對一個16歲的孩子，小說和詩歌不再吸引他的興趣了，他到圖書館隻找純數學和應用數學的書來看：牛頓的書，天文學家的書，達蘭貝爾的力學的書。他把自己研究的一些東西記在一本大簿子裏。這時他發現歐拉的二項式定理隻證明有理數指數的情形，於是他給了對一般指數情形都成立的證明。
在學校他和同學相處很好，他並不因為教師對他的稱讚而恃才傲物。由於他身體不好，臉色蒼白，衣服破舊，像長期工作的裁縫，同學給他的外號是：“裁縫阿貝爾”。
1823年秋，他一舉解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。當作出這一解答時，阿貝爾覺得這個結果很重要，為了使更多人知道，他自費印刷他的論文。為了減少印刷費，他把結果緊縮成隻有6頁的小冊子。然後把這些小冊子分別寄給外國數學家，包括“數學王子”高斯，希望聽到一些回音。可惜文章太簡潔了，沒有人能看懂。
阿貝爾卓越的成就，就這樣被人忽略了。
大學畢業後，他申請得到了政府旅行研究資金，到德、法等國做了兩年訪問研究。
1826年阿貝爾到巴黎，撰寫了一篇很長的關於超越函數的數學論文，托人轉交給複變函數論的創立者柯西。可是，柯西並不重視這項成果，隨手丟到角落裏去了。阿貝爾的這篇論文，是數學史上的一個重要發現。他天天盼望回音，可是一點音訊也沒有，阿貝爾隻好又回到柏林。克雷爾為他謀求教授職位，沒有成功。
1827年5月底，阿貝爾貧病交迫地回到克裏斯汀尼亞。這時，更糟的境遇正在等待著阿貝爾。
生活對他太不公平了。無論是高斯還是柯西、泊鬆等大數學家，隻要看過他那卓越的學術研究的人說上一句話，就會使阿貝爾擺脫貧困的窘迫，不至於英年早逝。然而，他們誰也不評論阿貝爾的學術成果。阿貝爾就這樣默默無聞地生活在艱苦的境遇中，他的健康受到了嚴重的損害。
直到阿貝爾去世前不久，人們才認識到他的價值。1828年，四名法國科學院院士上書給挪威國王，請他為阿貝爾提供合適的科學研究位置，勒讓德也在科學院會議上對阿貝爾大加稱讚。
阿貝爾回到祖國以後不久，在漢斯丁教授的推薦下，擔任了一所軍事學院的數學講師，生活境遇稍有改善。
在擔任數學教師期間，阿貝爾安心地研究數學理論。他在橢圓函數論方麵的研究，到了可與高斯比肩的水平。他還研究和創立了超越函數的理論，推廣了歐拉積分的意義，後世稱其為“阿貝爾積分”。
軍事學院的教書生活，並未使阿貝爾身體恢複健康。阿貝爾積勞成疾，但他還在拚命研究數學。
1829年4月6日，不到27歲的阿貝爾終於離開人世，這位由一名優秀的年輕教師發現的數學奇才，就這樣在科學權威們的冷漠下永遠辭別了他心愛的數學。柏林大學邀請他擔任教師的信件在他去世後的第二天才寄出。此後榮譽和褒獎接踵而來，1830年他和CGJ雅可比共同獲得法國科學院大獎。
阿貝爾雖然隻有短暫的26年生命，但他取得的成果，足夠以後的數學家忙碌150年。
“不務正業”的發明
事實上，在瓦特高效率蒸汽機問世之前，早就有很多人在研究製造蒸汽機了，如公元前720年埃及哲學家西羅，1612年法國機械師德戈，1698年薩物雷，此外還有狄賽戈裏耳、紐可門等不下數十人。派朋也是其中的一人，但他研究蒸汽發動機對人類的貢獻反而不及他因此發明的副產品——壓力鍋。
在17世紀末葉，年輕的法國醫生兼物理學家和機械師丹尼·派朋正在研究蒸汽發動機。那時正值法國國王亨利四世迫害新教徒。派朋為逃脫這種迫害，就跑到了德國。在異國他鄉的那種艱苦環境中，派朋仍堅持研究液體的性質。他對蒸汽鍋爐的研究，引發了他對烹飪用壓力鍋的發明。
有一回他登上高山，所帶幹糧吃完了，不得不煮馬鈴薯充饑。他將馬鈴薯在滾開的水中煮了很久，以為一定煮熟了。可是他吃的時候，卻發現馬鈴薯還是夾生的。這是怎麼回事呢？
派朋抓住這一偶然現象不放，繼續深入地鑽研下去，終於發現了其中的秘密：大氣壓力和水的沸點之間存在著直接的關係。氣壓高時，水的沸點也高；氣壓低時，水的沸點也低。高山上大氣稀薄，氣壓低，水的沸點也低，雖然水開了，但熱力不足，所以馬鈴薯沒有煮熟。