數學解題的幾種思維模式
1、類比簡化思維
類比是根據兩個不同的對象，在某些特征性質、關係的類同之處，猜測它們在其它方麵可能有類同之處，作出某種判斷推理，並加以證明。在解題中通常遇到較複雜的問題，往往可以將它與其同類的簡單問題作類比。通過簡單問題尋找到解題的途徑，然後再類比解決原來要求解的問題。
例1已知a，b，c∈R+，求證：aabbcc≥(abc)a+b+c3。
思維方法考慮簡化研究的問題，先類比二元不等式的情況，相應可尋找到類比的對象為：已知a，b∈R+，求證aabb≥(ab)a+b2。即要證a2ab2baa+bba+b≥1，即(ab)a-b。顯然，在a≥b>0或b>a>0兩種情況下，上式都成立。也就是原式得證。
現在類比原來三元不等式，也就可仿二元不等式的情況進行證明。要證aabbcc≥(abc)a+b+c3成立，即需要(a3ab3bc3c)/aa+b+cba+b+cca+b+c≥1，
a2a-b-cb2b-a-cc2c-a-b≥1，
aa-bac-a·bb-cba-b·cc-acb-c≥1，
即(ab)a-b·(bc)b-c(ca)c-a≥1，
由a、b、c的大小關係，不失去一般性可設a≥b≥c>0，立即可得
(ab)a-b≥1，(bc)b-c≥1，(ca)c-a≥1。
三式相乘即得上麵不等式成立，亦就是原題要證的不等式成立。
例2、設ai≥0(i=1，2，……，n)，且a1+a2+…an=1，求證：1≤a1+a2+…+an≤n。
思考方法n元問題比較複雜，不易直接得證。根據特殊與一般的對立統一辯證思想方法，利用類比減元進行簡化。先探討二元的情況，研究其證明的思路，然後類比證明一般問題。類比對象為：若a1，a2≥0，a1+a2=1，求證：1≤a1+a2≤2。顯然，由基本不等式知0≤2a1a2≤a1+a2=1。於是1≤a1+a2+2a1a2≤2，即1≤(a1+a2)2≤2，得1≤(a1+a2)≤2。再用此命題類比去證原一般命題。
證明：∵ai，aj≥0，∴有0≤2aiaj≤ai+aj，(1≤i≤j≤n)，得0≤2Σaiaj≤(n-1)(a1+a2+…+an)=n-1，於是
1≤(a1+a2+…+an)+Σaiaj≤n，
1≤(a1+a2+…+an)2≤n，
即得1≤a1+a2+…+an≤n。
2、構造模型思維
構造模型思維，就是利用抽象的普遍性，把一些具體的問題轉化為數學的形或式，為待解決的問題設計一個合理的結構或數學模型，適當地加以解答。
例3略
例4、求函數y=x2+x+1-x2-x+1(x∈R)的值域。
思維方法考慮函數式的結構特征，可將每個根式構造成複數之模。
∵x2+x+1=x2+x+14+34
=(x+12)2+(32)2，
x2-x+1=x2-x+14+34
=(x-12)2+(32)2，
∴可設Z1=(x+12)+32i，
Z2=(x-12)+32i。
考察兩個複數的模大小，即可求出該函數的值域。
解：設Z1=(x+12)+32i，Z2=(x-12)+32i則Z1-Z2=1,｜Z1｜=x2+x+1，｜Z2｜=x2-x+1。
因此，y=｜Z1｜-｜Z2｜，由於｜y｜=｜｜Z1｜-｜Z2｜｜≤｜Z1-Z2｜=1，即｜y｜≤1，而｜y｜=1時的條件是OZ1與OZ2同向。但OZ1與OZ2是不同向，故｜y｜<1。即y的值域為(1，-1)。
例5求函數f(x，y)=
x2+y2-16x-6y+73+x2+y2-4x+10y+29的最值。