求函數值域的初等方法與常見錯誤剖析
1·直接法
對於一些最簡單的值域問題，利用函數的基本性質，通過觀察，容易直接求出值域。
例1求函數y=x+1x-1的值域。
解∵y=x+1x-1=1+2x-1≠1，
∴函數值域為(-∞，1)∪(1，+∞)。
例2求函數y=x2+x-2x2-4x+3的值域。
錯解∵y=(x-1)(x+2)(x-1)(x-3)=x+2x-3=1+5x-3≠1，
∴函數值域為(-∞，1)∪(1，+∞)。
剖析由於約分後擴大了變數的範圍，函數y=x2+x-2x2-4x+3與y=x+2x-3因定義域不同已非同一函數，以上解法導致了值域擴大化。
正解由函數定義域知x≠1，x≠3。
函數y=x2+x-2x2-4x+3等價於函數y=1+5x-3(x≠1)。
∵5x-3≠0，∴y≠1。
當x=1時，y=-23，(此y值必須除去)。
函數值域為
(-∞，-32)∪(-32，1)∪(1，+∞)。
小結一般地，當分式函數y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2能約分時，均可用例2的解法直接求出值域。
例3求函數y=(sinx)｛-1｝的值域。
解由0〈sinx≤1，
知1≤(sinx)｛-1｝〈+∞，
函數值域為［1，+∞］。
例4求函數y=arctgxx-1的值域。
錯解∵xx-1∈R，
∴-π2〈arctgxx-1〈π2，
函數值域為(-π2，π2。
剖析以上錯誤在於忽視了複合函數的中間變量μ=xx-1的取得範圍。錯誤的認為xx-1為一切實數。
正解∵xx-1≠1，
∴xx-1∈(-∞，1)∪(1，+∞)，
arctgxx-1∈(-π2，π4)∪(π4，π2)；函數值域為(-π2)，π4∪(π4，π2。
小結求複合函數值域，應注意分清複合步驟，“由內向外，件件穿衣”的方法逐步求出值域。
2·配方法
例5求函數y=x+1-2x的值域。
解∵y=x+1-2x
=1-12(1-2x-1)2，
在定義域x≤12內，
顯然有(1-2x-1)2≥0，
∴y≤1，函數值域為(-∞，1］。
例6求函數y=lgx+21+lgx-1的值域。
解y=1+lgx+21+lgx-2=(1+lgx+1)2-3。
在定義域x≥110內，
∵1≤1+lgx+1〈＋∞。
∴y≥-2，函數值域為［-2，+∞)。
例7求函數y=(2cos2x+1)(2sin2x+1)的值域。
錯解y=［2(1-sin2x)+1］(2sin2x+1)
=-4sin4x+4sin2x+3
=-4(sin2x-12)2+4。
∵-4(sin2x-12)2≤0，∴y≤4，
函數值域為(-∞，4］。
剖析由於錯誤的考察了完全平方項(sin2x-12)2的取值範圍，從而釀成錯誤。
正解y=-4(sin2x-12)2+4。
∵0≤sin2x≤1，
∴-12≤sin2x-12≤12，
0≤(sin2x-12)2≤14，
-1≤-4(sin2x-12)2≤0，
從而3≤-4(sin2x-12)2+4≤4，
函數值域為［3，4］。
小結函數解析式中，凡含x的項能配成完全平方時，皆可用“配方法”求函數值域。但必須注意考察完全平方項的取值範圍，防止出現(sin2x-12)2≥0這樣的疏漏。
3·最值法
由於初等函數在其定義域內是連續的，所以我們可以通過求出函數在定義區間內的最大值、最小值的辦法來求函數的值域。
例8求函數y=11+2cosx的值域。
解由函數定義域知，
cosx∈［-1，-12］∪(-12，1］。
(1)當cosx∈［-1，-12)時，
∵(1+2cosx)最小=-1，