窮竭法
歐多克斯的另一個重要貢獻是他利用窮竭法來求複雜幾何圖形的麵積和體積。他用一係列已知的基本圖形不斷逼近不規則圖形，使之無限接近原圖形，比如用圓內接正多邊形逼近圓，用歐多克斯的話說就是這個多邊形從圓的內部“窮竭”了圓。他利用這種方法證明了：兩圓麵積之比等於其半徑平方之比；兩球體積之比等於其半徑的立方之比等命題。窮竭法是現代極限概念的幾何先驅，同時也是微積分的核心方法，由此我們說歐多克斯是僅次於阿基米德的數學家並不為過。
數學史上的裏程碑
畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前560～前480年），古希臘數學家，在天文學、哲學及音樂理論方麵也有很深造詣。
畢達哥拉斯出生於愛琴海上的薩摩斯島。早年多方遊曆，曾到達埃及、巴比倫等地，師從許多數學家學習數學、天文學知識。回到家鄉後，畢達哥拉斯開始招收弟子，聚眾講學。大約在公元前520年，畢達哥拉斯不滿於當政者的暴政，離開家鄉，遷往意大利南部的一個小島，並在那裏定居下來。當時同他在一起的隻有他的母親和惟一的一名門徒。在小島上安頓下之後，畢達哥拉斯重新開始廣收門徒，逐漸創立了著名的畢達哥拉斯學院。那是一個融宗教、政治、學術研究於一體的秘密組織，許多群眾包括婦女和上層人士也積極參加活動，在當時形成一種空前的學術氛圍，為畢達哥拉斯學派在各個領域的學術研究創造了良好的外部環境。
畢達哥拉斯學派的信徒一部分是普通聽眾，他們隻是聽講教義，而沒有資格接受高深的知識；另一部分成員則是在經過長期的訓練和嚴格考核後成為屬於畢達哥拉斯學派的真正弟子。
他們要發誓堅持學派的信仰，嚴守學派的秘密。畢達哥拉斯學派在這一點上很像普通的宗教組織，但與它們不同的是他們將數學納入他們的教義之中，認為世界上的一切事物都是由數來構成的，上帝用數來統治世界。“萬物皆數”的思想根深蒂固，這也為畢達哥拉斯學派能在數學研究上取得一係列重要成果提供了思想上的條件。
畢達哥拉斯學派對數作了許多深入的研究，比如他們認識到數與音樂的關係、數與幾何圖形的關係、數與天體運行的關係等等，並把學員的課程分為四個部分：算術——研究數的絕對理論；音樂—研究數的應用；幾何—研究靜止的量；天文—研究運動的量，合稱為“四道”。
盡管畢達哥拉斯學派賦予數以神秘的色彩，他們在數的研究方麵還是做出了許多卓越的貢獻。例如完全數（如果一個數等於除它本身以外的全部因子的和，那麼這樣的數就稱為完全數）的發現，他們發現6和28是完全數，因為6＝1+2+3；28＝1+2+4+7+14。由畢達哥拉斯學派開創的完全數的研究，至今仍是數論領域的重要課題。
畢達哥拉斯還發現了另一類特殊的數——親和數，他發現284這個數除它本身以外的所有因子之和等於220，而220除了它本身以外的所有因子的和恰好等於284，即：
220＝1+2+4+71+142，
284＝1+2+4+5+10+22+44+55+110
畢達哥拉斯將它們稱為親和數，並把它們作為友誼的象征。
畢達哥拉斯定理的發現和證明是畢達哥拉斯學派最重要的數學成就之一，在我國一般稱之為勾股定理。我們知道最初的幾何學興起於生產生活實際需要，比如土地丈量等活動。勾股定理作為幾何學中的一個重要內容，也是源於測量土地等活動。事實上，人們在1945年通過研究美索不達米亞出土的泥版書，發現早在畢達哥拉斯之前一千多年的古巴比倫人就已經知道了這個定理，我國和印度早於畢達哥拉斯年代的數學著作中對這一定理的內容也有所敘述，但都沒有像畢達哥拉斯那樣給出定理的嚴格證明。或許這也是世界數學界將它稱為畢達哥拉斯定理，並把它視為一個“數學史上的裏程碑”的原因吧！
畢達哥拉斯斷言：“在任何直角三角形中，斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和”，即給出了勾股定理的一般表述。他還發現了用三個整數表示直角三角形邊長的一種公式，也就是不定方程x2+y2＝z2的一組解：2n+1，2n2+2n分別是兩個直角邊，2n2+2n+1是斜邊，其實它們隻是在斜邊與一直角邊之差為1時的一組整數解，而非方程的全部解。人們將滿足以上方程的正整數稱為畢達哥拉斯數或勾股數。