本文本質上是Evidence for Set-Theoretic Truth and the Hyperuniverse Programme的讀書筆記。如無特別注釋，都出自於此文。
本文的計劃如下。首先，我將回顧一些流行的一階公理，它們很好地滿足了集合論實踐的需要，並論證上述豐富性預測。其次，我將討論在整個數學中的獨立性鮮為人知的力迫公理作為上述基礎性預測的證據的作用。而到目前為止，本文的主要內容和核心目標是第三部分，在這一部分中我將介紹玄宇宙計劃，包括其哲學基礎和最新的數學發展。
【省流大師】
·Hyperuniverse Programme, HP（玄宇宙計劃）是對內模型的基本性質的另外一個方向的探尋綱領，使得內模型可以滿足集合論哲學的最大化思想的要求。
·玄宇宙計劃目前依舊活躍。[1]
·玄宇宙計劃目前最好的成果是SIMH# \u003d SIMH + #-生成。
·玄宇宙計劃提出的一部分候選者有能力決定連續統假設不成立。
【玄宇宙計劃的哲學原理】
免責聲明：這段數學哲學說書不代表本人的數學哲學觀點，隻是作者的觀點的摘錄
三類證據：
·集合理論實踐的豐富性（第一類證據）。
集合論作為數學的一個分支，其發展是如此豐富，以至於對於哪些一階公理（超越ZFC加小的大基數）最有利於這一發展，永遠不會有共識。
·一個基礎性的需要（第二類證據）。
正如AC因其對數學實踐的重要作用而被接受一樣，對整個數學的獨立性結果的係統研究將發現與CH（因此也包括V\u003dL）相矛盾的一階陳述，這些陳述最適合解決這種獨立性。
·一個最佳的最大化標準（第三類證據）。
通過玄宇宙計劃，將有可能得出一個最佳的非一階公理，表達集合論宇宙在高度和寬度上的最大化；這個公理將有與CH相矛盾的一階後果（因此也包括V \u003d L）。
·集合論的真理論。
將會有一些集合論的一階聲明，它們能很好地滿足集合論實踐和解決整個數學的獨立性的需要，而且這些聲明可以從集合論宇宙的高度和寬度的最大化中推導出來。這樣的陳述將被視為集合論的真實陳述。為了使一個與V\u003dL相矛盾的一階聲明被視為真實，它必須很好地滿足集合論實踐和解決數學中的獨立性的需要，而且它至少必須與最佳最大化標準所表達的集合論宇宙的最大化相一致。
·超越一階。
對於與V\u003dL相矛盾的擬議的一階公理的真實性，永遠不會有共識；相反，真正的一階語句將僅僅作為真正的非一階公理的後果出現。
第一類證據：
即使我們產生了一個很好的公理[2]，其形式為 \"有（一切）大基數，V是L的典型泛化\"，這樣做也會使我們在一個類似L的環境中進行集合論。事實上，在集合論上還有其他令人信服的觀點，它們將我們引向非類-L環境，並相應地引向完全不同的第一類公理。
·力迫公理有很長的曆史，可以追溯到馬丁公理(MA)，這個簡單的公理可以用來一舉建立大量集合論語句的相對一致性。自然地，人們對MA的強化有興趣，一個流行的強化是恰當力迫公理（PFA），它把這個公理強化到更廣泛的恰當偏序類。而PFA自然的和類-L公理不兼容
·在研究實數集的可定義理論和組合學特性時出現了大量的自然的基數，他們都是至多為連續統的不可數基數。這些特性提供了一個低於連續統的獨特的不可數基數的大譜係，因此連續統確實相當大，與類-L性和力迫公理相矛盾。
因此，我們有三種不同類型的公理，具有出色的第一類證據：具有大基數的內模型公理、力迫公理和基數特征公理。它們相互矛盾，但每一個都與其他公理的內模型的存在一致。在我看來，這清楚地表明第一類證據不足以確立集合論公理的真實性；它也不足以決定CH是否為真。
第二類證據：
·除了V\u003dL和力迫公理，對集合論之外的數學產生了重大影響，大基數公理（如超緊致）和基數特征公理(Cardinal Characteristic Axioms)的影響很小，而 ADL(R) 的影響至今不存在。
·作者預測，在解決整個數學的獨立性的集合論公理的選擇中，V\u003dL和力迫公理將是絕對的贏家。但是，由於V\u003dL與集合論宇宙的寬度的最大化相衝突，它不適合作為集合論真理論的實現，使得力迫公理成為目前領先的候選人。
筆記作者的評論：隻要你接納 canonicity ，V\u003dL和力迫公理都不需要好吧，直覺一念起刹那天地寬，施主隻使用數學的實踐需求來作為公理的第二類證據的話為何不速速皈依我構造主義類型論門下？
我Cubical TT修煉範疇論內功可以繼承布爾巴基之名，外功可通達一切可計算數學，一切數學的證明自動檢驗（形式化）和整個計算機科學，你個L公理力迫公理也敢上門來和我鬥實踐需求的陣？
第三類證據：
·高度（或序數）最大化。宇宙V是盡可能高的，即序數序列是盡可能長的。
·寬度（或冪集）最大化。宇宙V盡可能地寬（或厚），即每個集合的冪集盡可能地大。
·如果M是寬度最大的，那麼M的一個“增厚”性質在M的某個內部模型中也必須成立。在一階屬性的情況下，這被稱為內模型假設，或者IMH(Inner Model Hypothesis)。
完成主義和潛在主義[3]
·冪集迭代的結果有一個 \"極限\"，還是總是可以進一步擴展到更長的迭代？前者稱之為高度完成主義。反之為高度潛在主義。
·冪集運算的結果是確定的還是總是有可能通過增加更多的子集來進一步擴展它？前者稱之為寬度完成主義。反之為寬度潛在主義。
·玄宇宙計劃將遵循高度潛在主義和寬度完成主義：盡管我們有一個明確而連貫的方式通過迭代過程生成序數，但目前還沒有類似的迭代過程來生成越來越豐富的冪集。
為啥寬度潛在主義是不太合理的？考慮這樣的公理：
·任何序數都是潛在的可數：對於V的任何序數α，我們可以將V增厚到α是可數的內模型M。
激進潛在主義：高度潛在論 + 寬度潛在論
·即使隻是寬度潛在主義（允許宇宙被加厚），也會迫使我們進入高度潛在主義：如果我們繼續加厚以使V的每個序數都是可數的，那麼在Ord(V)步驟之後，我們也被迫加長以達到一個滿足冪集公理的宇宙 M0 。在那個宇宙中，原來的V看起來是可數的。但是，我們可以用這個新的宇宙 M1 重複這個過程，直到 M0 也被看作是可數的。之所以這滿足了高度潛在主義，是因為我們不能以所有宇宙的聯合來結束這個過程，否則這將不是ZFC的模型（冪集公理將失效），因此必須在高度上延長。
最大化協議：
本協議旨在將高度和寬度最大化的研究，分成三個階段。
1.將序數最大化（高度最大化）。
2.在實現了序數最大化之後，再實現基數最大化。
3.在對序數和基數進行最大化之後，對冪集進行最大化（寬度最大化）。
階段1通過#-生成完成，階段3通過類-IMH公理完成；對於基數最大化，我們希望對於一切基數 κ,κ+ 盡可能大。