第一卷 輝煌的數學世紀 第5章 高等代數的開創性進程
19世紀數學的另一偉大成就，是高等代數的開創性進展。
代數學的主要內容之一是求解代數方程和代數方程組。
早在古代數學的發展中，數學家們就發現了一次、二次、三次、四次代數方程的根式求解法。後來數學家們開始向五次和五次以上的高次代數方程進軍，力圖用同樣的方法求解高次代數方程。在這個過程中，開創了一個新的數學分支--群論。
在對高次方程的根式求解中，做出傑出貢獻的是兩位不到30歲的年輕數學家阿貝爾和伽羅華。
阿貝爾是挪威人，於1802年8月5日出生在克裏斯卡尼亞附近的一個貧苦鄉村牧師的家庭裏，幼年喪父。由於家裏生活非常困難，使阿貝爾不能按部就班地求學深造。
阿貝爾自幼聰明好學，數學成績出眾，因家境貧寒，常常依靠周圍的人和親友的幫助，使他在求學時期就結交了許多朋友。
從中學時代起，阿貝爾對數學更感興趣，這和學校的數學教師霍倫波很有關係。霍倫波有較高的數學知識，對班級的數學尖子阿貝爾非常喜歡，注意培養他的數學才能，發掘他的數學天賦，借給他數學家的名著。
從此，阿貝爾一頭紮進數學家的著作裏，刻苦攻讀，成了"數學迷"。
中學還沒有畢業，阿貝爾就向當時公認的數學難題，關於五次方程的代數解法展開了進攻。
我們知道一元一次方程的求根公式，也了解一元二次方程的兩個根的求根公式。
比如在二次方程ax2＋bx＋c=0，其中x是未知數，a，b，C都是
凡是給出這樣一個公式的，就把方程稱為"可以代數求解"，凡是給不出這樣一個公式的，就把方程稱為"不可以代數求解"。
二次方程的代數解法，很早就解決了。三次、四次方程的代數解法，已在16世紀由意大利數學家塔塔裏亞和費拉利等人解決了。
數學家的目光自然地轉移到五次方程或更高次方程的求根公式上。在17世紀和18世紀，幾乎所有數學家都研究過這個問題，但都沒有成功。著名數學家歐拉和拉格朗日也研究過這個問題，拉格朗日說，這個問題好像是在向人類的智慧挑戰。
既然許多人的嚐試都失敗了，是否像歐氏幾何中的第5公設不可證明一樣，根本不存在四次以上高次方程的代數解法呢？但是，這也需要數學證明。
1801年，高斯在他的《算術研究》一書中指出，某些高次代數方程能夠用根式法求解。但是，他沒有進行嚴格的證明。
阿貝爾在中學就向這個難題進軍，充分發現了他初生牛犢不怕虎的闖勁，以及青年人那敢想敢幹的蓬勃朝氣。當然，他的努力失敗了，畢竟他還太小，掌握的數學知識太少，單憑朝氣和闖勁是解決不了問題的。
1820年，阿貝爾在親友的幫助和支持下，考入大學。當時，這所大學沒有數學係，而阿貝爾的特長在數學方麵，於是他在完成學校規定的課程外。把全部時間和精力用於研究數學。
在大學期間，阿貝爾繼續研究五次方程的求解問題。怎樣用加、減、乘、除和開方的代數運算，來求出五次方程的解呢？他冥思苦想，反複運算，希望有朝一日能解決這個難題。
阿貝爾善於學習前人的經驗，特別對一些數學大師的著作深有研究。歐拉、拉格朗日、柯西、高斯等人的著作和文章，都對阿貝爾很有啟發。