由一道數學題引發的思考
數學教學與研究
作者：劉迎春
數學，是一門奇妙的科目.正如一句名言：條條大路通羅馬.在數學的世界裏，不同人的思維就像是一條條修好的路，有的很短，有的通向死胡同，有的迂回曲折卻通往正確的終點.然而，數學的魅力正在於此，因為到達同一目的地的路不同，所以領略的風景不同，在與同伴分享風景的過程中所迸發的思維火花是極其炫彩奪目的.高中數學老師應該引領學生尋找終點，而不是要求他們走同一條路，當有數學題可以多解，且方法巧妙時，便足以可以引發我的思考.
高二時，一次周五大課間，有位學生來找我，拿著我今天早上才講的卷子.頓時，我心生疑惑：一向數學很好的學生難道聽不懂我講的課嗎？所以在疑惑中我和他開始交談.原來，他是為那道我做了很長時間，通過冗長計算得出結果的解析幾何題而來的.看著他信心滿滿的樣子，我分析了他的解題過程.
∵點P在橢圓內部，直線l與橢圓恒有兩個交點，
∴點M的軌跡方程為：
3x（x-1）+4y（y-1）=0
對於數學老師來說，麵對很熟悉的解析幾何題，要保證全班學生都能接受自己的做法，一般都會采用設點的坐標和直線方程，與橢圓方程聯立之後運用韋達定理，再根據題目求解，消除未知數，得到正確答案.而且在大型考試中，過程很重要，按照按步給分原則，聯立所設方程與橢圓、雙曲線或者拋物線方程，根據韋達定理得出式子就可以得到一半的分數，所以在講課做題的過程中所采用的方法普遍都是這個通用保險但繁瑣的聯立韋達法.看了這位同學的方法後，我覺得甚是慚愧.按部就班的方法固然比較安全，但是技術含量低、思維量小而運算量大.誠然，點差法無疑是解決含有中點問題的最好的方法.這道解析幾何題涉及弦AB的中點坐標，且弦AB的斜率等於MP的斜率，所以點差法可以大大減少運算量，並且減少計算錯誤，提高正確率，達到事半功倍的效果.
這道數學題讓我思考了很多，其中有數學思維方麵的，也有教學方麵的.
在數學思維方麵，通過這道題，我認為墨守成規隻能坐吃山空.凡事都要試一試，多向幾個方向走走，就算碰壁，也會很有收獲，至少比照貓畫虎強.思維，尤其是數學思維，更多的是練，隻有一次又一次地練習才能開闊自己的思維，才能注意到別人注意不到的細節，想到別人想不到的聯係，這有可能正是解題的關鍵.就像剛剛那道解析幾何，題目中涉及中點和斜率，在表示形式上很相近，而要表示出坐標差的關係同時用到中點的意義，隻有兩式相減，運用公式轉化成我們所期盼的形式，這就是運用點差法解這道題的思維過程.當這種思維慢慢開始形成，並在一次次嚐試中取得成效時，就會變成經驗，經過總結，成為方法.同時，在思考過程中，在思維碰撞的過程中，那種數學帶來的歡愉、興奮和滿足感也是不可替代的.所以，在看到一道數學題時，多聯想，特別是在平時的練習中，時間和精力都是充沛的，也不害怕錯誤，所以我們要盡可能地發散自己的思維；在考試的時候，碰到不熟悉的題目，可以先嚐試用自己的所謂簡便方法，若是看不到希望，就果斷放棄，為了節省時間再用常規方法試著解題.總而言之，思維的廣泛性和靈活性對於數學這門學科是很重要的，而這種東西不是與生俱來的天賦，而是需要反複不斷嚐試和練習才會擁有的本領.作為高中數學老師，我認為我更應該在學生思維的基礎上發散自己的思維，用自己的思考帶給學生更美更神奇的數學世界.