I第一行第二列），3塊。然後在B地轉I號線從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。
嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前麵算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前麵a＝1＋8＝9。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II
≠II×I。
我們不妨把結果整個算出來：
的確，I×II≠
II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，隻好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭發說，我們必須學會麵對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的數據出發，而不是靠想象和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為隻有數學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II
≠
II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裏麵的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？
好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體係，我們討論的是量子體係。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。
他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，隻要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式裏去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想象是靠不住的。
雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。
海森堡後來在寫給好友範德沃登的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體係的總能量應該是一個常數。於是他試著用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海麵和空中的雲彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡麵對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，thisisthemoment，他已經作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。
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飯後閑話：矩陣
我們已經看到，海森堡發明了這種奇特的表格，I×II≠II×I，連他自己都沒把握確定這是個什麼怪物。當他結束養病，回到哥廷根後，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什麼新鮮東西，正是線性代數裏學到的“矩陣”！回溯曆史，這種工具早在1858年就已經由一位劍橋的數學家Arthur
Cayley所發明，不過當時不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個字後來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關係很緊密）。發明矩陣最初的目的，是簡潔地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地“重新發明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學基礎上發展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。
數學在某種意義上來說總是領先的。Cayley創立矩陣的時候，自然想不到它後來會在量子論的發展中起到關鍵作用。同樣，黎曼創立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。