“率”本是規格、標準之意。劉徽將率定義為“凡數相與者謂之率”，即相關的一組量稱為率，用以討論若幹量之間的相關性，即相對的數量關係。這一概念要比我們現在常用的比率概念寬廣得多。為了求出各物的率，要有一個公度作為標準，這個公度就是單位度量，亦即一，劉徽將它稱為“數之母”。如五單位米可以化為一，則米率即為5，三單位粟可以化為一，則粟率即為3，米、粟的相與率為米5、粟3。由此可見率表示某物的度量與另一物的度量的相對關係，相當於現在密度、速度等意義。我們容易知道，分數的分子和分母也可以看成一種率關係。
劉徽還給出了率的一些重要性質，如：“一組成率的數，在投入運算時，其中一個縮小或擴大某倍數，則其餘的數必須同時縮小或擴大同一倍數”。由此出發，劉徽給出了三種重要的等量交換：“約以聚之，乘以散之，齊同以通之”。“約以聚之”就是說，分子、分母同時縮小同一倍數，稱作約分，此時分數單位變大；“乘以散之”即分子、分母同時擴大相同的倍數，分數單位就會變小。同時，劉徽還指出經過這樣兩種運算之後，雖然分數單位發生了變化，表現的形式不同，但分數值不變，明確闡述了分數的基本性質。
在運算時，幾個分數隻有化成同一分數單位才能進行加減，從而劉徽提出“齊同術”即“齊同以通之”，也就是我們現在所說的通分。劉徽指出應先使諸分數的分母同一，而後使每個分數的分數值保持不變。
劉徽將《九章算術》中的許多算術問題解法進行了歸納總結，形成了一些係統的方法。如他高度評價了今有術，將《九章算術》中的許多術文歸結為今有術，把其中包含的原理（若A∶B＝a∶b，則B＝Ab/a）稱為“都術”即普遍方法，這一方法傳到印度和西方後被稱為三率法。
率在代數中的應用主要表現在方程術中，劉徽在方程的定義、方程直除法、互乘相消法消元中的齊同原理及方程新術等方麵做了創造性的工作。另外，劉徽還把率應用於圓周率、麵積、體積、勾股容方、容圓等許多幾何問題的解法中。
《九章算術》粟米、衰分、均輸三章都是關於比例和比例分配的問題，內容交錯。劉徽用率將這三章的方法統一了起來，不僅把比例、比例分配歸結為今有術，而且將分數、追及、利息等一般算術問題都化為今有問題，並將率應用於方程、麵積、體積等問題，使得率成為計算問題的靈魂。
總之，劉徽的《九章算術注》不僅有概念、命題，而且還有聯係這些命題的邏輯推理，它標誌著我國古代數學已經形成了自己獨具特色的理論體係。
另外，劉徽熟練地運用直角三角形的性質，推廣了我國古代的“重差術”，寫成了《海島算經》一書，從書中所解決的問題可以看出劉徽已經掌握了相當複雜的測量和計算方法。
劉徽注《九章算術》，充分體現了他作為一個數學家應有的科學態度。他實事求是，不僅繼承了《九章算術》所開創的數學聯係實際的傳統，更重要的是他沒有盲目崇拜古人取得的成就。他在全麵論證《九章算術》的公式、解法的同時，指出了其中的許多錯誤和不精確之處，並給以糾正或提出改善建議，他對許多問題的補充解法，大大豐富了《九章算術》的內容。但用對《九章算術》作注的形式展現自己的數學思想，在一定形式上也限製了劉徽的數學創造的展開及其數學思想對後世的影響，或許這該是最讓人引以為憾的事情了。
丟番圖與別具一格的墓誌銘
丟番圖（Diophantus，約公元3世紀）是古希臘最傑出的數學家之一，他在代數和數論方麵作出過卓越的貢獻。
對於丟番圖的生平，人們了解的不多，隻知道他大約是公元3世紀的人，曾經活躍於亞曆山大裏亞城。他的一生，在他的別具一格的墓誌銘上通過一道謎語式的妙趣橫生的代數方程問題反映出來：
“過路人，這兒埋著丟番圖的骨灰，下麵的數字可以告訴你，他活了多少歲。
他生命的1/6是幸福的童年；
再活過生命的1/12，他長出了胡須；
又過了生命的1/7，他才結婚；
再過了5年他有了一個兒子；
但愛子竟然早逝，隻活了他壽命的一半；
失去兒子後，老人在悲痛中又度過4年，終於結束了他塵世的生涯。
根據這段墓誌銘，設丟番圖的年齡為x，你可以列出方程算出丟番圖的年齡：
x6+x12+x7+5+x
2+4=x
解方程得到：丟番圖活了84歲，他是33歲結婚，38歲得子。
丟番圖被譽為代數學的鼻祖，他一生中解過許多代數方程和不定方程，還寫有多達12卷的《算術》一書。這套書主要是代數和數論方麵的內容，包括189個問題的敘述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。丟番圖建立了不定方程的理論，第一次係統地提出了代數符號，創立了運算符號。《算術》中的一些問題構成了後來的數論問題。有些問題的結論一直被後來的數學家們津津樂道。著名的費爾馬猜想問題，就是數學家費爾馬在讀了《算術》這本書的譯本後，在書邊寫下的注釋。