柯西不等式推論的應用
商界論壇
作者：寧紀獻 覃發崗
摘要：對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然後給出了其推論的應用。
關鍵詞：不等式；應用；柯西不等式
1.引言
柯西不等式[1]是數學中一個非常重要的不等式，它結構對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛.它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應用.
2.柯西不等式的推論
2.1柯西不等式的基本形式
柯西不等式已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，則∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，當且僅當a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n時等號成立.
2.2柯西不等式的推論
下麵給出它常見的四個推論.
推論1[2]設a1，a2，…，an是實數，則n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2，等號成立當且僅當a1=a2=…=an.
推論2[2]設a1，a2，…，an是正實數，則∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2，等號成立當且僅當a1=a2=…=an.
推論3[3]已知aii=1，2，…，n是正數，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，則
∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.
推論4[3]已知aii=1，2，…，n是正數，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，則
∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.
3.主要結果
3.1應用推論一
例1已知：x1，x2，…，xn∈R，滿足
x1+x2+…+xn=aa>0，且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2，n∈N，
求證：0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
證明由x1+x2+…+xn=a得，a-xn=x1+x2+…+xn-1，由推論一得，
a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n
故（a-xn）2a2-（n-1）x2n，所以0xn2an。
由x1，x2，…，xn的對稱性，有0≤xi≤2ani=1，2，…，n.
3.2應用推論二
例2非零實數a1，a2，…，an滿足a1+a2+…+an=1，求證：
y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1
有最小值並求之。
解a1+a2+…+an=1由，得
a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1
同理可得
a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2