函數定義域與思維品質
數學教學與研究
作者：唐金春
思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.函數作為高中數學的主線，貫穿於整個高中數學的始終.函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值範圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質十分有益.
一、函數關係式與定義域
函數關係式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關係式時必須考慮所求函數關係式的定義域，否則所求函數關係式可能是錯誤的.如：
例1：某單位計劃建築一矩形圍牆，現有材料可築牆的總長度為100m，求矩形的麵積S與矩形長x的函數關係式.
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）
故函數關係式為：S=x（50-x）.
如果解題到此為止，則本題的函數關係式還不完整，缺少自變量x的範圍，也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數或不小於50的數時，S的值是負數，即矩形的麵積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的範圍：0
即函數關係式為：S=x（50-x）（0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值範圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好的思維嚴密性.
二、函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.如：
例2：求函數y=x-2x-3在[-2，5]上的最值.
解：∵y=x-2x-3=（x-2x+1）-4=（x-1）-4
∴當x=1時，y=-4
初看結論，本題似乎沒有最大值，隻有最小值.產生這種錯誤的根源在於學生是按照求二次函數最值的思路來做的，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維呆板的一種表現，也說明學生的思維缺乏靈活性.
其實以上結論隻是對二次函數y=ax+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區間[p，q]上，它的最值應分如下情況：
（1）當-p時，y=f（x）在[p，q]上單調遞減函數f（x）=f（p），f（x）=f（q）；
（3）當p≤-≤q時，y=f（x）在[p，q]上最值情況是：
f（x）=f（-）=，
f（x）=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.
故本題還要繼續做下去：
∵-2≤1≤5
∴f（-2）=（-2）-2×（-2）-3=-3
f（5）=5-2×5-3=12
∴f（x）=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
∴函數y=x-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12.
這個例子說明，在函數定義域受到限製時，若能注意定義域的取值範圍對函數最值的影響，並在解題過程中加以注意，便體現出思維的靈活性.
三、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.如：
例3：求函數y=4x-5+的值域.