數學解題技巧與思維方法
1、巧設
在解題中對所求的未知數，未知量或未知式要精心設計，以達到解題過程的盡可能簡單和方便。
例1已知四個連續整數之積為a,求這四個數。
分析：這是一個以1為公差的等差數列連續四項的乘積問題。按一般設法將出現奇次項的四次方程，不易求解。考慮到首末兩項差的一半和中間兩項差的一半分別為1、5和0、5，為此可設連續四項為(x-1、5),(x-0、5),(x-0、5),(x+1、5),使其等距離的兩項之積構成平方差公式，得出一個易解的特殊四次方程。
解：當a≠0時，設四個連續整數分別為
(x-1、5),(x-0、5),(x+0、5),(x+1、5)
依題意有
(x-1、5),(x-0、5),(x+0、5),(x+1、5)=a
x4-(0、52+1、52)x2+0、52×1、52=a
所以x4-2、5x2+(0、5625-a)=0
由求根公式得x2=1、25±1+a，顯然a≥24，式中不能取負號。
從而x=±1、25+1+a。當僅且當1、25+1+a為平方數時，才得到所求的四個連續整數為：
1、25+1+a-1、5，1、25+1+a-0、5，
1、25+1+a+0、5，1、25+1+a+1、5，
或-1、25+1+a-1、5，-1、25+1+a-0、5，-1、25+1+a+0、5，-1、25+1+a+1、5，當a=0時，可設四個連續整數為：n,(n+1),(n+2),(n+3),易得四組解。
例2已知a+b+c、a+b-c、a+c-b、b+c-a成等比數列，求證其公比是方程x3+x2+x-1=0的根。
分析：如果用公比q=a+b-ca+b+c直接代入方程檢驗，那麼，計算十分麻煩。如果注意到等比數列通項與首項的關係：an=a1qn-1，可得：
qn-1=ana1。那麼，驗證計算就簡便得多。
證明：設公比為q,則q=a+b-ca+b+c；q2=a+c-ba+b+c;q3=b+c-aa+b+c、∴x3+x2+x-1=q3+q2+q-1=b+c-aa+b+c+a+c-ba+b+c+a+b-ca+b+c-1=0，這就證明了數列公比確是方程的根。
2、巧配
在解題過程中，對有關項進行巧妙的分項、組合，或在分式的分子、分母乘上適當的代數式，使其配成易於應用公式或易於求解的形式。
例3求cos20°cos40°cos80°之值。
分析：題中出現的3個角都不是特殊角，但有一個特點：後一個是前一個的2倍，而且都是餘弦函數的連乘積，自然想到應用三角函數公式的倍角公式，對照時發現缺少了正弦項，原式乘上巧配這項問題便解決了。
解：
原式=2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°
=2sin40°cos40°cos80°4sin20°
=2sin80°cos80°8sin20°
=sin160°8sin20°=sin20°8sin20°=1〖〗8、
3、巧變
在數、式的計算或變形過程中，隨時都要圍繞題意要求，采取靈活多變的方法。尤其象“0”、“1”等這些在數學中具有特殊地位的數，如能靈活應用，將使問題便於解答。
例4、求證
(1+tg1°)(1+tg2°)……
(1+tg43°)(1+tg44°)=222、
分析：等式的左邊是44個因式的連乘積，正好為右邊2的指數的2倍，因此如能證得每兩個因式之積為2，則問題就解決了。注意到44個因式中，角的度數構成一個等差數列，且首尾等距離的兩角之和是45°，這是一個特殊角，其正切值是1，我們就從1出發。
證明由1=tg45°=tg(1+44°)
=tg1°+tg44°1-tg1°tg44°，
可得tg1°+tg44°=1-tg1°tg44°,
即tg1°+tg44°+tg1°tg44°=1(1)
兩邊加上1：
(1+tg1°)+tg44°(1+tg1°)=2(2)
所以(1+tg1°)(1+tg44°)=2
同理可得(1+tg2°)(1+tg43°)=2
(1+tg3°)(1+tg42°)=2；
……
(1+tg22°)(1+tg23°)=2。
將上述22個等式兩邊分別相乘便有
(1+tg1°)(1+tg2°)……(1+tg43°)(1+tg44°)=222