量子力學語言——狄拉克符號法進階

5.2正定的糾纏Wigner算符與不同質量的兩體糾纏態表象（1 / 2）

[γ*-f(a1+a2)-g(a1-a2)]}∶(5.45)

利用∶e-a1a1-a2a2∶=|00〉〈00|，上式可改寫為

∫d2σΔ(σ，γ)g=1π|γ〉gg〈γ|，(5.46)

式中:|γ〉g是一種新的糾纏態，為

|γ〉g=exp-12|γ|2+(fγ+gγ*)a1+(fγ*-gγ)a2-

fg(a21-a22)-(f2-g2)a1a2|00〉.(5.47)

它滿足本征方程

[f(a1+a2)+g(a1-a2)]|γ〉g=γ|γ〉g，

[f(a1+a2)+g(a1-a2)]|γ〉g=γ*|γ〉g，(5.48)

或者

[(f+g)(a1+a1)+(f-g)(a2+a2)]|γ〉g=2γ1|γ〉g，

[(f-g)(a1-a1)+(f+g)(a2-a2)]|γ〉g=2iγ2|γ〉g.(5.49)

另一邊緣分布為

∫d2γΔ(σ，γ)g=1π∶exp{-[σ-f(a1-a2)+g(a1+a2)]?

[σ*-f(a1-a2)+g(a1+a2)]}∶，(5.50)

進一步分解為

∫d2γΔ(σ，γ)g=1π|σ〉gg〈σ|，(5.51)

式中:

|σ〉g=exp-12|σ|2+(fσ-gσ*)a1-(fσ*+gσ)a2+

fg(a21-a22)+(f2-g2)a1a2|00〉(5.52)

是另一個新的糾纏態，滿足

[f(a1-a2)-g(a1+a2)]|σ〉g=σ|σ〉g，

[f(a1-a2)-g(a1+a2)]|σ〉g=σ*|σ〉g.(5.53)

可以看出，|γ〉g與|σ〉g是相互共軛的。對於兩個粒子的不同質量mj ，令μj=mjm1+m2，j=1，2，以及

μ12+μ22=f，

μ12-μ22=g，

f2+g2=μ1+μ2=1.(5.54)

當令=1，ωj=1，M=m1+m2=2時，坐標算符X＾j=

2mjωj(aj+aj)與動量算符P＾j=-imjωj2(aj-aj)的形式為

X＾j=aj+aj2μj，P＾j=-iμj(aj-aj)，j=1，2；(5.55)

因此，質心坐標的形式為

X＾cm≡μ1X＾1+μ2X＾2

=μ1(a1+a1)+μ2(a2+a2)

=f+g2(a1+a1)+

f-g2(a2+a2)，(5.56)

質量權重相對動量為

P＾r=μ2P＾1-μ1P＾2

=-iμ2μ1a1-a1μ1-a2-a2μ2

=f2-g22i[(f-g)(a1-a1)-(f+g)(a2-a2)].(5.57)

將式(5.56)以及式(5.57)與式(5.49)比較，有可見

[γ*-f(a1+a2)-g(a1-a2)]}∶(5.45)

利用∶e-a1a1-a2a2∶=|00〉〈00|，上式可改寫為

∫d2σΔ(σ，γ)g=1π|γ〉gg〈γ|，(5.46)

式中:|γ〉g是一種新的糾纏態，為

|γ〉g=exp-12|γ|2+(fγ+gγ*)a1+(fγ*-gγ)a2-

fg(a21-a22)-(f2-g2)a1a2|00〉.(5.47)

它滿足本征方程

[f(a1+a2)+g(a1-a2)]|γ〉g=γ|γ〉g，

[f(a1+a2)+g(a1-a2)]|γ〉g=γ*|γ〉g，(5.48)

或者

[(f+g)(a1+a1)+(f-g)(a2+a2)]|γ〉g=2γ1|γ〉g，

[(f-g)(a1-a1)+(f+g)(a2-a2)]|γ〉g=2iγ2|γ〉g.(5.49)

另一邊緣分布為