（按1909年的貨幣計算，約合8萬美元）給徹底攪亂了。的確，被盛譽為“數學家中的英雄”的列昂納德·歐拉不愧為瑞士奉獻於世界的最偉大的科學家。瑞士的埃米爾·費爾曼評論說：“歐拉不僅僅是曆史上最有成就的數學家；而且也是曆史上最博學的人士之一。……就其聲譽而言，堪與伽利略、牛頓和愛因斯坦齊名。”
一、加爾文教牧師的兒子
在瑞士北部連綿起伏的群山之中，與德、法兩國交界的地方有一顆美麗晶瑩的明珠——巴塞爾城，清澈美麗的萊茵河從她身邊輕輕流過，好似一條絲帶把城市裝扮得分外妖嬈。巴塞爾是瑞士的學術中心，曆史上曾經產生過許多著名的大科學家，聲名顯赫的伯努利家族就居住在這裏。1704年4月15日，一陣陣嬰兒的啼哭聲打破了黎明前的寧靜，巴塞爾城市居民冊上又增添了一個新居民，保羅·歐拉和瑪格麗特·布魯克的兒子列昂納德·歐拉——一顆即將升起的巨星降生了。
第二年，小歐拉跟隨雙親遷到附近的雷欣村居住，父親保羅·歐拉就在村子裏擔任加爾文教派的牧師。
其實，保羅·歐拉本人對數學頗為在行，他曾經是著名的大數學家雅各布·伯努利的高才生。可是，他自己並不想從事數學工作，而且還想要兒子長大以後和自己一樣，在鄉村教堂當牧師。
作父親的隻指望自己的兒子繼承自己的事業，不想把孩子培養成為科學家，這類事例在科學史上屢見不鮮。像高斯的父親要兒子當花匠；維爾斯特拉斯（1815～1897）的父親要兒子當文官；黎曼（1826～1866）的父親想讓兒子當牧師等等。保羅這樣打算倒也情有可原，因為當牧師畢竟比當科學家容易，何況收入更要優厚得多呢！因此，保羅對兒子從小就灌輸了極其嚴格的宗教思想，什麼早禱告、晚禱告，每天必做，甚至在每餐飯之前都還要大講一通主耶穌的道理。歐拉早期的宗教教育影響了他的一生，他從來沒有放棄一丁點兒他的加爾文教派的信仰。確實，當他上了年紀以後，他兜了一個大圈子又回應了他父親的召喚，他帶領全家進行家庭祈禱，通常在結束時還要做一番講道。
但是保羅·歐拉有個不壞的“毛病”，就是在每到高興的時候，他會拋開天國和上帝，眉飛色舞地講起人世間迷人的自然數和三角形來。憑著他向善男信女們布道時練就的好口才，保羅把數學講述得繪聲繪色，妙趣橫生，完全將小歐拉迷住了，熱愛數學的種子就這樣默默地埋在了孩子的心田。
中學畢業以後，歐拉順從了父親的意願來到巴塞爾大學學習神學和希伯萊語。不過他心裏明白自己真正應當做的是什麼。這時保羅當年的老師雅各布·伯努利已經去世，由他的弟弟約翰·伯努利接替他擔任數學講座教授。約翰本來是位醫術高明的醫生，後來受到他哥哥雅各布的影響改攻數學。他28歲時出任荷蘭格羅寧根大學的數學教授，並且多次奪得法國科學院頒發的研究獎，成為馳名歐洲的大數學家。數學界至今仍流傳著一段有關他的軼事。為了微積分發明的優先權，約翰站在萊布尼茲一邊，同牛頓產生了相當激烈的爭論。但是，牛頓在他心目中仍然無可爭辯地享有崇高的地位。年輕時的約翰有一次在英國旅行，遇到一個外國人。這人身體微胖，長發披肩，顯然受到周圍人的極大尊敬。約翰不避嫌疑上前謙遜地介紹自己：“我是約翰·伯努利。”“我，”那人冷冷地回答，“是伊薩克·牛頓。”約翰把與牛頓的這第一次意外的會見看作是自己一生中所接受的最高貴的禮物。
這時約翰雖然已經年過半百，但是精神矍鑠，講起課來旁征博引，生動而富有感情。每逢他上課，教室裏總是座無虛席。歐拉也常去聽約翰的課。坐在教室最前排的歐拉特別引人注目。在他高高的額頭下閃爍著一對天真無邪的大眼睛。不過說他是個孩子恐怕更確切些，因為那時他的年齡最多不過十二三歲，個子足足比一般的同學矮一頭，大學生們都把他當小弟弟看待，並沒有把他放在眼裏。可是，人不可貌相。有一次，約翰在講課中無意間提到一個當時的數學家們還沒有解決的大難題。誰知下課鈴一響，歐拉不聲不響地交給他一份答案。約翰看著看著，幾乎不敢相信自己的眼睛。雖然歐拉的解答還稱不上是真正完備的，但是他構思的精巧和大膽使約翰清楚地意識到，站在自己麵前的這個瘦小的孩子，將是未來的數學巨人。這個意外的發現使約翰非常興奮，他當即決定每星期在家單獨為歐拉授課一次，幫助這個孩子盡快成長。有這樣的好機會，歐拉連做夢也沒有想到，心裏真有說不出的高興。歐拉為了盡可能少帶問題去見老師，他把一周的業餘時間都用在準備下一次課上。果然，在名師的精心指導下，歐拉的數學取得了突飛猛進的進展。他的勤奮和才能也深深的吸引了約翰的兒子丹尼爾·伯努利和尼科拉斯·伯努利，他們從此成為終身好友。
歐拉在15歲的時候獲得了巴塞爾大學的學士學位，17歲又獲得碩士學位。父親保羅要他放棄數學，把全部的精力都放在神學上。歐拉雖然篤信上帝，可是要他去做專職的神職人員，他從心底裏不願意。不過，他是個孝順的兒子，不願公然違抗父親的意誌。正在歐拉感到左右為難的時候，伯努利父子知道了這個情況，趕來為他說情。
“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才華橫溢的青年人，但是要和您的兒子比起來，他們都相形見絀。如果我的眼光不錯，您的兒子無疑將是瑞士未來最了不起的數學家。”約翰壓製著內心激動的心情接著說，“為了數學，為了孩子，我請求您重新考慮您的決定。”
保羅不是個鐵石心腸的人，他理解約翰，也理解兒子的心情。深孚眾望的伯努利教授的一席話使得保羅認真地考慮起來。最後他改變了初衷，雖然這樣做可能會給家裏的生活帶來困難。從此以後，歐拉再也不用等到父親熟睡以後才偷偷起床來做他的計算，也不用再在數學書籍的外麵套上一張聖經的書皮來逃避父親的注意。他像放出樊籠的蒼鷹衝向自由的藍天，又像餓虎撲向麵前的食物。從古希臘的經典著作到牛頓的《自然哲學的數學原理》，恨不得一古腦地把它們全都嚼碎吞下。這些豐富的知識再好不過地促使他飛速成長。
二、在沙皇統治下的彼得堡生活
轉眼到了1727年，春風吹綠了巴塞爾的大地。年輕的歐拉滿懷創造的激情，躍躍欲試。19歲的他獨立作出了他的第一項工作。
當時歐洲的科學院有個通行的做法，他們把各國政府或者有關部門提出的科研項目，設置獎金公開征求解答。在這些題目中有相當一部分同航海有關，因為隨著航運事業的發展和連續不斷的海上戰爭，各國政府愈來愈關注海洋的控製權。那一年，法國巴黎科學院提出在船上裝桅杆的問題作為1727年的授獎問題。巴黎獎金是一項崇高的榮譽，對數學家來說，能贏得一次這樣的榮譽就足慰平生了。歐拉決定利用這次機會考驗一下自己，同時也向世人證實自己的能力。從某種意義上來講，歐拉的處女作是他一生全部工作的縮影，它既顯示出歐拉的力量，又暴露了他的弱點。歐拉的力量在於分析——技術性的數學，他是分析學精妙絕倫的大師，又是頂呱呱的方法發明家的運算的巨匠。分析的利劍一到他的手中真可謂是無堅不摧，無攻不克。而歐拉的弱點在於他有的地方距實際太遠，如果它還與實際有關的話。當我們記起關於並不存在的瑞士海軍的傳統笑話時，這個弱點就不足為奇了。歐拉可能曾經在瑞士的湖泊中見到過不多的幾艘劃槳的小船，但從未見到過海洋中一艘真正的大船。他因為讓他的數學帶走了他的實際意識而受到過嚴厲的批評，這些批評有時是公正的。對歐拉來說物質世界隻是數學的一種特殊情況，它本身幾乎沒有什麼意思，要是這世界沒有符合他的分析，那是這世界出了毛病。評選的結果，歐拉的論文得到了很高的評價，但是沒有獲獎。這算不了什麼，歐拉從這次工作中得到了非常有益的鍛煉，後來他以12次獲得這項獎金來補償這次失利。
同年，在朋友們的慫恿下，歐拉向巴塞爾大學申請教授職位。可惜他資曆尚淺，雖然經約翰·伯努利的極力推薦，還是被校方拒絕了。接連的挫折並沒有使歐拉氣餒，反而激起他更加勤奮的學習。這時，丹尼爾·伯努利正在彼得堡大學任數學教授，他一口答應為歐拉在彼得堡科學院謀個差事，並且一直與歐拉保待經常的通信聯係。
歐拉在他事業的這個階段，似乎對他自己應該做些什麼無所謂，隻要是與科學有關的就行，當伯努利的信上說到在彼得堡科學院的醫學部可能有一個空位子，歐拉在巴塞爾就一頭紮進生理學當中，並聽了醫學講座。但是甚至在這個領域，他也不能擺脫數學：耳朵的生理構造使他聯想到對聲音的數學研究，這又擴展到對波的傳播的另一項數學研究，他寫下了一係列聲學方麵的重要論文，使這個領域成為數理物理學的一個重要分支。這些早期的研究，在歐拉的一生中就像一棵樹在惡夢中瘋長那樣不斷擴大範圍。在這裏，還有一個例子可以證明這一點：歐拉十分喜愛的羅馬大詩人維吉爾（前70～前19）的國民史詩《埃涅阿斯記》中有這樣一句詩：“錨拋下了，前進的大船停了下來。”讀到這裏，恐怕誰也不會想到它和數學有什麼聯係。可是，歐拉在這裏卻禁不住要對船體在這種狀態下的運動作一番詳細的計算。
丹尼爾是位動作很快的人。歐拉在1727年收到了彼得堡工作的邀請，職務是作為科學院醫學部的助理。在這個科學院有一項聰明的規定：責成每一位外來成員帶兩個學生——實際上是需要訓練的初學者。歐拉興高采烈地打點起行裝匆匆起程。一路上，歐拉眺望著一閃而過的茅舍、田野，憧憬著美好的未來，心中充滿了希望。他感到渾身有使不完的力量，恨不得插翅飛到彼得堡，立即開始工作。
可是一到彼得堡，前來迎接的丹尼爾滿麵愁容，他讓歐拉先好好休息，根本不提工作的事。原來就在歐拉踏上俄羅斯土地的那一天，在位剛剛兩年的開明的俄國女皇葉卡捷琳娜一世猝然去世。
葉卡捷琳娜在成為彼得大帝的妻子之前是他的情婦，她似乎是一個在許多方麵都很開明的女人，正是她，在她僅僅兩年的在位期間，實現了在彼得堡建立科學院的願望。葉卡捷琳娜去世後，在年幼的沙皇彼得二世（1715～1730）未成年期間，權力旁落到一個異常殘忍的小集團手裏（年幼的沙皇在開始自己的統治前就死了，也許這對他自己倒是幸運的事）。俄國的新統治者們把科學看成是可有可無的奢侈品，在令人焦急的幾個月中，他們考慮著要取消它，遣返所有的外國成員。這就是歐拉剛剛到達彼得堡時的局麵。在混亂中，對他要提任的醫學位置沒人管了，丹尼爾四處奔走求告，結果一無所獲。歐拉隻得悶坐在家裏一籌莫展。這時候，俄國海軍部正在招考海軍軍官，為了生活，歐拉決定去碰碰運氣。半個月以後，歐拉早早來到涅夫斯基大街看結果。平日冷冷清清的海軍部大樓門前，今天熙熙攘攘，人頭濟濟。有的喜形於色，有的故作鎮靜。歐拉不安地在遠處向貼榜處看去，心頭不由一震。榜上的名字雖然寫得密麻麻，但是他一眼就看出，第一個名字不是別人，正是列昂納德·歐拉！他揉揉眼睛湊到近處再仔細一瞧，果然不錯。不知道是身體不適還是今天彼得堡的寒風格外凜冽，他感到背上好像被人澆了一桶冷水，渾身發涼。他裹緊圍巾，翻起大衣領子，被人群推擠著恍恍惚惚地向外走。錄取無疑可以使他擺脫生活的困境，但是成為海軍中尉畢竟不是他的理想。看來已經沒有兩全其美的好方法，隻有聽從命運的安排了。正在這時，一輛馬車飛馳而至，滿頭大汗的丹尼爾跳下車來一把將歐拉抱住。事情有了意想不到的轉機，經過再三交涉，沙皇政府終於同意歐拉去科學院工作了。歐拉簡直不敢相信這個“天上掉下來”的喜訊，他握住丹尼爾的雙手久久說不出一句話來，眼眶裏閃爍著喜悅的淚花。
在這以後情況逐漸好了起來，歐拉也就安定下來專心投入工作。這倒不全是因為他完全沉浸在數學之中，部分原因是到處都有奸詐的告密者，稍不留心就可能惹上麻煩。他不敢過正常的社交生活。流放和處決的消息不時傳來。數學部有位同事因為傳抄一首無名作者的無題詩，被遣送到西伯利亞。
1730年，小沙皇夭折，安娜·伊萬諾夫娜（即安娜女皇，彼得大帝的侄女，1693～1740）即位成為新的女皇。就科學院而言，情況大大變好了。但是在安娜的情夫歐內斯特·若阿·德·比隆（1690～1772）的間接統治下，整個俄國遭受了它曆史上的一段最血腥的恐怖統治。歐拉不聲不響地專心於他的工作，這樣持續了10年之久。1733年，丹尼爾厭倦了令人生畏的俄國，回到自由的瑞士去了。而歐拉在他26歲時登上了彼得堡科學院的主要教學位置。
歐拉覺得他終生都要呆在彼得堡了，他決定結婚，定居下來，隨遇而安。他的夫人叫凱塞琳娜，是彼得大帝帶回俄國的畫師格塞爾的女兒，溫柔賢淑，持家有方。婚後的生活恩愛美滿。政治形勢變得更加惡劣了，歐拉比以前更加強烈地渴望回瑞士工作。無奈小生命一個接一個的出世，使離開的希望化為泡影。歐拉夫婦先後生育的子女達13個之多（除5個以外，其餘的都在幼年時夭折），堪與歐拉在科學上的多產相媲美。歐拉感到他被拴得比以前更緊了，於是在不停的工作中尋求慰藉。一些傳記作者把歐拉無與匹敵的多產歸於他在俄國的這第一次留居；應有的謹慎迫使他養成了一種牢不可破的勤奮的習慣。
歐拉是一位能在任何地方、任何條件下工作的大數學家。他非常喜歡孩子。常常是一邊懷抱著一個嬰兒一邊寫他的論文，同時稍大一點的孩子們在他周圍嬉戲著。他寫最困難的數學論文時的那種輕鬆自如是令人難以置信的。同時，他又是位慈祥而稱職的父親，他為子女的教育付出了大量的心血。每到晚上，孩子們圍坐成一圈，由歐拉親自布置和檢查他們的作業，解答他們的問題。他還編了許多數學趣題啟發他們的思考。下麵就是其中的一個：
“父親臨終時立下遺囑，按下述方式分配遺產：老大分得100克朗和剩下的1/10；老二分得200克朗和剩下的1/10；老三分得300克朗和剩下的1/10；老四分得400克朗和剩下的1/10；……依此類推分給其餘的孩子。最後發現所有的孩子分得的遺產相同。問遺產總數和孩子總數以及每個孩子分到的遺產各是多少？”
一道初等數學的簡單應用題，經過歐拉的精心編寫，大大激發起孩子們的學習興趣。但是，最受孩子們歡迎的還是他那講不完的故事和詩朗誦，如果他有空能和孩子們在一起唱歌遊戲，消磨一個愉快的晚上，更會使孩子們久久難忘。孩子們的嬉笑聲和朗朗的讀書聲時時從窗口飄出來，許多過路的行人還以為這裏一定開辦著一個很好的幼兒園呢！
歐拉是那種極為罕見的數學家，就在子女繞膝、笑鬧之聲不絕的環境中，在沙皇恐怖統治的濃重陰影下，一篇篇論文源源不斷地從歐拉的手中流出。他用拉丁文寫的論文深入淺出，雅俗共賞，字句極少改動。尤其是他創造了現代數學的語言，更使他的作品受到廣泛的歡迎。一篇文章一完成就放在不斷增加的一堆文章的最上麵，等著印刷工來取走。當科學院的學報需要材料時，印刷工就從這一堆文章的最上麵拿走一摞。於是就出現了這樣的情況：出版日期的先後經常與寫作日期的先後相反。歐拉有一個習慣，為了闡明或者擴展他已經做過的工作，他多次會回到同一個題目上，這種習慣更加劇了這種古怪的情形，以致有的時候，關於某一個論題的一係列文章的出版順序與寫作順序是經常顛倒的。
轉眼間到了1736年，歐拉在彼得堡已經度過了十個春秋。作為科學院數學部的負責人，他麵前有一大串的課題需要研究。那時他正在修改一篇《論力學》的重要論文，準備付印。他為力學所做的，正是100年以前笛卡爾為幾何所做的。他把微積分的全部力量第一次用來對付力學，使力學擺脫了傳統所采用的幾何的綜合論證方法的束縛，而成為分析的科學，從而開創了這門基本科學的現代新紀元。其實，在彼得堡的14年中，他在分析學、數論和力學等方麵作了大量出色的工作，他還應俄國政府的要求，解決了不少諸如地圖學、造船業中的實際問題。
一天，吃完午飯，歐拉點燃煙鬥，拿起剛剛送到的信件閱讀起來。從歐洲各地向他求教的來信每天都有一大堆。今天有一封從柯尼斯堡的來信引起了歐拉的特別興趣。偏僻的東普魯士的柯尼斯堡坐落在美麗的普雷格爾河畔，河上旖旎的風光吸引了小鎮的居民來這裏散步、休息、野餐、垂釣。普雷格爾河上有兩座小島，從河的兩岸分別有三座橋和它們相連，同時又有一座小橋把兩個小島連接起來。時間一久，有位愛思考的居民提出來一個有趣的問題：一個散步的人能不能一次走七座橋，而且每座橋隻能走一次？這個問題誰也回答不了。有人說可以，可是走來走去，始終沒能完成；有人說不行，可惜又說不出令人信服的理由。這個不大不小的問題竟然一下子難住了全鎮的居民和外地遊客。於是，一位小學教師寫信向大名鼎鼎的歐拉求教。