《九章算術》提出圓麵積公式：“術曰：半周半徑相乘得積步。”劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明這個公式。他首先從圓內接正６邊形開始割圓，逐步得到正１２、２４、４８……邊形。圓內接正多邊形的麵積當然都小於圓麵積，但無限分割下去，到“不可割”的時候，圓內接正多邊形就與圓完全“合體”。然後，劉徽說：“以一麵乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。
故以半周乘半徑而為圓冪。”這是說，將與圓合體的正無窮多邊形分割成以圓心為頂點，構成每邊為底的無窮多個小等腰三角形，這些小等腰三角形的高與其底的乘積是其麵積的２倍，將它們全部相加就是２個圓麵積。而所有這些小等腰三角形的底邊之和即是圓的周長，那麼，一個圓的麵積就是圓周長的一半乘半徑。這便證明了《九章算術》的圓麵積公式。
劉徽說《九章算術》公式中的周、徑，“謂至然之數”，這就是圓周率。劉徽仍從直徑為２尺的圓的內接正６邊形開始割圓，利用勾股定理，計算出各多邊形的邊長以及正１９２邊形的麵積的整數部分３１４寸２分作為圓麵積的近似值，代入剛剛證明了的圓麵積公式，反求出圓周長的近似值６尺２寸８分。“令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十”，相當於３.１４。
劉徽原理
近代數學大師高斯曾提出一個猜想：多麵體體積的解決不借助於無窮小分割是不是不可能的？這一猜想構成了著名的希爾伯特《數學問題》（１９００）第三問題的基礎。實際上，早在高斯前１５００多年，劉徽在證明劉徽原理時，就接觸了高斯猜想和希爾伯特第三問題。
原來，中國古代在多麵體分割中，一個長方體沿相對兩棱剖開，得到兩個楔形體，叫作塹堵。一個塹堵從一個頂點到底麵一邊剖開，得到一個錐體，其高的垂足在底麵的一角上，叫作陽馬；剩下的是四麵皆為勾股形的四麵體，叫作鱉！。為了證明《九章算術》的陽馬和鱉！的體積公式，劉徽提出了一個重要原理：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉！。陽馬居二，鱉！居一，不易之率也。”劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明了這個原理。
劉徽原理是其多麵體體積理論的基礎，表明劉徽把多麵體體積理論建立在無窮小分割基礎上的思想，與現代數學的體積理論驚人地一致。
學術界的主流看法是中國傳統數學沒有理論，主要是指沒有演繹推理。事實上，隻要讀懂劉徽注就會發現，他在數學命題的證明中主要使用了演繹推理，其中有三段論、關係推理、假言推理、選言推理、聯言推理、二難推理等演繹邏輯中最重要的推理形式。比如盈不足術劉徽注雲：“注雲若兩設有分者，齊其子，同其母。此問兩設俱見零分，故齊其子，同其母。”這個推理完全符合三段論第一格的ＡＡＡ式的規則。
《九章算術》提出圓麵積公式：“術曰：半周半徑相乘得積步。”劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明這個公式。他首先從圓內接正６邊形開始割圓，逐步得到正１２、２４、４８……邊形。圓內接正多邊形的麵積當然都小於圓麵積，但無限分割下去，到“不可割”的時候，圓內接正多邊形就與圓完全“合體”。然後，劉徽說：“以一麵乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。
故以半周乘半徑而為圓冪。”這是說，將與圓合體的正無窮多邊形分割成以圓心為頂點，構成每邊為底的無窮多個小等腰三角形，這些小等腰三角形的高與其底的乘積是其麵積的２倍，將它們全部相加就是２個圓麵積。而所有這些小等腰三角形的底邊之和即是圓的周長，那麼，一個圓的麵積就是圓周長的一半乘半徑。這便證明了《九章算術》的圓麵積公式。
劉徽說《九章算術》公式中的周、徑，“謂至然之數”，這就是圓周率。劉徽仍從直徑為２尺的圓的內接正６邊形開始割圓，利用勾股定理，計算出各多邊形的邊長以及正１９２邊形的麵積的整數部分３１４寸２分作為圓麵積的近似值，代入剛剛證明了的圓麵積公式，反求出圓周長的近似值６尺２寸８分。“令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十”，相當於３.１４。
劉徽原理
近代數學大師高斯曾提出一個猜想：多麵體體積的解決不借助於無窮小分割是不是不可能的？這一猜想構成了著名的希爾伯特《數學問題》（１９００）第三問題的基礎。實際上，早在高斯前１５００多年，劉徽在證明劉徽原理時，就接觸了高斯猜想和希爾伯特第三問題。
原來，中國古代在多麵體分割中，一個長方體沿相對兩棱剖開，得到兩個楔形體，叫作塹堵。一個塹堵從一個頂點到底麵一邊剖開，得到一個錐體，其高的垂足在底麵的一角上，叫作陽馬；剩下的是四麵皆為勾股形的四麵體，叫作鱉！。為了證明《九章算術》的陽馬和鱉！的體積公式，劉徽提出了一個重要原理：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉！。陽馬居二，鱉！居一，不易之率也。”劉徽使用極限思想和無窮小分割方法證明了這個原理。
劉徽原理是其多麵體體積理論的基礎，表明劉徽把多麵體體積理論建立在無窮小分割基礎上的思想，與現代數學的體積理論驚人地一致。
學術界的主流看法是中國傳統數學沒有理論，主要是指沒有演繹推理。事實上，隻要讀懂劉徽注就會發現，他在數學命題的證明中主要使用了演繹推理，其中有三段論、關係推理、假言推理、選言推理、聯言推理、二難推理等演繹邏輯中最重要的推理形式。比如盈不足術劉徽注雲：“注雲若兩設有分者，齊其子，同其母。此問兩設俱見零分，故齊其子，同其母。”這個推理完全符合三段論第一格的ＡＡＡ式的規則。