假設V\u003d終極L，則連續統假設為真，並且所有關於集合論的獨立性問題都可以還原為有關更大無窮的公理，它還為集合論提供了一個對科恩力破免疫的公理化基礎。在這個意義上，這將是哥德爾綱領的一個實現。更進一步，如果V\u003d終極L是真的，那麼就存在一個獨特的集合論模型，從某種意義上說它就是真實的集合宇宙。這-事實本身說明集合的宇宙是一個確定的客觀實在，可以看作是支持柏拉圖主義的證據。
本文打算討論這樣的一個問題:哥德爾所堅持的柏拉圖主義如何影響著在他之後的數學基礎研究，特別是集合論的研究。一方麵，將柏拉圖主義作為工作假設在很大程度上影響了集合論發展的走向，另一方麵，這些研究的一些出人意料而又極具意義的重大進展又在一定程度上為柏拉圖主義做出了有力的辯護。哲學和數學之間這樣顯明的關聯是不多見的，在我們看來對這類關聯的研究是數學哲學中最有意義的課題之一。
在討論正題之前，針對數學中的柏拉圖主義和數學哲學研究的方法論問題，我們想先談一點看法，因為在現有的數學哲學研究中，大家的出發點和研究問題方式是很不相同的。
首先，本文不打算就哥德爾本人的強實在論立場作深入的討論。哥德爾的柏拉圖主義，在他1944年的“羅素的數理邏輯”([2])中就有所顯示。在羅素篇中，哥德爾引用了羅素將邏輯學與自然科學在本體論上的類比，“邏輯學一如動物學，它研究實在的世界，不過是研究其更抽象、更一般的特點而已”([6]);提到在認識論上的類比，邏輯和數學的公理不必非得具有自在的顯明性不可，而是可以從如下事實獲得核證，它們的後承與數學史的發展中被發現為自明的東西相符合。哥德爾評論道:“這個觀點已然大體上為後續的發展所核證，而將來可望獲得更多的核證”。近些年集合論的發展，似乎為哥德爾的預言做了進一步的核證。如同羅素(早期的)這種實在論觀點一樣，我們認為對科學這個概念不能僅僅理解為實驗科學或自然科學，而是要把數學這樣的以抽象概念為研究對象的科學包括在內。因此，數學哲學與物理學哲學和生物學哲學一樣，是科學哲學這一大類中的一員，而不是分析哲學或者其他什麼哲學的一個分支。
在方法論上，僅靠分析數學的語言隻能把握數學思想(或是數學哲學思想)很小的一部分，而且通常是在該數學領域發展成熟之後才可以進行。元語言和對象語言的劃分特別能說明這一點。雖然，理論上我們在數學中可以使用嚴格化的形式語言作為對象語言，但是卻不可能有完全形式化的元語言。當我們對形式化的數學做分析時，工作於其中的元理論是非形式化的，這個元理論的邊界卜分模糊。雖然有哲學家認為元理論包含了嚴格無窮的數學，但沒有證據表明，嚴格無窮的數學就是數學的全部。即便是在形式係統內部，數學家的工作也不是借助推理的規則推演出那些定理。更多的情況是通過對數學世界的某種直觀或認知，猜想或者斷言某些事實是真的，然後再以證明的方式去驗證。本文涉及的集合論中的-些最新的進展特別表明了這一點。
在方法論的另一方麵，我們認為把數學實踐統統歸結到大腦神經元的活動對數學哲學的研究作用不大。就像物理學哲學不會把物理學家的大腦作為研究對象一樣，分析數學家的大腦也無助於數學真理的獲得。有眾多的哲學理論試圖將數學語言中有關數學對象，特別是無窮對象的存在斷言進行重新解釋，使其本質上成為談論某些有窮的物理對象，如符號，或大腦內部某種狀態的言語。但是，迄今為止，沒有任何哲學理論能如其聲稱的那樣完成這種解釋。盡管我們相信腦科學的發展會對數學哲學產生根本性的影響，但今天的腦科學知識距離分析人的思維活動還差得很遠。現在就期待腦神經科學家來給數學哲學問題提供答案是對問題的過度簡化。在這種簡化下，人類的所有思維，無論是物理學、數學還是文學都(在當今的科技條件下)毫無區別。一種健全的數學哲學最起碼要與數學實踐密切相關，否則隻能成為文字遊戲。
抱著這樣的信念，我們就不可避免地要密切關注當代數學的進展。任何有關哲學的論斷，都要盡可能地在已有或正在取得的數學成果中尋找相關的“證據”這裏的情形可以與物理學哲學做一個比較。一大部分的物理學哲學研究，如果不是全部的話，與近百年來物理學在一些基礎問題上的重要理論和進展密切相關。但正如科納(P.Koellner)所指出的，數學哲學中絕大多數工作卻相反，它們與當代數學的發展幾乎毫無關係。([5])造成這種局麵的原因十分複雜，不屬於本文討論的範圍。但是，十分確定的是:加強這個方向的研究，保持數學哲學與數學的最新進展的密切聯係，應該能期待巨大的收獲。當然，這也不可避免地使得這類數學哲學研究更為數學化。
最後，文章中的數學定義和定理，從某種意義上，是我們為論證而搜集的證據。借助這些定理，讀者可以更好地把握概念間的關係，大致看出當今集合論發展的脈絡，從而體會出其中的哲學意蘊。郝兆寬.楊躍柏拉圖主義與集合論終極宇宙。
1獨立性現象與數學真理
集合論中充滿了獨立性現象。在這些現象背後的是有關集合論真理的哲學問題，即:
一個集合論語言中的語句σ是真的，這是什麼意思
有一派觀點認為σ是真的當且僅當。在ZFC中可證。
我的感覺是，除了那些一致性命題，ZFC窮盡了我們的直觀，所以，證明意味著在ZFC內證明。([7]，第3頁)
而這就意味著那些獨立於ZFC的語句沒有真假可言。
這是一個有重大影響的選擇。其中最重要的影響就是承認CH本身是無意義的，而CH也許是我們對不可數集合所能提出的第一個重要問題。([1]，第13頁)
這樣的立場被稱為“形式主義”。與之相對應的立場是“柏拉圖主義”，它認為一個集合論語句為真當且僅當它描述了集合宇宙中的一個客觀事實。獨立性命題產生的原因是我們對客觀數學世界的認識不夠完備。但這不意味著這些命題本身是沒有真假的無意義命題，相反隨著對集合宇宙認識的不斷深入，我們最終會決定它們的真假。
基於此處采取的立場，從已接受的集合論公理出發，一個有關康托猜想的不可判定性的證明(與一個對的超越性的證明完全不同)決不是問題的解決。.集合論概念和定理描述了一個完全確定的實在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源於今天已接受公理的對它的不可判定性，隻能意味著這些公理沒有完備地描述那個實在。這一信念絕非空想，因為有可能指出一些方向，在其中能得到對一些問題的判定，而這些問題對於通常的公理是不可判定的。([4]，第260頁)
把所有獨立於ZFC的命題都看作無意義的，這種觀點有一個困難就是這些命題在認識論地位上不是完全等價的。例如，有人認為CH無意義，因為“任意實數的子集”這個概念模糊不清。但是，幾乎不會有人認為“所有投影集都是可決定的(PD)”無意義，因為這其中並不涉及“任意實數子集”的概念，而隻是談論了投影集這樣的具體可定義的數學對象。但PD與CH一樣，是獨立於ZFC的。因此，武丁(H.Woodin)向形式主義提出了如下挑戰:
……(形式主義)這種立場要站得住腳，那就或者集合論中類似的不可解問題也必須被看作是無意義的，或者必須解釋為什麼連續統假設的問題是與那些問題不同的。我指的是那些描述集合論的經典問題，它們在連續統假設提出不久也被提了出來。([8]，第29頁)這要求人們進一步仔細分析PD與CH:
定義1.1無窮基數δ是武丁基數當且僅當對任意函數f:δ→δ，存在初等嵌入j:V→M，如果κ\u003dcrt(j)，則f[κ]M並且Vj(f)(x)M。我們用
W\u003d{δ|δ是武丁基數}
表示全體武丁基數的類。
1985年武丁證明了以下定理:
定理1.2(武丁，1985)如果M是ZFC的傳遞模型，並且M“W是真類”，則對任意M脫殊濾G，
VM＜VM[G].
ω+1ω+1
VM＜VM[G]蘊涵著VM和VM[G]
ω+1ω+1ω+1ω+1
初等等價，因此以上定理就表明，如果存在任意大的武丁基數，則任何形如“Vω+1╞σ”這樣的句子都不能用(集合)力迫的方法證明其獨立性。此時我們稱V11的一階理論Th(V1)是脫殊絕對的。這一結果的意義在於，大基數公理(存在任意大武丁基數)可以給有關Th(V1)的所有問題以確定的回答。又由於PD，乃至經典描述集合論中所有有關投影集的問題都屬於Th(V+1)，這也意味著在大基數公理下，它們都有確定的真值，而不再是獨立的。特別地，對PD馬丁和斯蒂爾(MartinandSteel)證明了: