新大-基數公理和終極-L程序魯珀特-麥卡勒姆摘要 .
我們將考慮一些新的大基數構造 - erties，每個極限序數 ~＞0 的 a - 巨大基數，超 - 巨大基數，每個極限序數 a ＞0 的巨大基數，以及超 - 巨大基數。對於極限序數 a ＞0，a - 巨大基數和超巨大基數在 I3 和 I2 之間具有一致性強度。a-巨大基數和超-巨大基數的一致性強度大於10，以及Hugh Woodin關於合適擴展器模型的論文第二部分討論的所有大基數公理，不知道與ZFC不一致並且一致性強度大於10。拉爾夫·辛德勒和維多利亞·吉特曼已經發展了虛擬大基道具的概念，並且可以清楚地理解“幾乎是巨大的”和“幾乎超巨大的”的概念。假設 V \u003d HOD，一個可測基數可以證明是 vir - tually hyper - 巨大。使用在第 6 節中給出的終極 - L 的定義，聲稱是正確的定義，假設每個極限序數 a ＞0 存在一個適當的 a-巨大基數類，可以證明，如果 V 等於該定義意義上的終極 - L，那麼可以得出一個幾乎 w-巨大的基數是拉姆齊基數的極限。
我們可以引入超巨大*基數的概念，其強度略低於超巨大基數，並且可以證明，在不假設選擇的上下文中，作為初等嵌入j：Vx +2＜Vx +2的臨界點的基數必然是超巨大*基數。（假設依賴選擇公理很可能也可以證明它是超的 - 巨大的，但前一個命題是接下來所需要的。基於這個見解，我們可以得到這樣的基本嵌入的存在實際上與ZF完全不一致的結果。
最後，斷言每個極限序數 a ＞0 都有一個適當的 a-巨大基數類，可以證明暗示了終極 - L 猜想的一個版本。
關鍵詞：終極-L程序，大基數。MSC ：03E45，
03E55
致我心愛的妻子Mari Mnatsakanyan，沒有她，這項工作是不可能的。
新的大基數公理和終極 - L 程序3
致謝 休·伍丁對這項工作的一些早期草案提供了非常有用的反饋，其中對A-巨大基數的概念提出了一些不令人滿意的定義，我非常感謝他的幫助。
在下文中，我們將介紹一些新的大型 - 基數斧頭 - ioms ，以及它們的應用。讓我們首先介紹要考慮的新大基數屬性的定義。
1. 新大基數屬性的定義 定義 1.1.假設這是一個極限序數，使得 ＞0。我們說一個不可數的正則基數k是一個巨大的，如果存在一個遞增的基數序列（kB ：β＜ a），使得Vx，＜ V對於所有B＜a，並且如果n＞1和（ß;：i ＜ n）是一個小於a的遞增序數序列，那麼如果Bo≠0，那麼對於所有B\u0027＜Bo有一個基本嵌入j：VrB ._.＜ VrB ._，臨界點為1Kgr和j（kBr）\u003d KB ，並且j（kB ）\u003dkB1對於所有i使得0≤i＜n -2，如果Bo \u003d 0則有一個基本嵌入j：Vrg ._ Vka ._， 臨界點 k \u0027＜ Ko 和 j （ k \u0027）\u003d ko 和 j （ kB ）\u003dkB4，對於所有 i 這樣的 0≤ i ＜ n -2。
定義 1.2.一個基數 k 使得 k 是 k - 巨大被稱為超 - 巨大 .
定義 1.3.假設這是一個極限序數，使得 ＞0，並且 （ rg ： B ＜ a ） 與一個族一起
F的初等嵌入見證了這是一個 - 巨大的，隻有一個嵌入在家族中
F 見證每個小於 a 的序數有限序列的 - 巨大性。假設給定任何小於 a 的序數 （B ： i ＜ w） 的 w-序列，有一個具有臨界序列 （s ，： i ＜ w 的基本嵌入 j ：V1+1V1+1），通過將 F 中明顯的 w-嵌入序列粘合在一起而獲得，其中 入：\u003d 上新 KiBn ·進一步假設有一個初等嵌入 k ： V ＜ M，固定所有大於 “ 的正則基數，VCMand （ Va +1） Va +1;和 kVa \u003d jV .如果 B ：\u003d suPnew Bn ＜ a ，則設 p ：\u003d kg ，否則設 p ：\u003d k 。假設，每當我們有 Vi +1 SCV 和 S E L （Va + i ）[ X ] 其中 X ：\u003d（ e ，“8;： i ＜ n ） 對於某個有限序數 n
其中每個 e 是臨界點大於 ＞ 的基本嵌入，e 的臨界序列的上確界和 d 是成對非重複，和 k（S） C S，那麼我們有 k（S）＜ S。如果所有這些條件滿足，則基數K稱為-巨大。定義 1.4.一個基數 k 使得 k 是 k - 巨大被稱為超 - 巨大 .
我們很快將確定 a - 巨大基數和超巨大基數相對於 I2 是一致的。我們還將確定 - lish a - 巨大基數和超 - 巨大基數比 I0 或任何其他已知與 ZFC 不一致的先前的 - 大 - 基數公理具有更大的一致性強度。最後一節將簡要討論定義原始表述的靈感來源，這可以作為假設這些大基數與ZFC一致的一些動機，續集中證明的結果可能會為假設一致性提供一些額外的動機。
讓我們首先確定極限序數 ＞0 的 a - 巨大基數和超 - 巨大基數的一致性強度嚴格介於 13 和 I2 之間。
2. @- 巨大基數和超巨大基數的一致性強度 定義 2.1.基數 k 被稱為 I3 基數，如果它是初等嵌入 j ：V2＜V2 的臨界點。I3 是斷言 - 斷言 I3 基數存在，I3（k ，0） 是斷言第一個語句對特定的序數對 k 成立，使得 k ＜ô。 定義 2.2.基數 k 被稱為 12 基數，如果它是初等嵌入的臨界點 j ： V ＜ M 使得 V2 C M 其中最小序數大於 k 使得 j （0）\u003d8.I2 是斷言 I2 基數存在，I2（ k ，） 是第一個語句對特定序數對 k 成立的斷言，這樣K＜8。
在本節中，我們希望證明 a - 巨大基數和超巨大基數的一致性強度嚴格在 13 到 12 之間。
定理 2.3.假設 k 是 w - 巨大的，如 （ ki ： i ＜ w ） 所見證的那樣。然後有一個正規的超濾子 U 在 ko 上，使得所有 k\u0027＜ ko 的集合使得 I3（k\u0027，8） 對於大約 8＜ ko，是 U 的成員。
證明。假設 k 是 w - 巨大，並且 （ k ： i € w ） 到 - gether 與某個族 F 的基本嵌入見證 k 的 w - 巨大性。可以假設在不損失一般性的情況下，F中所有具有臨界點ko的嵌入都產生相同的
新的大基數公理和終極 - L 程序 5
Ko 上的法線超濾子，在下文中用 U 表示。我們可以使用反射來顯示 ko ＜ ko\u003d\"\" belonging\u003d\"\" to\u003d\"\" any\u003d\"\" fixed\u003d\"\" member\u003d\"\" of\u003d\"\" u\u003d\"\" ,\u003d\"\" such\u003d\"\" that\u003d\"\" (k2,\u003d\"\" ko\u003d\"\" ,k1...),\u003d\"\" together\u003d\"\" with\u003d\"\" a\u003d\"\" certain\u003d\"\" family\u003d\"\" fo\u003d\"\" of\u003d\"\" elementary\u003d\"\" embeddings\u003d\"\" ,\u003d\"\" witness\u003d\"\" w\u003d\"\" -\u003d\"\" tremendousness\u003d\"\" of\u003d\"\" k\u003d\"\" .\u003d\"\" then\u003d\"\" we\u003d\"\" can\u003d\"\" repeat\u003d\"\" this\u003d\"\" procedure\u003d\"\" to\u003d\"\" find\u003d\"\" a\u003d\"\" k1\u003d\"\" belonging\u003d\"\" to\u003d\"\" the\u003d\"\" same\u003d\"\" fixed\u003d\"\" member\u003d\"\" of\u003d\"\" u\u003d\"\" such\u003d\"\" that\u003d\"\" k\u003d\"\"＞＜＞＜ ko\u003d\"\" ,\u003d\"\" such\u003d\"\" that\u003d\"\" (k2,k1,k0,k1,...),\u003d\"\" together\u003d\"\" with\u003d\"\" a\u003d\"\" certain\u003d\"\" family\u003d\"\" fi\u003d\"\" of\u003d\"\" elementary\u003d\"\" embeddings\u003d\"\" ,\u003d\"\" witness\u003d\"\" w\u003d\"\" -\u003d\"\" tremendousness\u003d\"\" of\u003d\"\" k\u003d\"\" .\u003d\"\" we\u003d\"\" can\u003d\"\" continue\u003d\"\" in\u003d\"\" this\u003d\"\" way\u003d\"\" ,\u003d\"\" and\u003d\"\" we\u003d\"\" can\u003d\"\" also\u003d\"\" ar\u003d\"\" -\u003d\"\" range\u003d\"\" things\u003d\"\" so\u003d\"\" that\u003d\"\" there\u003d\"\" is\u003d\"\" a\u003d\"\" sequence\u003d\"\" of\u003d\"\" embeddings\u003d\"\" jn\u003d\"\" :\u003d\"\" v\u003d\"\"＞＜ vk\u003d\"\" ,\u003d\"\" with\u003d\"\" critical\u003d\"\" point\u003d\"\" 2\u003d\"\" for\u003d\"\" all\u003d\"\" n\u003d\"\"＞1 的存在，它可以通過誘導來選擇，使得對於每個 n ＞1，對於所有 m 與 im 相幹，使得1＜ m ＜ n ，以及來自 Fn 的臨界序列以 （K，K1,...開頭的嵌入K ，2） 可以選擇，以便與 中相幹。通過這種方式，我們得到一個序列 （，： n ＜ w） 和一個具有前麵所述屬性的嵌入 jn 序列。對於任何給定的 U 元素存在這樣一對序列，就會產生所聲明的結果。