(s+r)a22(s*+r*)-q22+2qa-a22-aa∶
=1s*∶exp-r2s*a2+1s*-1aa+r*2s*a2∶
=exp-r2s*a2expaa+12ln1s*expr*2s*a2，(3.10)
這就是單模的Fresnel算符[54，55].由式(3.10)可知，U(r，s)是一個廣義的單模壓縮算符，將其作用到真空態可得壓縮真空態:
U(r，s)|0〉=1s*exp-r2s*a2|0〉.(3.11)
還容易證明U(r，s)使式(3.2)的變換形式成立，即
U(r，s)aU-1(r，s)=s*a+ra，
U(r，s)aU-1(r，s)=sa+r*a.(3.12)
從式(3.6)，就有
s=12[A+D-i(B-C)]，
r=-12[A-D+i(B+C)]，(3.13)
再根據X＾=a+a2，P＾=a-ai2，式(3.10)與式(3.12)分別變為
U(r，s)=expA-D+i(B+C)2[A+D+i(B-C)]a2?
expaa+12ln2A+D+i(B-C)?
exp-A-D-i(B+C)2[A+D+i(B-C)]a2
=expiC2AX＾2exp-i2(X＾P＾+P＾X＾)lnAexp-iB2AP＾2
≡F(A，B，C)(3.14)
和
F-1X＾F=AX＾+BP＾，F-1P＾F=CX＾+DP＾，
FX＾F-1=DX＾-BP＾，FP＾F-1=-CX＾+AP＾.(3.15)
利用坐標動量中介表象與Radon變換的關係式(1.46)以及式(2.19)，有
|q〉s，rr，s〈q|=∫dxdpδ[q-(Dx-Bp)]Δ(x，p)
=∫dxdp[q-(Dx-Bp)]δ(x-X＾)δ(p-P＾)
=δ[q-(DX＾-BP＾)]，(3.16)
根據Weyl編序在相似變換下具有序不變性以及利用式(3.15)，可以證明
F-1|q〉s，rr，s〈q|F=
δ[q-(DF-1X＾F-BF-1P＾F)]
=δ[q-(AD-BC)X＾]
=δ(q-X＾)
=|q〉〈q|，(3.17)
這裏已考慮AD-BC=1以及式(2.23).進一步說明式(3.10)確保式(3.9)成立。
(s+r)a22(s*+r*)-q22+2qa-a22-aa∶