就能導出
∫d2ηπe2λη21ηn′-s+m-k(η*)m′-s+n-ke-|η|2
=∫d2ηπeλ2(η2+η*2)ηn′-s+m-k(η*)m′-s+n-ke-(1-λ)|η|2
=λ2n′-m′+m-n2(1-λ)n′+m-s-k+1
∑∞l=0
λ2l(n′+m-s-k+2l)![2(1-λ)]2ll!l+n′-m′+m-n2!
=A(s，k)2F1[b，c；d；λ2br(1-λ)2]，(5.109)
式中:
b=12+n′+m-s-k2，′+m-s-k2，
d=1+n′-m′+m-n2，A(s，k)=λ2d-1(2b-1)!(1-λ)2bΓ(d).(5.110)
2F1(α，β；γ；z)是廣義的Hypergeometric函數(超幾何函數)：
2F1(α，β；γ；z)=Γ（γ）Γ(α)Γ(β)∑∞n=0Γ(n+α)Γ(n+β)Γ(n+γ)znn!，(5.111)
要求|z|＜1.
將式(5.109)代入式(5.107)，得到矩陣元
H′m′n′，mn
=〈n′，m′|e-λ(X＾1-X＾2)2|m，n〉
=B∑min[n′，m′]s=0
∑min[n，m]k=0
[-(1-λ)]s+k(n′+m-s-k)!s!(n′-s)!(m′-s)!k!(n-k)!(m-k)!?
2F1[b，c；d；λ2br(1-λ)2]，(5.112)
式中:B=(-1)m+m′m′!n′!m!n!λ2d-1(1-λ)n′+m+1Γ(d).當m=m′與n=n′時，式(5.112)就是能級的一級近似修正:
E(1)m，n=〈n，m|e-λ(X＾1-X＾2)2|m，n〉
=∑min[n，m]s=0
∑min[n，m]k=0
[-(1-λ)]s+km!n!(n′+m-s-k)!s!(n′-s)!(m′-s)!k!(n-k)!(m-k)!?
2F1[b′，c′；1；λ2br(1-λ)2](1-λ)m+n+1，(5.113)
式中:b′=n+m-s-k+12，+m-s-k+22以及E(1)m，n=E(1)n，m.
特別地，當取m′=m=0時，式(5.112)變為
〈n′，0|e-λ(X＾1-X＾2)2|0，n〉
=n′!λ2n′-n2n!(1-λ)n′+1Γ1+n′-n2?
2F1n′+12，1+n′2；1+n′-n2；λ2(1-λ)2，(5.114)
再取n=n′=0，則基態的矩陣元為
〈0，0|e-λ(X＾1-X＾2)2|0，0〉=11-2λ.(5.115)
就能導出
∫d2ηπe2λη21ηn′-s+m-k(η*)m′-s+n-ke-|η|2
=∫d2ηπeλ2(η2+η*2)ηn′-s+m-k(η*)m′-s+n-ke-(1-λ)|η|2
=λ2n′-m′+m-n2(1-λ)n′+m-s-k+1
∑∞l=0
λ2l(n′+m-s-k+2l)![2(1-λ)]2ll!l+n′-m′+m-n2!
=A(s，k)2F1[b，c；d；λ2br(1-λ)2]，(5.109)