探索發現型問題的解題策略
數學教學與研究
作者：洪三球
1.引言
初中數學中的“探索發現”型試題是需要經過推斷、補充並加以證明的命題，它不像傳統的解答題或證明題，定型於“條件—演繹—結論”這樣一個封閉的模式中。由於命題中缺少一定的題設或未給出明確的結論，因此必須利用題設大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由條件去探索不明確的結論；或由結論去探索未給予的條件；也或者去探索存在的各種可能性及發現所形成的客觀規律.
在近幾年的中考試題中，探索性問題屢屢出現，出題的角度越來越新穎，考察的能力要求越來越高，深受關注.但是，數學探索性問題的出現在一定程度上給學生的解題帶來了諸多困難，也給教師的教學提出了新的挑戰，為此，筆者現就數學探索性問題的解題策略作探討.
2.“探索發現”型問題的解題方法
此類問題由於題型新穎、綜合性強、結構獨特等，一般並無固定解題思路模式，但是可以從以下幾個角度考慮.
2.1利用特殊值（特殊點、特殊數量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規律.
2.2反演推理法，即先假設結論成立，根據假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致.
2.3分類討論法.當命題的題設和結論不唯一，難以統一解答時，則需要按可能出現的情況，分門別類加以討論求解.
2.4類比猜想法，即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，並加以嚴密論證.
以上所述並不能全麵概括此類命題的解題策略，因而具體操作時，應更注重數學思想方法的綜合運用.
3.“探索發現”型問題的分類及知識運用舉例
3.1條件探索型：這類題結論明確，需要去探索發現使結論成立的條件.
對應的解題策略有：
（1）模仿分析法.將原的題設和結論視為已知條件，分別進行演繹再有機地結合起來，推導出所需尋求的條件.
（2）設出題目中指定的探索條件，將此假設為已知，結合題設條件列出滿足結論的等量或不等量關係，通過解方程或不等式，求出所需尋找的條件.
例1：已知，（1）當點O與AB有怎樣的位置關係時，∠ACB是直角？（2）在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB於D，當CD與AB有什麼樣的關係時，△ABC∽△CBD∽△ACD？（3）畫出符合（1）、（2）題意的兩種圖形，使圖形的CD=2cm.
解析：（1）當點O在AB上（即O為AB的中點）時，∠ACB是直角；
（2）∵∠ACB是直角，∴當CD⊥AB時，△ABC∽△CBD∽△ACD；
（3）作直徑AB為5的⊙O，在AB上取一點D，使AD=1，BD=4，過D點作CD⊥AB交⊙O於C點，連接AC、BC，即為所求.
評注：本題是一個簡單的幾何條件探索題，它突破了過去“假設—求證”的封閉式論證，而是給出問題的結論，逆求結論成立的條件，強化了對學生通過觀察、分析、猜想、推理、判斷等探索活動的要求.看似平常，實際上非常精彩.
3.2結論探索型：這類題條件已知但無明確結論或結論不唯一，需要探索與條件相對應的結論.
對應的解題策略有：
（1）運用定義或定理直接導出結論；（2）通過具體到抽象，特殊到一般的歸納獲得結論，再給出嚴格證明；（3）通過類比，聯想，猜測出結論，再加以證明.
例2：（2007北京市改編）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
（2）在△ABC中，如果∠A是不等於60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，並證明你的結論.
解：（1）回答正確的給1分（如平行四邊形、等腰梯形等）.
（2）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE.
作CG⊥BE於G點，作BF⊥CD交CD延長線於F點.
因為∠DCB=∠EBC=∠A，BC為公共邊，
所以△BCF≌△CBG.所以BF=CG.
因為∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC.