在祖衝之之後改進測影方法的人士很多,其中最著名的是元代天文學家郭守敬。郭守敬(1231-1316年),字若思,順德邢台(今河北省邢台市)人,中國古代傑出的科學家,在天文儀器製造、天文觀測和水利工程等科學技術領域取得過卓著成就。對傳統立表測影技術加以改進,就是他的諸多科學成就之一。
縱觀中國天文學史,除了祖衝之從理論上革新了對冬至點的測定方法之外,曆代的曆法製訂者為求得準確的冬至時刻,大都從提高測量精度出發,反複探索,不斷增加測量時的最小讀數單位。傳統的最小測量單位是分,為了提高精度,古人在分之下又增加了厘、毫、秒等單位,在最小單位下,還增加了強、半、太、少等估讀數字。據《歲時記》一書記載:“晉魏宮中以紅線量日影,冬至後日添長一線。”這裏甚至以線的直徑作為最小讀數單位。這些,都反映了古人為提高測量精度所做的努力。
但是,從增加讀數單位的角度出發去提高測量精度,其效果是有限的,它受到人眼分辨能力的限製。分以下的那些單位,實踐中也很難被準確讀出。為了解決這一問題,郭守敬提出了用高表測影的設想,並將其付諸實施。《元史·曆誌》詳細記述了郭守敬的這一發明及其指導思想:“舊法擇地平衍,設水準繩墨,植表其中,以度其中晷。然表短促,尺寸之下,所為分秒大半少之數,未易分別。今以銅為表,高三十六尺,端挾以二龍,舉一橫梁,下至圭麵,共四十尺,是為八尺之表五。圭表刻為尺寸,舊寸一,今申而為五,厘毫差易分別。”這段話意思是說:傳統立表測影方法是,選擇一塊地麵平坦的地方,用水平儀檢驗圭麵,使其處於水平狀態,在相應地點豎起一根表,用在表頂懸錘的方法校正表身,讓它位於鉛直方向,以此測量影子真正的長度。這些方法雖好,但是表的高度不夠,隻有8尺。表低了它的影子就短,測量時尺和寸以下的那些單位,就是平常所說的分、秒以及大、半、少這些讀數,不容易區分開來。現在用銅做成表,高36尺,銅表頂端連接兩條龍,兩條龍托著一根橫梁,從橫梁到圭麵共高40尺,是傳統8尺之表的5倍,圭麵上刻著尺寸。既然表高是原來的5倍,影子長度也相應地增加到原來的5倍,過去1寸的長度,現在是原來的5倍,它下麵的那些厘毫等單位,就容易區分開來了。
從這段話中可以看出郭守敬的指導思想,他認為傳統測影方法讀數精度太低,原因在於分、厘、毫、秒這些單位太小了,肉眼難以將其區分開來。要想將其區分開來,就需要增加其實際長度,圭麵上讀數單位的長度增加了,為保持測量值的不變,就需要將表的高度也增加相應倍數。於是,這就需要建造高表。
郭守敬的分析並不正確,高表增加了影子長度,但測量影子時的實際讀數精度並不因此而改變。不過,郭守敬樹高表的做法卻是合乎科學的。根據現代誤差理論,測量的準確度通過其相對誤差表現出來,而相對誤差等於絕對誤差與測量值的比值,即:
相對誤差=絕對誤差測量值就立表測影而言,絕對誤差反映了讀數精度,測量值則反映了相應的影長。在高表情況下,讀數精度不變,即絕對誤差不變,但影長卻增加了,顯然,影長增加幾倍,相對誤差就縮小同樣的倍數,這意味著測量的準確度也提高了同樣的倍數。
郭守敬的高表製作得十分精細。他把傳統的單表表頂改為用雙龍高擎著的開有水槽取平的銅梁,石圭圭身處於子午方向,圭麵上也鑿有水槽,並且是環通的,以便取平。表身則略向北傾,梁上懸下三條鉛垂線,取錘尖連線為表影起點。所有這些,考慮得十分周到。
隨著時間的推移,郭守敬的高表已然消失,但其測影遺址卻至今猶存。這就是現今河南登封告成鎮上巍然屹立的觀星台。近年來,有關部門曾對它做了測量,發現它的石圭的方位與當地子午線幾乎完全一致。用郭守敬方法進行實地測影,也達到了預期的效果。登封觀星台是世界著名的古天文台遺址、全國重點文物保護單位。1975年國務院曾經撥款修葺,對維護該遺址起了重要作用。郭守敬高表是傳統表高的5倍,在同樣的成影清晰度情況下,其測量的準確度也相應地提高到了原來的5倍。但是,隨著表高的增加,成影清晰度必然隨之下降,這是盡人皆知的事實。郭守敬把這種現象叫做:“表長則分寸稍長,所不便者,景虛而淡,難得實影。”(《元史·天文誌》)“景虛而淡,難得實影”8個字,一針見血地道出了高表所造成的影端嚴重模糊現象。如不解決這一問題,高表測影所帶來的優越性將被抵消殆盡。
郭守敬發明了景符,徹底解決了這一問題。所謂景符,實質上是個小孔成像器。《元史·天文誌》詳細記述了景符的形製:“景符之製,以銅葉,博二寸,長加博之二,中穿一竅,若針芥然。以方閏為趺,一端設為機軸,令可開闔。栳其一端,使其勢斜倚,北高南下,往來遷就於虛梁之中。竅達日光,僅如米許,隱然見橫梁於其中。舊法一表端測晷,所得者日體上邊之景,今以橫梁取之,實得中景,不容有毫末之差。”譯成現代漢語,意思為:景符是用薄銅片製做的,薄銅片寬2寸,長4寸,上麵穿有一個像針或芥菜籽那麼大的小孔。用正方形的銅框為底座,底座的一側裝有轉軸,薄銅片可以繞著該軸轉動。把銅片的一頭支撐起來,使其成為傾斜狀態,北邊高南邊低,讓它在橫梁的虛影中來回移動,選擇合適的角度和位置,將其安置下來。穿過小孔達到圭麵上的日光,形成一個米粒大小的太陽的像,在其中隱隱約約可以看到橫粱影子。過去的方法用一個表測量影長,測出的是太陽圓麵上邊緣對表頂端的投影,而現在以橫梁代替過去的單表,測出的結果反映了太陽圓麵中心的投影,結果不會有絲毫的差錯。