畢達哥拉斯以a，b，c為直角三角形的兩直角邊和斜邊，作邊長為a+b的正方形，然後將邊長為a+b的正方形作兩種不同的分割，采用等量相減的方法對定理進行了證明。
事實上，畢達哥拉斯定理是數學領域內證明方法最多的定理，1940年E·S·盧米斯（Loomis）在他的著作《畢達哥拉斯定理》（The Pythagorean Proposition）中收集的畢達哥拉斯定理的證明方法達370種之多！
畢達哥拉斯學派的最重要貢獻還在於他們發現了無理數。根據畢達哥拉斯定理，邊長為1的正方形的對角線長度應為2，而2是不能用當時他們所知道的數（自然數和分數）來表示的。於是他們感到惶恐不安，因為這違背了他們“萬物均可用數來表示”的信條，他們甚至將發現這一數的門徒希帕索斯投進大海，以掩蓋發現了不可度量的數這一秘密。無理數的發現終於導致了數學史上的第一次數學危機，然而真理永遠是無法被抹殺的，人們最終還是承認了無理數的存在，使得數係完成了從有理數到實數的擴張。
值得說明的是，雖然我們現在將許多數學發現全部歸功於畢達哥拉斯，但事實上或許並非如此。因為當時畢達哥拉斯是通過口傳心授的方式進行教學的，而他的學生又按照學派的規矩將一切發現都歸功於他們崇拜的領袖。具體事實已無據可查，所以現在很難分辨哪些數學成就是畢達哥拉斯本人所創，哪些是他的門徒們的功績。
古希臘的數學巨人阿波羅尼奧斯
圓錐曲線是除了圓之外最常見的曲線了，在幾何學中有著重要的地位，在實際生產生活中有著廣泛的應用，如大家熟悉的星星的軌道，炮彈的軌跡，圓柱的截麵等。對於圓錐曲線的研究也由來已久，最先發現並進行係統研究的是古希臘人。
希臘數學家柏拉圖學派的門奈赫莫斯首先發現了圓錐曲線，這引起了許多希臘數學家的興趣，他們開始對圓錐曲線作深入的研究，其中包括阿裏斯泰奧斯、歐幾裏得、阿基米德等人。
他們的研究為係統的圓錐曲線理論的最終形成積累了大量的資料，將圓錐曲線理論進行整理、深化的任務曆史性的落在了阿波羅尼奧斯身上。
阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262～前190年），希臘數學家、天文學家。
阿波羅尼奧斯年輕時曾在亞曆山大求學，後來長期在那裏生活。他將前人研究圓錐曲線取得的成果加以總結，在自己進一步思考的基礎上，寫成《圓錐曲線論》這一經典名著，被稱為古希臘研究幾何學的登峰造極之作。阿拉伯和西歐的許多數學家都曾經長期將它奉為必讀經典。
阿波羅尼奧斯不拘泥於古已有之的內容和方法，富於想像，大膽創新，正如他自己所說的：
“模仿隻會仿製他所見到的事物，而想像則能創造他所沒有見過的事物。”
阿波羅尼奧斯以前的數學家研究圓錐曲線都是從三個頂角不同的圓錐出發來考慮的。門奈赫莫斯在嚐試解決倍立方體問題時，發現了圓錐曲線。他將圓錐分為三類：若兩條母線的最大交角是銳角，圓錐稱為銳角圓錐；若兩條母線的最大交角為直角，圓錐稱為直角圓錐；若為鈍角，圓錐稱為鈍角圓錐。用一個垂直於一條母線的平麵截圓錐，所得截線，分別稱為“銳角圓錐曲線”、“直角圓錐曲線”和“鈍角圓錐曲線”。
阿波羅尼奧斯改進了門奈赫莫斯的方法，他從一個圓錐出發，用一個平麵與圓錐的母線成不同角度截圓錐，就可以得到三種圓錐曲線：截麵與所有母線都相交，截線為橢圓；截麵與一條母線平行，截線為拋物線；截麵與軸線平行就可以使得截線為雙曲線的一支。他分別將這三種圓錐曲線命名為：“齊曲線”（拋物線）、“虧曲線”（橢圓）、“超曲線”（雙曲線）。阿波羅尼奧斯首先注意到了雙曲線有兩支，並且是有心曲線。另外，他還研究了二次曲線的切線問題和點的軌跡問題。
阿波羅尼奧斯將圓錐曲線的性質總結得如此全麵，以致使得後人在很長一段時間裏沒有可以突破的餘地。直到17世紀，帕斯卡、笛卡爾創立解析幾何，用新的方法進行研究才打破了這一僵局，將圓錐曲線研究作了實質性的推進。
阿波羅尼奧斯還作了《論切觸》一書，在書中，他提出了著名的“阿波羅尼奧斯切圓問題”：給定三個圓（或圓的變種：點和直線，但三個點必須不共線，三條直線不能平行），求作一圓，使之與它們全都相切。
在天文學方麵，阿波羅尼奧斯也作出了許多貢獻。他是定量地研究天文學的早期學者之一。
為了解釋行星的運動，他引進了偏心圓運動和本輪運動係統。另外，他還曾經找到了一種確定行星在運動軌道上停下來作逆行運動的點的方法。