Garden
V：宇宙V
L：可構造宇宙L
Ω：絕對無限（康托爾版本，並非本文版本）
ω：超限數
k：大基數
0\u003d1：矛盾
『花園』內含：
各種大基數的馮·諾依曼宇宙 V
＜萬有公理宇宙（可構造任何公理，包含了宇宙V、Ultimate-L以及其它當前人類不可理解的集合論宇宙所組成的無數個集合論宇宙集群）
＜\u003danti-萬有公理宇宙＜over-萬有公理宇宙
＜...＜超視界拓撲網（其微不足道的分流上都存在無數個不同的數學體係集群[其中就有包括人類已知數學體係乃至over-mathematics、above-mathematics等更強的數學體係]，萬有公理宇宙隻是此無限延展結構上的一個有限局部，無數個互相嵌套的集合論多宇宙也隻是網絡的一角）
＜\u003danti-超視界拓撲網＜over-超視界拓撲網
＜超巨結構網絡＜\u003danti-超巨網絡＜over-超巨網絡＜transcend-超巨網絡
＜...＜嵌套階層數作為集合量，形成新集合論體係（作品內不同集合論體係可有相對應的集合論宇宙）後得到的超巨結構
＜...＜將描述嵌套階層的集合論係統作為單位，形成無數個集合論體係後得到的結構
＜...＜將以上遞歸操作的次數作為集合量，形成一種或無數種集合論係統後得到的結構
莫哲就是花園本身，莫哲就是花園的一切，莫哲創造了數學的一切。
（這些構造全部取自《花園係列》小說原文，這些構造也是莫哲創造的。）
————————————
ℵ0（阿列夫0）就是第一個無限，代表所有自然數的集合。......
可比ℵ0還要廣泛的是什麼? 僅僅是在後麵加個1嗎... 還是加2.... 不對，實際上無論你在無限後麵加多少，它依然屬於ℵ0，依然屬於第一個無限。隻不過在數學上，無法一一對應在ℵ0之後的自然數字，我們把它叫做超限序數ω。（ω也就是ℵ0，這樣寫是為了描述ℵ0後麵的數。可這並不意味著ω+2＞ω+1，以此類推，它們隻不過是順序如此，而不是大小。）......
可在數軸上，即便是0到1間存在的實數也比自然數集要多。實數集是不可數集，莫哲在剛才才學會了這點，方程式教他如何通過康托爾對角線進行證明。隻要將我們在（a，b）間的非自然數任意列舉出來，數字是隨意的：
n 0 123456789
r1 \u003d 0.528282889...
r2 \u003d 0.283838296…
r3 \u003d 0.283883828…
r4 \u003d 0.382828288…
r5 \u003d 0.438282828…
r6\u003d 0.592636637…
r7\u003d 0.472716173…
………
試想一下，每一個對應一個自然數的實數就可以無限延續下去，從1到正無窮，自然數集上似乎有著用不完的數能和0與1之間的所有實數對應，自然，它們都是無限。但問題是，它們等價嗎? 兩種無限等價嗎?
顯然不是。
隻要我們以斜角的角度分別在這些數中取出一個數字，就會組成另外一個實數。以上麵列出的數字為例，就應該是0.5838861………
接著，在每一個寫出來的數字向前進一位。
就會變成0.6949972……。
0.6949972……這個實數便是一個全新的實數，屬於實數部分未與自然數對應的那個數。而當我們把這個全新的數字放在r（n+1）的數之後，再進行一次對角線證明，便又會得到一個與原先完全不一樣的全新實數。以此類推，這樣會得到的是無窮無盡的新實數————越來越多無限之外的數。
莫哲理解到0到1之間也存在無限，屬於實數的無限，一個比自然數集更大的無限，究其原理是因為它是屬於自然數的冪集，而冪集的子集要遠遠大於且無法與自然數的原集一一對應。（冪集是保證任何集合的冪集均為集合。如P({a，b})\u003d{∅，{a}，{b}，{a，b}}.P(·)稱為冪集運算。）
ℵ0的冪集是一個比ℵ0要廣闊的無限，而這種冪集可以無窮無盡的套下去，一個瘋狂、絕對浩瀚的階梯：
P{ℵ0}。
P{P{ℵ0}。
P{P{P{ℵ0}}}。
P{P{P{P{ℵ0}}}}。
P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}。
P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}。
P{P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}}。
P{P{P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}}}。
P{P{P{P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}}}}。
P{P{P{P{P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}}}}}。
…………
P{……………P{P{P{P{P{P{P{P{P{ℵ0}}}}}}}}}……}
……………
……………
直至無限次冪。......
莫哲（人類）知道替代公理指的是在任一代數恒等式中，每一個字母符號隻是一個泛指的變量，因而可用其它形式的字母或恒等的函數表達式(隻要用這些表達式替換後等式兩邊均仍有意義)替換，替換後等式仍成立。......
ω^2。
ω^3。
ω^4。
ω^5。
ω^6。
………
ω^ω。
我們還能永無止境的構造新的序數。
ω^ω^ω^ω。
ω^ω^ω^ω^ω^ω。
ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω。
ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω。
^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω。
........
就像之前定義ω一樣，將這些無盡的整合起來：ℵ0自身的ℵ0無限次的ℵ0的無限次的ℵ0的無限次的ℵ0的無限次的....ℵ0的無限次方，最終合成一個新的序數β。β代表的就是一個全新的序數，一個容納和表示之前一切套娃形式的序數總和。......
β^2。
β^3。
β^4。
………
β^β。
β^β^β。
β^β^β^β^β^β。
…………
直到出現和ω同樣的效果，此刻我們用β（2）表示這個遠遠還要大於β的新序數，以此類推，之後還會出現β（3），β（4）....後一個都是前步驟的無限次方的無限次方...的無限次方的重複疊加。
在我們再次無數次重複到達以上步驟後，這些良性序數.... 乃至所有序形之後，便是一個新的高度。
最終，是超越先前一切的疊加。
算法說，我們爬完了塔的第一層。抵達了ℵ1（阿列夫1），也得到了一個全新的基數。......
ℵ1，ℵ2，ℵ3，ℵ4，ℵ5………ℵω……ℵω^ω....ℵω^ω^ω...ℵω^ω^ω^ω^ω^ω……ℵω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω...
——《核冬元年》
“怎麼會，就像1和0之間依然可以放下無數個實數一樣，那些實數間又可以放下同樣數量的其他實數，這是沒有邊界的。把那些數變成可拓展宇宙的個數同樣如此。”
——《26》
就像實數的無限＞自然數的無限，在一個數軸中，0到1之間的實數的個數就可以和數軸上所有的實數一一對應，哪怕它們自身就是實數的一部分。而同樣奇妙的現象也出現在奇數和偶數上，起初誰又能想到，奇數與偶數個數的和，與奇數或者偶數的個數是一樣多的。
梁學超覺得我們宇宙其實也是這樣的：如果把宇宙的尺度和數量看成一個正向數軸，按照先前提出的概念，僅僅是0到1之間的實數無窮就已經超越了數軸上全體自然數的和（用康托爾對角線可以證明這個理論）。
——《分形圖》
圖靈機器用逼近遞歸上界的超級算力製造出了一批批全新的現實宇宙，又以同樣的方式在這之上進而去拓展出ω無窮次方的嵌套套娃模式，以及之上的各種不動點。圖靈機用替代公理將那些新生宇宙的刷新速度不斷地拓展開來，直到那些可計算函數的不動點越過了直謂序數的上界，也就是Γ序數級。......
人類麵對的主要問題就像兩個自然數之間的實數等於全體實數之和這樣的反常識結論，單單用遞歸方式去構建的算力終究隻能停留在小於遞歸上界的序數層麵。
簡單來說，無論是佛教中所謂的一花一世界一葉一菩提；還是古典哲學猜想中一個微觀粒子裏便包含著無數個不斷無限分裂的宇宙的嵌套關係……這些終究隻是在利用遞歸的圖靈可計算函數罷了——無限的套娃模式確實是沒有盡頭的，但這種模式又確實存在一個序數級的上界，即被稱為“邱奇克林序數”的可計算上界。任何遞歸算力機器都無法越過這個序數，就更別提遠高於這個上界的其他超窮數了。
——《分形圖》
遊戲的定義是一種完全信息的無窮博弈。
規則是這樣的：
存在兩個玩家。首先定義一個任意集合X，任意A⊂X^ω，博弈的Gˣ(A)，然後如下應用；遊戲在偶數輪中由玩家1選擇X中元素，記作x₂n，在奇數輪中由玩家2選擇X中元素，記作x₂n₊₁，遊戲即可進行。
遊玩過程中，玩家1和玩家2會得到各自x的奇偶序數角標。隨著次數越來越多，生成的無窮序列可以用一個表達式寫出：x＝{xⁱ}ⁱ＜ω。這種表達式，他們將其稱為一盤(play)。
同理，遊戲的中盤(partial)可以被定義為x的有窮前段。如果最後結果x∈A，則玩家1勝利，反之，玩家2勝利。
如果了解這個遊戲的技巧，會發現它的Gˣ(A)策略可以通過一個τ函數表示，這個函數被定義為X^＜ω到X，對任意有窮前段partial的給定是s∈X^＜ω。要是根據這個函數指示，玩家就可以知道下一步走的是τ(s)。
他想，方法是這樣的，首先給定一個策略τ。把一個y序列定義為{Yn}n＜N≤ω∈X^＜ω。將τ*y＝x的遞歸定義到x₂n＝τ(x|2n)，x₂n₊1＝yn；這樣，當玩家2走出y序列的時候，玩家1即可走τ策略對應所走成的中盤。而當且僅當y∈X^ω，τ*y∈A時，無論玩家2如何走，玩家1總能按照τ對應的策略贏的該盤。
類似的，如果遞歸定義為x₂n＝yn，x₂n⁺₁＝τ(x|2n+1)時，玩家1走出y序列，玩家2即可走τ策略對應所走成的中盤，τ就成為了玩家2的Gˣ(A)贏策略了。
……
很聰明，但要實際在棋盤上要完成這個步驟需要的時間又是多少？這不是一個實數集的問題嗎？
——《花園神祇》
康托爾定理
1．基數：基數是描述集合大小概念的量，集合元素間能夠一一對應的集合便是對等集合，比如4個人和4隻貓；5隻馬和5條狗，他們的基數是相同。自然基數是無窮多個，個數為N0(w0）也就是阿列夫0，是數學中最小的無限。（因此，我們也可以得知其實無限並不是數，而是指的所有自然數的集合。)
2．序數、序形：不可達性是無限的基本性質，雖然可以被更小的超限數持有，但並不意味著任意兩種無限的勢是相同的；比如，實數的無限就要＞自然數的無限。以康托爾對角線證明可知（小說中有詳細的證明過程），哪怕是0到1間的實數（這裏隻是單取無理數），全體自然數也遠遠無法和其一一對應。
而在康托爾集合中， lim n →∞(2/3) An 的極限是0，它的個數卻可以和實數個數相同，集合為 Cn -1/3 U (2/3+ Cn -1/3)。（該結論可用十進製轉化三進製再轉化為二進製進行證明）同樣的事情也出現在類似偶數和奇數或者偶數個數本身（沒有任何變化）。這種違反直覺的結果表示，這前者和後者的數量是相同的。
於是問題出現了，在我們意識到80之後，自然數的基數也就沒有了，沒有基數的對應，我們就無法做之後的研究。為了繼續延續w0之後的數而得到更大的基數，我們可以以w0+1、w0+2..．等等的形式表示，這些數被稱為序數，它們的排列結構被稱為序形（一般是為良性序形）。
值得注意的是，這並不意味著w0+2＞w0+1，序數無關大小，僅僅是排列如此。哪怕序數是w0w0，它依然不能說是＞w0+1的。
3．阿列夫序列、不可達基數：根據序數的出現，我們便可以去試圖構造新的非自然基數，這些被構造的大基數是無法被實例化的，因此它們的對象不可能被現實的物理宇宙物質所持有，我們的數概念也更像是這些基數的映射。良性序形是一個構造更大基數構造過程回看小說），目的是為了解決w0w0w0w0.．這種無限製的構造問題。N1便是在我們構造無數次良性序列後宣稱的最終結果，此外，整個阿列夫序列都滿足以上步驟，且根據1、2點可知，它的不可達性必定被更小數持有（及正則超限基數序列中的更小數）。
這樣無限的疊加最終的結論便是得到一個不可達基數0，一個更大的基數，也是我們目的想要得到的最小的大基數。也就是所謂的強弱不可達基數。
以上，如圖一，在類似無限的步驟重複後，現代數學的無限結構便清晰可見。這種無限可能就是康托爾宣稱的絕對無限，康托爾相信，這也就是絕對意義上的神或者上帝。這種無限龐大到可怕，甚至連公理和矛盾也包涵其中（詳見圖一）。而小說中，根據最終公式推理出的\"花園\"的概念便是基於在這個結構的基礎上，宣稱的一種絕對無限（乃至之卜）象征的超凡理念。
問題在於，根據康托爾定律，我們依然可以構造哦集合S的冥集，在一般情況下，無論這個大基數有多“大”，根據冥集公理，集合的所有子集構成的類事集合的冥集。P（X）永遠都會大於X。
可現在，如果我們這樣幹的話，就會得到了一個矛盾了。因為你會發現，按照先前的定義，S也必須包含P（S)。
在數學上，這是一種“未完成”活著叫做“未構造”的結構，因為作為一切可能的基數中最大的。它所有的子類都是它的分子，子類的數目不會比分子的數目大。按照該思路，絕對無限（康托爾版本）便是可以包涵自己的冥集。也就是說P（Ω）依然是Ω的元素。