凸函數的幾個定義及關係
教育論壇
作者：程雙青
摘 要：凸函數是一重要的概念，它在許多學科裏有重要的應用，在研究生入學試題中，也時有涉及。本文主要是概述凸函數的幾種不同的定義及它們的關係。
關鍵詞：凸函數；嚴格凸函數；等價
1.凸函數幾種不同的定義
定義111（凸函數）設f為定義在區間I上的函數，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數λ∈（0，1），總有
fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2（11）
則稱f為I上的凸函數。
如果（11）中不等式改為嚴格不等式，則相應的函數稱為嚴格凸函數[1]。
現代數學多數采用這種定義，除此之外，還有其他形式的定義。
定義112 fx在區間I上有定義，fx稱為I上的凸函數，當且僅當：x1，x2∈I，有
fx1+x22≤fx1+fx22（12）
如果（12）式中不等式改成嚴格不等式便是嚴格凸函數[2]。
定義113 fx在區間I上有定義，fx稱為是凸函數，當且僅當x1，x2，……，xn∈I有
fx1+x2+……xnn≤fx1+fx2+……+fxnn（13）
如果（13）式中不等式改成嚴格不等式便是嚴格凸函數的定義[2]。
定義114 fx在區間I上有定義，當且僅當曲線y=fx的切線恒保持在曲線以下，則稱fx為凸函數。若除切點之外，切線嚴格保持在去線的下方，則稱fx為嚴格凸函數[3]。
2.幾個定義的關係
定理211 定義112與定義113等價
證明 1定義112定義113
這裏采用反向歸納法，其要點是：（1）證明命題對於自然數的某個子序列成立；（2）證明命題當n=k+1成立時，必對n=k也成立。
1由式（12）知式（13）當n=2時成立，現證n=4時式（13）成立
事實上，x1，x2，x3，x4∈I，由式（12），我們有
fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422
≤fx1+x22+fx3+x422
≤fx1+fx2+fx3+fx44
此即式（13）對n=4成立，一般來說，對任一自然數k，重複上麵方法，應用（12）式k次，可知
fx1+x2+……+x2k2k≤fx1+fx2+……+fx2k2k
這說明式（13）對一切n=2k皆成立。
2[證明式（13）對n=k+1成立時，必對n=k也成立]記
A=x1+x2+……+xkk，則x1+x2+……+xk=kA，所以
A=x1+x2+……+xk+Ak+1
由式（13）對n=k+1成立，故
fA=fx1+x2+……+xk+Ak+1
≤fx1+fx2+……+fxk+fAk+1
不等式兩邊同乘以k+1，減去fA，最後除以k，我們可以得到