第一卷 輝煌的數學世紀 第3章 羅巴切夫斯基的非歐幾何
然而俄國數學家羅巴切大斯基的非歐幾何論文，已經在這之前發表了。
就在波耶論文發表的這一年，俄國數學家羅巴切夫斯基因為車禍，幾乎成了一個半殘廢，第二年從軍隊退役，回到老家。
在這以後，波耶一直過著窮困潦倒的生活。就是在這樣艱難困苦的生活中，他仍然從事非歐幾何的研究。
1860年，波耶逝世。他的非歐幾何沒有得到世人的承認。
就在波耶潛心研究第5公設，並發現非歐幾何時，比他大10歲的俄國數學家羅巴切夫斯基也大體同時發現了非歐幾何。
羅巴切夫斯基於1792年出生在俄國的下諾夫哥羅德，就是現在的高爾基市。他3歲喪父，由善良的母親把他一手拉扯長大。
由於家境貧寒，生活都難以維持，母親樣無法把兒子送去讀書，後來在政府的救濟下，羅巴切夫斯基才轉為公費上學。
1808年，羅巴切夫斯基進入喀山大學學習。他更加發奮讀書，努力學習。他的思想活躍，具有生動活潑的氣質，敢於主持正義，見義勇為，並且關心他人，助人為樂。
羅巴切夫斯基有堅強的意誌，驚人的毅力，能勤奮地學習，不斷地探索，又有良好的學習方法，因此他的各門功課都是優秀，特別是他的數學才能和獨創精神贏得了全校師生的讚揚，為他後來攀登數學高峰奠定了堅實的基礎。
1811年，羅巴切夫斯基大學畢業，因成績突出而留在喀山大學任教。由於他在數學上的成就，22歲時就當了喀山大學的副教授，24歲晉升為教授。
羅巴切夫斯基在1816年出任教授後，也加入了試證第5公設的行列，通過幾年的努力，他失敗了。但是，在失敗中，羅巴切夫斯基對第5公設產生了懷疑，並進一步認識到第5公設是不可證明的。
在第5公設不可證明的思想基礎上，羅巴切夫斯基開始探索一種新的幾何學體係。1823年，他在一份教學提綱中提出建立新幾何體係的可能性，並把它上交給校方。
校長馬格尼斯基認為，羅馬切夫斯基的設想是狂妄的，彼得堡科學院認為他的學說是邪說。
在困難和挫折麵前，羅巴切夫斯基沒有像其他數學家那樣失敗後就放棄了對第5公設的研究，他的最大特點是對於大家難以解決的問題敢於提出新見解，敢於碰硬，敢於創新，勇往直前。
羅巴切夫斯基對新的幾何學體係進行不斷的理論探索。他提出一個與第5公設相反的假設：過直線外一點至少可以作兩條直線和已知道線不相交。
這是一個與第5公設相矛盾的假設，按照這一假設應當推出與歐氏幾何相矛盾的結果。但是並沒有引出矛盾，而是推出了一個新的幾何傳統，邏輯嚴密。羅巴切夫斯基把這種抽象的新的幾何係統最初稱為"抽象幾何學"。
1826年2月11日，羅巴切夫斯基在喀山大學的一學術會議上，宣讀了他的不朽論文--《幾何原理的扼要簡釋及平行線定理的一個嚴格證明》。