DKè�\u0014二、簡單圖形慣性矩的計算簡單圖形的慣性矩可直接用式（７８）通過積分計算求得。
例７２矩形截麵高為ｈ、寬為ｂ。試計算截麵對通過形心的軸（簡稱形心軸）ｚ、ｙ（圖７４）的慣性矩Ｉｚ和Ｉｙ。
·８５·建築力學解（１）計算Ｉｚ取平行於ｚ軸的微麵積ｄＡ＝ｂ·ｄｙ，ｄＡ到ｚ軸的距離為ｙ，應用式（７８）得ｈ／２３２２ｂｈＩｚ＝ｙｄＡ＝ｙ·ｂ·ｄｙ＝∫Ａ∫－ｈ／２１２（２）計算Ｉｙ取平行於ｙ軸的微麵積ｄＡ＝ｈｄｚ，ｄＡ到ｙ軸的距離為ｚ，應用式（７８）得ｂ／２３２２ｈｂＩｙ＝ｚｄＡ＝ｚ·ｈ·ｄｚ＝∫Ａ∫－ｂ／２１２因此，矩形截麵對形心軸的慣性矩為ｂｈ３ｈｂ３Ｉｚ＝Ｉｙ＝１２１２圖７４圖７５例７３圓形截麵直徑為Ｄ（圖７５），試計算它對形心軸的慣性矩。
Ｄ２解取平行於ｚ軸的微麵積ｄＡ＝２ｚｄ＝２－２ｄ，ｙ槡（）２ｙｙ代入（７８）式得Ｄ／２２４２２Ｄ２πＤＩｚ＝ｙｄＡ＝２ｙ－ｙｄｙ＝∫Ａ∫－Ｄ／２槡（）２６４Ｄ４根據對稱性，圓形截麵對任一根形心軸的慣性矩都等於π。
６４為方便起見，表７１列出了幾種常見圖形的麵積、形心和慣性矩。而角鋼、槽鋼及工字鋼等型鋼截麵，其慣性矩可在附錄型鋼表中查得。
表７１幾種常見圖形的麵積、形心和慣性矩序號圖形麵積形心位置慣性矩ｂｂｈ３ｚＣ＝Ｉｚ＝２１２１Ａ＝ｂｈｈｈｂ３ｙＣ＝Ｉｙ＝２１２·８６·第七章截麵幾何性質（續表）序號圖形麵積形心位置慣性矩ｂｂｈ３ｚＣ＝Ｉｚ＝ｂｈ３３６２Ａ＝２ｈｂｈ３ｙＣ＝Ｉｚ＝３１１２ＤｚＣ＝πＤ２２πＤ４３Ａ＝Ｉｚ＝Ｉｙ＝４Ｄ６４ｙＣ＝２ＤｚＣ＝π（Ｄ２－ｄ２）２π（Ｄ４－ｄ４）４Ａ＝Ｉｚ＝Ｉｙ＝４Ｄ６４ｙＣ＝２１８４Ｉｚ＝－πＲπＲ２４Ｒ（）８９π２５Ａ＝ｙＣ＝２３ππＲ４Ｉｙ＝８三、平行移軸公式同一平麵圖形對不同坐標的慣性矩各不相同，但它們之間存在著一定的關係。下麵討論圖形對兩根互相平行的坐標軸的慣性矩之間的關係。
如圖７６所示截麵，Ｃ為截麵形心，Ａ為其麵積，ｚｃ軸和ｙｃ軸為形心軸，ｚ軸與ｚｃ軸平行，且相距為ａ。
ｙ軸與ｙｃ軸平行，其間距離為ｂ。相互平行的坐標軸之間的關係可表示為ｙ＝ｙｃ＋ａｚ＝ｚｃ＋ｂ（ａ）根據慣性矩的定義，截麵圖形對形心軸、的慣ｙｃｚｃ圖７６性矩分別為·８７·建築力學２２Ｉｚ＝ｙｃｄＡＩｙ＝ｚｃｄＡ（ｂ）ｃ∫Ａｃ∫Ａ而截麵圖形對ｚ、ｙ軸的慣性矩分別為２２Ｉｚ＝ｙｄＡＩｙ＝ｚｄＡ（ｃ）∫Ａ∫Ａ將（ａ）式代入（ｃ）式並展開，得２２２Ｉｚ＝（ｙｃ＋ａ）ｄＡ＝（ｙｃ＋２ｙｃａ＋ａ）ｄＡ∫Ａ∫Ａ２２＝ｙｃｄＡ＋２ａｙｃｄＡ＋ａｄＡ∫Ａ∫Ａ∫Ａ２上麵式中第一項ｙｃｄＡ是截麵對形心軸ｚｃ的慣性矩Ｉｚ；第二項ｙｃｄＡ是截麵對ｚｃ∫Ａｃ∫Ａ軸的靜矩Ｓｚ，因ｚｃ軸是形心軸，故Ｓｚ＝０；第三項ｄＡ是截麵的麵積Ａ；故ｃｃ∫Ａ２ＩｚＩｚａＡ＝ｃ＋烌（７９）２烍Ｉｙ＝Ｉｙｃ＋ｂＡ烎式（７９）稱為慣性矩的平行移軸定理或平行移軸公式。它表明截麵對任一軸的慣性矩，等於它對平行於該軸的形心軸的慣性矩加上截麵麵積與兩軸間距離平方的乘積。利用此公式可以根據截麵對形心軸的慣性矩、來計算截麵對與形心軸平行的其他軸的慣性矩、ＩｙｃＩｚｃＩｙ２２Ｉｚ或者進行相反的運算。從式（７９）可知，因ａＡ及ｂＡ均為正值，所以在截麵對一組相互平行的坐標軸的慣性矩中，以對形心軸的慣性矩最小。
平行移軸定理在慣性矩的計算中有廣泛的應用。
例７４用平行移軸定理計算如圖７７所示矩形對ｙ與ｚ軸的慣性矩Ｉｙ、Ｉｚ。
圖７７圖７８解前述矩形截麵對形心軸ｚｃ、ｙｃ的慣性矩分別為ｂｈ３ｂ３ｈＩｚ＝Ｉｙ＝ｃ１２ｃ１２應用平行移軸定理公式（７９）可得·８８·第七章截麵幾何性質３２３２ｂｈｈｂｈＩｚ＝Ｉｚ＋ａＡ＝＋ｂｈ＝ｃ１２（）２３３２３２ｂｈｂｂｈＩｙ＝Ｉｙ＋ｂＡ＝＋ｂｈ＝ｃ１２（）２３四、組合圖形的慣性矩的計算在工程實踐中，經常遇到組合圖形，有時由矩形、圓形、三角形等幾個簡單圖形組成，有時則由幾個型鋼截麵組合而成。若一個組合圖形，總麵積為Ａ，由麵積為Ａ１、Ａ２、Ａ３三塊圖形組合而成，根據慣性矩定義可知２２Ｉｚ＝ｙｄＡ＝ｙｄＡＡＡＡＡ∫∫１＋２＋３（７１０）２２２＝ｙｄＡ＋ｙｄＡ＋ｙｄＡ＝Ｉ１ｚ＋Ｉ２ｚ＋Ｉ３ｚＡＡＡ∫１∫２∫３所以組合圖形對某軸的慣性矩，必等於組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸的慣性矩的和。簡單圖形對本身形心軸的慣性矩可通過積分或查表求得，再應用平行移軸公式，就可計算出組合圖形對其形心軸的慣性矩。
實際中常見的組合截麵多具有一個或兩個對稱軸，這種對稱組合截麵對形心主軸的慣性矩，是在彎曲等問題中經常用到的截麵幾何性質。下麵通過例題來說明其計算方法。
例７５計算圖７８所示Ｔ形截麵對形心軸ｚ、ｙ的慣性矩。
解（１）求截麵形心位置由於截麵有一根對稱軸ｙ，故形心必在此軸上，即ｚｃ＝０為求ｙｃ，先設ｚ０軸如圖，將圖形分為兩個矩形，這兩部分的麵積和形心對ｚ０軸的坐標分別為３２Ａ１＝５００×１２０＝６０×１０ｍｍ，ｙ１＝５８０＋６０＝６４０ｍｍ３２５８０Ａ２＝２５０×５８０＝１４５×１０ｍｍ，ｙ２＝＝２９０ｍｍ２∑Ａｉｙｉ６０×１０３×６４０＋１４５×１０３×２９０故ｙｃ＝＝＝３９２ｍｍＡ６０×１０３＋１４５×１０３（２）計算Ｉｚ、Ｉｙ根據公式（７１０）整個截麵對ｚ、ｙ軸的慣性矩應等於兩個矩形對ｚ、ｙ軸慣性矩之和。即Ｉｚ＝Ｉ１ｚ＋Ｉ２ｚ兩個矩形對本身形心軸的慣性矩分別為３３５００×１２０４２５０×５８０４Ｉ１ｚ＝ｍｍ，Ｉ２ｚ＝ｍｍ１１２２１２應用平行移軸公式可得·８９·建築力學３２５００×１２０２８４Ｉ１ｚ＝Ｉ１ｚ＋ａ１Ａ１＝＋２４８×５００×１２０＝３７．６×１０ｍｍ１１２３２２５０×５８０２８４Ｉ２ｚ＝Ｉ２ｚ＋ａ２Ａ２＝＋１０２×２５０×５８０＝５５．６×１０ｍｍ２１２８８８４所以Ｉｚ＝Ｉ１ｚ＋Ｉ２ｚ＝３７．６×１０＋５５．６×１０＝９３．２×１０ｍｍ由於圖形對稱，ｙ軸經過矩形Ａ１和Ａ２的形心，所以１２０×５００３５８０×２５０３Ｉｙ＝Ｉ１ｙ＋Ｉ２ｙ＝＋１２１２＝１２．５×１０８＋７．５５×１０８＝２０．０５×１０８ｍｍ４例７６試計算圖７９所示由兩根№２０槽鋼組成的截麵對形心軸ｚ、ｙ的慣性矩。
解組合截麵有兩根對稱軸，形心Ｃ就在這兩對稱軸的交點。由附錄型鋼表查得每根槽鋼的形心Ｃ１或Ｃ２到腹板邊緣的距離為１９．５ｍｍ，每根槽鋼截麵積為３２Ａ１＝Ａ２＝３．２８３×１０ｍｍ每根槽鋼對本身形心軸的慣性矩為６４Ｉ１ｚ＝Ｉ２ｚ＝１９．１３７×１０ｍｍ６４圖７９Ｉ１ｙ１＝Ｉ２ｙ２＝１．４３６×１０ｍｍ整個截麵對形心軸的慣性矩應等於兩根槽鋼對形心軸的慣性軸之和，故得６６４Ｉｚ＝Ｉ１ｚ＋Ｉ２ｚ＝１９．１３７×１０×２＝３８．３×１０ｍｍ（２）Ｉｙ＝Ｉ１ｙ＋Ｉ２ｙ＝２Ｉ１ｙ＝２Ｉ１ｙ１＋ａ×Ａ１５０２＝２×１．４３６×１０６＋１９．５＋×３．２８３×１０３ｍｍ４［］（）２＝１５．８７×１０６ｍｍ４五、慣性半徑、極慣性矩１．慣性半徑上麵介紹了慣性矩的定義。在工程實際應用中，為方便起見，還經常將慣性矩表示為截麵麵積Ａ與某一長度平方的乘積，即２２Ｉｚ＝ｉｚ·ＡＩｙ＝ｉｙ·Ａ（７１１）式中，ｉｙ和ｉｚ分別稱為截麵對ｙ軸或ｚ軸的慣性半徑，單位為ｍ。由式（７１１）可知，慣性半徑可由截麵的慣性矩和麵積這兩個幾何量表示為Ｉｚ烌ｉｚ＝槡Ａ烍（７１２）Ｉｙｉｙ＝槡Ａ烎寬為ｂ、高為ｈ的矩形截麵，對其形心軸ｚ及ｙ的慣性半徑，可由式（７１２）計算得·９０·第七章截麵幾何性質３Ｉｚｂｈ／１２ｈｉｚ＝＝＝槡Ａ槡ｂｈ槡１２３Ｉｙｈｂ／１２ｂｉｙ＝＝＝槡Ａ槡ｂｈ槡１２直徑為Ｄ的圓形截麵，由於對稱，它對任一根形心軸的慣性半徑都相等。由（７１２）式算得ＩπＤ４／６４Ｄｉ＝＝＝槡Ａ槡πＤ２／４４２．極慣性矩如圖７１０所示，將整個圖形上微麵積ｄＡ與它到原點Ｏ距離（極半徑）ρ平方的乘積的總和，稱為該圖形對原點Ｏ的極慣性矩，用ＩＰ表示，即２ＩＰ＝ρｄＡ（７１３）∫Ａ由圖７１０可以看出，ρ、ｙ、ｚ之間存在著下列關係：２２２ρ＝ｙ＋ｚ圖７１０所以，由式（７１３）及式（７８）可知２２ＩＰ＝（ｙ＋ｚ）ｄＡ∫Ａ或ＩＰ＝Ｉｚ＋Ｉｙ（７１４）上式說明：截麵對任一直角坐標係中兩坐標軸的慣性矩之和，等於它對坐標原點的極慣性矩。因此，盡管過一點可以作出無限多對直角坐標軸，但截麵對其中任意一對直角坐標軸的兩個慣性矩之和始終是不變的，且等於截麵對坐標原點的極慣性矩。
例７７計算圓形截麵的極慣性矩ＩＰ。
解圓形的極慣性矩既可直接由（７１３）式積分計算，也可由（７１４）式利用慣性矩計算。現分別用兩種方法計算如下：（１）用式（７１３）積分計算圖７１１·９１·建築力學如圖７１１（ａ）所示，取圓環作為微麵積，ｄＡ＝２πρｄρ，代入式（７１３），得Ｄ４２２２πＤＩＰ＝ρｄＡ＝ρ（２πρｄρ）＝∫Ａ∫０３２（２）根據式（７１４）計算πＤ４利用已知圓截麵的慣性矩值（見例７３）Ｉｚ＝Ｉｙ＝，代入公式（７１４），得６４πＤ４ＩＰ＝Ｉｙ＋Ｉｚ＝２Ｉｚ＝３２例７８如圖７１１（ｂ）所示，計算內、外徑分別為ｄ和Ｄ的空心圓的極慣性矩ＩＰ。
解取ｄＡ＝２πρｄρ，則Ｄ／２４４４２２πＤπｄπＤ４ＩＰ＝ρｄＡ＝ρ（２πρ）ｄρ＝－＝（１－α）∫Ａ∫ｄ／２３２３２３２其中α＝ｄ／Ｄ，為空心圓的內外徑之比。
７．４慣性積、主慣性矩一、慣性積如圖７１２所示，我們將整個截麵上微麵積ｄＡ與它到ｙ、ｚ軸距離的乘積ｙｚｄＡ稱為微麵積ｄＡ對ｙ、ｚ兩軸的慣性積，而把微麵積ｄＡ與它到ｙ、ｚ軸距離的乘積ｙｚｄＡ的總和，定義為截麵對ｙ、ｚ軸的慣性積，用Ｉｙｚ表示：Ｉｙｚ＝ｙｚｄＡ（７１５）∫Ａ由慣性積的定義可知，慣性積數值，可能為正、為負或為零。它的單位是ｍ４或ｍｍ４。
圖７１２圖７１３根據式（７１５），如果截麵具有一個（或一個以上）對稱軸，如圖７１３所示，則對稱軸兩側微麵積的ｚｙｄＡ值大小相等，符號相反，這兩個對稱位置的微麵積對ｚ、ｙ軸的慣性積之和等於零，推廣到整個截麵，則整個截麵的Ｉｙｚ＝０。這說明，隻要ｚ、ｙ軸之一為截麵的對稱軸，該截麵對兩軸的慣性積就一定等於零。
·９２·第七章截麵幾何性質二、主慣性矩如圖７１４所示，當坐標軸ｚ、ｙ軸繞其原點轉動α角時，坐標軸變為ｚ１、ｙ１軸，截麵對轉動前後的兩對不同坐標軸的慣性矩及慣性積之間，存在著一定的關係，截麵對轉動後的坐標軸ｚ１、ｙ１的慣性矩及慣性積，是角度α的函數。可以證明，總能找到一個角度α０，使截麵對於相應的ｚ０、ｙ０軸的慣性積等於零，則ｚ０、ｙ０軸稱為Ｏ點處的主慣性軸。截麵對一點處主慣性軸的慣性矩，稱為該點處的主慣性軸矩。可以證明，一點處的主慣性軸矩，是截麵對通過該點的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。
圖７１４截麵形心處的主慣性軸，稱為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。
截麵對形心主軸的慣性矩，稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。
在計算組合圖形截麵的形心主慣性矩時，首先要確定其形心位置，然後視截麵是否有對稱軸而采用不同的計算方法。如果組合圖形截麵有一條或一條以上的對稱軸，則通過截麵形心且包括對稱軸在內的兩條正交軸線，就是截麵的形心主慣性軸，按照移軸公式並疊加計算得到的慣性矩即是形心主慣性矩。
【小結】１．在地球附近的物體，重力的合力作用線相對於物體總是通過一個確定的點，這個點就稱為物體的重心。均質體的重心與形心是重合的。平麵圖形的形心位置，隻與平麵圖形的形狀有關。
２．對於任意（組合）的平麵圖形，由於Ｓｚ＝Ａ·ｙｃ，Ｓｙ＝Ａ·ｚｃ。所以，在確定的坐標係中，如果已知麵積、麵積靜矩、形心坐標三項幾何量中的兩項，就可以計算另外一項。
３．截麵對一軸的慣性矩恒為正。截麵對任一直角坐標係中兩坐標軸的慣性矩之和，等於它對坐標原點的極慣性矩。一點處的主慣性軸矩，是截麵對通過該點的所有軸的慣性矩中的最大值和最小值。
【思考題與習題】７１．如圖７１５所示為Ｔ形截麵，Ｃ為形心，ｚ為形心軸，問ｚ軸上下兩部分對ｚ軸的靜矩存在什麼關係？
圖７１５圖７１６７２．如圖７１６所示的矩形截麵ｍｍ以上部分對形心軸ｚ的靜矩和ｍｍ以下部·９３·建築力學分對形心軸ｚ的靜矩有何關係？
７３．慣性矩、慣性積、極慣性矩是怎樣定義的？為什麼它們的值有的恒為正？有的可正、可負還可為零？
圖７１７圖７１８７４．圖７１７（ａ）所示矩形截麵，若將形心軸ｚ附近的麵積挖去，移至上下邊緣處，成為工字形截麵圖７１７（ｂ），問此截麵對ｚ軸的慣性矩有何變化？為什麼？
πＤ４７５．圖７１８所示直徑為Ｄ的半圓，已知它對ｚ軸的慣性矩Ｉｚ＝，則對ｚ１軸的慣１２８性矩如下計算是否正確？為什麼？
４２２４２πＤＤπＤ５πＤＩｚ＝Ｉ１＋ａＡ＝＋·＝１１２８（）２８１２８７６．慣性半徑與慣性矩有什麼關係？慣性半徑ｉｚ是否就是圖形形心到該軸的距離？
７７．圖７１９所示各截麵圖形，以各截麵的底邊為ｚ１軸，試計算對ｚ１軸的靜矩。
圖７１９７８．如圖７２０所示截麵圖形，求（１）形心Ｃ的位置；（２）陰影部分對ｚ軸的靜矩。
７９．計算圖７２１所示的矩形截麵對其形心軸ｚ的慣性矩，已知ｂ＝１５０ｍｍ，ｈ＝３００ｍｍ。如按圖中虛線所示，將矩形截麵的中間部分移至兩邊緣變成工字形，計算此工字形截麵對ｚ軸的慣性矩，並求出工字形截麵的慣性矩較矩形截麵的慣性矩增大的百分比。
·９４·第七章截麵幾何性質圖７２０圖７２１７１０．計算圖７２２所示的各圖對形心軸ｚｃ、ｙｃ的慣性矩。
圖７２２７１１．計算圖７２３所示的圖形對其形心軸ｚ的慣性矩。
圖７２３圖７２４圖７２５７１２．計算圖７２４所示的組合圖形對形心主軸的慣性矩。
７１３．要使圖７２５所示的兩個№１０工字鋼組成的截麵對兩個形心主軸的慣性矩相等，求ａ的值。
·９５·第八章軸向拉伸與壓縮掃一掃可見本章電子資源【學習目標】了解軸向拉壓時構件的受力與變形特點；掌握軸向拉壓時構件的內力（軸力）的求解、應力的分析與計算、變形的分析與計算；理解胡克定律，掌握軸向拉壓時的強度條件及強度計算。
８．１軸向拉伸與壓縮的概念在各種工程實際中，經常會遇到承受軸向拉伸或壓縮的構件，如圖８１（ａ）所示的磚柱，如圖８１（ｂ）所示桁架中的每一根杆件，如圖８１（ｃ）所示斜拉橋中的拉索等。分析它們的受力與變形形式，都是軸心拉伸或壓縮。
（ｂ）（ａ）（ｃ）圖８１（ａ）（ｂ）圖８２這些受拉或受壓的杆件雖外形各有差異，加載方式也並不相同，但它們的共同特點是：·９６·第八章軸向拉伸與壓縮在受力方麵，作用於杆件上的外力合力的作用線與杆件軸線重合；在變形方麵，杆件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。所以，若把這些杆件的形狀和受力情況進行簡化，都可以簡化成圖８２所示的受力簡圖。圖中用實線表示受力前的外形，虛線表示變形後的形狀。
一、軸向拉伸或壓縮時橫截麵上的內力求內力的基本方法是截麵法，它不但在本節中用於軸心拉（壓）杆的內力計算，而且將在以後各節中用於計算其他各種變形形式杆件的內力，因此應著重理解和掌握。下麵通過對如圖８３（ａ）所示的軸心受壓杆求橫截麵的內力，來闡明截麵法。
（１）為了顯示內力，沿欲求內力的橫截麵，假想地把構件截開為兩部分。任取一部分截離體（或稱為隔離體）作為研究對象，而棄去另一部分［圖８３（ｂ）或圖８３（ｃ）］。
（ａ）（ｂ）（ｃ）圖８３（２）隔離體上除了作用有原有外力Ｆ以外，在截麵上還受到截掉的另一段對它的作用力，此即橫截麵ｍｍ上的內力。根據連續性、均勻性假設，橫截麵ｍｍ上的內力是連續分布的，可稱其為分布內力，而這些分布內力的合力（或合力偶），稱為內力。有了這些內力的作用，使隔離體得以像未截開之前一樣仍處於平衡狀態。由隔離體的平衡條件可知，軸向拉（壓）杆橫截麵的內力，隻能是軸向力。因為外力的作用線與杆件軸線重合，內力的作用線也必然與杆件的軸線重合，所以稱為軸力，用ＦＮ表示。習慣上，把拉伸時的軸力規定為正，壓縮時的軸力規定為負。在求軸力的時候，通常把軸力設成拉力，即假設軸力的箭頭是背離截麵的。
（３）建立所取研究對象的平衡方程，並解出所欲求的內力，這裏是軸力ＦＮ。對圖（），，８３ｂ根據平衡方程∑Ｆｘ＝０得ＦＮ－Ｆ＝０ＦＮ＝Ｆ在這裏求出ＦＮ的結果為正，說明橫截麵上的軸力與假設的方向（或性質）相同，是拉力；反過來，若求出ＦＮ的結果為負，說明橫截麵上的軸力與假設的方向（或性質）相反，是壓力。
上麵這種這種假想地將構件截開成兩部分，從而顯示並求解內力的方法稱為截麵法。
由上可知，用截麵法求構件內力可分為以下四個步驟：（１）截開。沿需要求內力的截麵，假想地將構件截開分成兩部分。
（２）選取。選取截開後的任一部分作為研究對象。
·９７·建築力學（３）代替。用截麵上的內力代替棄去部分對留下部分的作用。
（４）平衡。根據平衡條件，建立研究對象的靜力平衡方程，解出需求的內力。
二、軸向拉（壓）杆的內力圖若沿杆件軸線作用的外力多於兩個，則在杆件各部分的橫截麵上，其軸力將不盡相同。
逐次地運用截麵法，可求得杆件上各部分橫截麵上的內力。以與杆件軸線平行的橫坐標軸ｘ表示各橫截麵位置，以縱坐標表示相應的內力值，這樣作出的內力圖形稱為內力圖。內力圖可以清楚、完整地表示出杆件的各橫截麵上的內力沿杆軸線變化的情況，是下一步進行應力、變形、強度、剛度等計算的依據。
對軸心拉（壓）杆軸來說，其內力是軸力ＦＮ，內力圖的縱坐標就是軸力ＦＮ。因此，軸心拉（壓）的內力圖稱為軸力圖，即ＦＮ圖。關於軸力圖的繪製，用下例說明。
例８１軸心拉壓杆如圖８４（ａ）所示，不計杆的自重，試求作其軸力圖。
解一般地，解題首先應識別問題的種類。由該杆的受力特點，可知它的變形是軸心拉壓，其內力是軸力ＦＮ。
由杆件的整體平衡條件求出支座反力。對於本例題這類具有自由端的構件或結構，一般可取含自由端的一段為截離體，這樣可以避免求支座反力。
用截麵法求內力。各隔離體如圖所示，由各隔離體的平衡條件，可以求得各段中的軸力。
：（），，ＡＢ段如圖８４ｂ由∑Ｆｘ＝０得ＦＮ１－１ｋＮ＝０所以ＦＮ１＝１ｋＮ圖８４·９８·第八章軸向拉伸與壓縮：（），，ＢＣ段如圖８４ｃ由∑Ｆｘ＝０得ＦＮ２－（４＋１）ｋＮ＝０所以ＦＮ２＝５ｋＮ：（），，ＣＤ段如圖８４ｄ由∑Ｆｘ＝０得由ＦＮ３＋（６－４－１）ｋＮ＝０所以ＦＮ３＝－１ｋＮ：（），，ＤＥ段如圖８４ｅ由∑Ｆｘ＝０得ＦＮ４＋（－２＋６－４－１）ｋＮ＝０所以ＦＮ４＝１ｋＮ如果在前麵已求得右端支座反力，則也可以取含支座端一段截離體求解。如求ＤＥ段中的ＦＮ４［圖８４（ｆ）］：由∑Ｆｘ＝０ＦＮ４－ＸＥ＝０得ＦＮ４＝ＸＥ＝１ｋＮ根據杆上各段截麵ＦＮ值作軸力圖，如圖８４（ｇ）所示。
內力圖一般都應與受力圖對正。對ＦＮ圖而言，當杆水平放置或傾斜放置時，正值應畫在與杆件軸線平行的橫坐標軸的上方或斜上方，而負值則畫在下方或斜下方，並必須標出符號＋或－，如圖８４（ｇ）所示。當杆件豎直放置時，正負值可分別畫在一側並標出＋或－。
內力圖上必須標全橫截麵的內力值及其單位，還應適當地畫出一些垂直於橫坐標軸的縱坐標線。內力圖旁應標明為何種內力圖。橫坐標軸名稱ｘ可以不標出，縱坐標ＦＮ也可以不畫。當熟練時，各截離體圖亦可不必畫出。
例８２豎柱ＡＢ如圖８５（ａ）所示，其橫截麵為正方形，邊長為ａ，柱高ｈ；材料的堆密度為γ；柱頂受荷載Ｆ作用。求作它的軸力圖。
圖８５解由受力特點識別該柱子屬於軸心拉壓杆，其軸力是ＦＮ。
考慮柱子的自重荷載，以豎向的ｘ坐標表示橫截麵位置，則該柱各橫截麵的軸力是ｘ·９９·建築力學的函數。對任意ｘ截麵取上段為研究對象，截離體如圖８５（ｂ）所示。圖中，ＦＮｘ是任意ｘ截麵的軸力，Ｇ＝γａ２ｘ是該段截離體的自重。
，由∑Ｆｘ＝０得ＦＮｘ＋Ｆ＋Ｇ＝０２所以ＦＮｘ＝－Ｆ－γａｘ（０≤ｘ≤ｈ）上式稱為該柱的軸力方程。該軸力方程是ｘ的一次函數，故隻需求得兩點連成直線，即得ＦＮ圖，如圖８５（ｃ）所示。
當ｘ→０時，得Ｂ下鄰截麵的軸力ＦＮＢＡ＝－Ｆ當ｘ→ｈ時，得Ａ上鄰截麵的軸力２ＦＮＡＢ＝－Ｆ－γａｈ應注意式中符號及其意義，第二個腳標表示所求內力的截麵處，第三個腳標表示杆件上與所求內力的截麵有關的相鄰截麵。以後，表示這種相鄰截麵的其他內力都用此法。
從上麵例子中，我們還可以總結得到求軸向拉壓杆軸力的規律：軸向拉壓杆任一截麵的軸力，等於該截麵任意一側所有軸向外力的代數和，其中以軸向外力的方向背離截麵者為正。
８．２軸向拉壓時橫截麵上的應力上節已經詳細討論了軸向拉壓時的內力及內力圖，本節來討論構件的應力。由內力計算構件橫截麵上各點處的應力，是為對構件作強度計算作準備。
上節討論的內力，是構件橫截麵上的內力，並未涉及到橫截麵的形狀和尺寸。而隻根據軸力並不能判斷杆件是否有足夠的強度。例如用同一材料製成粗細不同的兩根杆，在相同的拉力下，兩杆的軸力自然是相同的。但當拉力逐漸增大時，細杆必定先被拉斷。這說明拉杆的強度不僅與軸力的大小有關，而且與橫截麵麵積有關。所以要引入橫截麵上的應力的概念，來度量拉壓杆件的受力程度。
一、截麵上一點處的應力的概念如圖８６所示的受力物體，其橫截麵ｍｍ，截開後取隔離體如圖８７（ａ）所示，在截麵上某點處取微小麵積ΔＡ，ΔＡ上微內力的合力為ΔＦＲ。內力ΔＦＲ在麵積ΔＡ上的平均集度（即比值）為ΔＦＲｆｍ＝（８１ａ）ΔＡｆｍ稱為ΔＡ上的平均應力。當內力ΔＦＲ在麵積上均勻分布時，平均應力即稱為該截麵上ΔＦＲ該點處的應力；而當內力ΔＦＲ在麵積上非均勻分布時，則取ΔＡ趨於０時的極限值，即ΔＡΔＦＲｄＦＲｆ＝ｌｉｍ＝（８１ｂ）ΔＡ→０ΔＡｄＡ·１００·第八章軸向拉伸與壓縮ｆ稱為該截麵上該點處的應力。
圖８６圖８７過構件上的某一點可以切出橫截麵和許多不同方向的截麵，對這些不同方向的截麵來說，該點處的應力值是不同的。因此，說到一點處的應力，應該指明是對哪個方向的截麵而言。
上述的應力ｆ，也稱為該截麵上該點處的總應力。為了便於計算，總是把它分解為兩個分量，如圖８７（ｂ）所示，垂直於截麵的分量σ，稱為正應力，可分為拉應力和壓應力，其正負規定與軸力ＦＮ相同，即規定拉應力為正，壓應力為負；平行於截麵的分量τ，稱為剪應力（或稱切應力），其正負規定以剪應力相對於隔離體順時針轉為正，反之為負。
［］力應力是矢量。應力的量綱是，其基本單位是Ｎ／ｍ２或Ｐａ（帕斯卡），工程上常用［］長度２ＭＰａ（兆帕）和ＧＰａ（吉帕），其換算關係為１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ２１ＭＰａ＝１×１０６Ｐａ＝１Ｎ／ｍｍ２１ＧＰａ＝１×１０９Ｐａ二、軸向拉壓杆橫截麵上的正應力在拉（壓）杆的橫截麵上，與軸力ＦＮ對應的應力是正應力σ。我們研究的材料是連續的，由於橫截麵上到處都存在著內力，若以Ａ表示橫截麵的麵積，則各微麵積ｄＡ上的內力元素σｄＡ組成一個垂直於橫麵的平行力係，其合力就是軸力ＦＮ。根據靜力平衡關係，可得ＦＮ＝σｄＡ∫Ａ由於還不知道σ在橫截麵上的分布規律，所以單一由上式並不能確立ＦＮ與σ之間的關係。這就必須從觀察、分析杆件的變形入手，從幾何、靜力平衡等方麵進行研究，以確定應力的分布規律。
如圖８８（ａ）所示的軸向受拉杆，需要研究橫截麵上的應力分布規律，先進行實驗觀察。為了便於通過實驗觀察軸向受拉杆所發生的變形現象，受力前在杆件表麵均勻地畫上若幹與杆軸線平行的縱線及與軸線垂直的橫線，使杆表麵形成許多大小相同的方格，其中的縱線代表縱向纖維，橫線代表橫截麵。
在杆的兩端施加一對軸向拉力Ｆ，可以觀察到，受拉力作用以後，所有的縱線都伸長了，但是仍保持為直線並且仍互相平行；所有的橫線仍保持為直線，且仍垂直於杆軸，隻是相對距離增大了，小方格變成長方格，如圖８８（ｂ）所示。
·１０１·建築力學圖８８根據上麵觀察得到的現象，提出如下的假設：（１）縱向纖維假設：假設杆件內部，是由無窮根縱向纖維組成，每一根纖維都隻受到軸向拉伸或壓縮，在纖維之間互相沒有擠壓，即無橫向受力。
（２）平截麵假設：因為每一根橫線，都代表橫截麵，這些橫線在變形後仍保持為直線，且仍垂直於杆軸，隻是相對距離增大了。所以，我們假設變形前原來為平麵的橫截麵，變形後仍保持為平麵。這就是著名的平截麵假設（或稱為平麵假設）。由這一假設可以推斷，軸向受拉杆所有縱向纖維的伸長相等。由於我們研究的材料是均勻的，各縱向纖維的性質相同，因而其受力也就一樣。所以杆件橫截麵上的內力是均勻分布的，即在橫截麵上各點處的正應力都相等，σ等於常量，如圖８８（ｃ）所示。於是由式ＦＮ＝σｄＡ得出∫ＡＦＮ＝σｄＡ＝σＡ∫ＡＦＮσ＝（８２）Ａ這就是軸向受拉杆橫截麵上正應力即拉應力σ的計算公式。當軸力為壓力時，它同樣可用於壓應力計算。和軸力ＦＮ的符號規則一樣，軸向正應力規定拉應力為正，壓應力為負。
在壓縮的情況下，細長杆件容易被壓彎，這屬於穩定性問題，將在以後討論。這裏所說的壓縮是指杆件並未壓彎的情況，即不涉及穩定性問題。
ＦＮ使用公式σ＝時，要求外力的合力作用線必須與杆件軸線重合。此外，因為集中力作Ａ用點附近應力分布比較複雜，所以它不適用於集中力作用點附近的區域。
在某些情況下，杆件橫截麵沿軸線而變化，如圖８９所示。當這類杆件受到拉力或壓力作用時，如外力作用線與杆件的軸線重合，且截麵尺寸沿軸線的變化緩慢，則橫截麵上的ＦＮ應力仍可近似地用公式σ＝計算。這時橫截麵麵積不再是常量，而是軸線坐標ｘ的函數。
Ａ若以Ａｘ表示坐標為ｘ的橫截麵的麵積，ＦＮｘ和σｘ表示橫截麵上的軸力和應力，由公式σ＝ＦＮ得Ａ·１０２·第八章軸向拉伸與壓縮ＦＮｘσｘ＝（８３）Ａｘ圖８９圖８１０例８３如圖８１０所示為一懸臂吊車，斜杆ＡＢ為直徑ｄ＝２０ｍｍ的鋼杆，荷載Ｆ＝１５ｋＮ。當Ｆ移到點Ａ時，求斜杆ＡＢ橫截麵上的應力。
解當荷載Ｆ移到Ａ點時，斜杆ＡＢ受到的拉力最大，設其值為ＦＮｍａｘ，由橫梁的平衡，條件∑ＭＣ＝０得ＦＮｍａｘｓｉｎα×ＡＣ－Ｆ×ＡＣ＝０ＦＦＮｍａｘ＝ｓｉｎα由三角形ＡＢＣ的幾何形狀可求出ＢＣ０．８ｓｉｎα＝＝＝０．３８８ＡＢ槡０．８２＋１．９２代入ＦＮｍａｘ的表達式，得Ｆ１５ＦＮｍａｘ＝＝＝３８．７ｋＮｓｉｎα０．３８８即斜杆ＡＢ的軸力為ＦＮＡＢ＝ＦＮｍａｘ＝３８．７ｋＮ因此，ＡＢ杆橫截麵上的應力為·１０３·建築力學３ＦＮＡＢ３８．７×１０２σ＝＝Ｎ／ｍｍ＝１２３ＭＰａＡπ２×２０４三、直杆受軸向拉伸或壓縮時斜截麵上的應力前麵討論了直杆軸向拉伸或壓縮時，橫截麵上正應力的計算，今後將用這一應力作為強度計算的主要依據。但通過對不同材料進行實驗研究表明，拉（壓）杆的破壞並不都是沿橫截麵發生的，有時是沿斜截麵發生的。因此，為了更全麵地研究拉（壓）杆的強度，應進一步分析斜截麵上的應力。
圖８１１ＦＮ如圖８１１（ａ）所示，設直杆的軸向拉力為Ｆ，橫截麵麵積為Ａ。由公式σ＝，橫截麵Ａ上正應力σ為ＦＮＦσ＝＝ＡＡ設與橫截麵成α角的斜截麵ＫＫ的麵積為Ａα，則Ａα與Ａ之間的關係為ＡＡα＝ｃｏｓα如圖（）所示，若沿斜截麵假想地把杆件分成兩部分，以表示斜截麵８１１ｂＫＫＦＮαＫＫ上的內力，由左段的平衡條件可知ＦＮα＝Ｆ仿照證明橫截麵上正應力均勻分布的方法，同樣可得出斜截麵上應力也是均勻分布的結論。
若以ｆα表示斜截麵ＫＫ上的應力，於是有·１０４·第八章軸向拉伸與壓縮ＦＮαＦｆα＝＝ＡαＡαＡＦ把Ａα＝代入上式，並注意到σ＝，得ｃｏｓαＡＦｆα＝ｃｏｓα＝σｃｏｓαＡ如圖８１１（ｃ）所示，把應力分解成垂直於斜截麵的正應力σα和平行於斜截麵的剪應力τα，則有ｃｏｓｃｏｓ２σα＝ｆαα＝σα烌σ烍（８４）τα＝ｆαｓｉｎα＝σｃｏｓαｓｉｎα＝ｓｉｎ２α２烎從式（８４）可以看出，垂直於斜截麵的正應力σα和平行於斜截麵的剪應力τα都是α的函數，所以斜截麵的方位不同，截麵上的應力也就不同。當α＝０時，斜截麵ＫＫ成為垂直於軸線的橫截麵，σα達到最大值，且σαｍａｘ＝σ當α＝４５°時，τα達到最大值，且σταｍａｘ＝２可見，軸向拉伸（壓縮）時，在杆件的橫截麵上，正應力為最大值；在與杆件軸線成４５°的斜截麵上，剪應力為最大值。最大剪應力在數值上等於最大正應力的二分之一。此外，當α＝９０°時，σα＝τα＝０，這表示在平行於杆件軸線的縱向截麵上無任何應力。
８．３軸向拉壓時的變形直杆在軸向拉力作用下，將引起軸向尺寸的增大和橫向尺寸的縮小；反之，在軸向壓力作用下，將引起軸向尺寸的縮小和橫向尺寸的增大。
圖８１２·１０５·建築力學一、軸向拉伸與壓縮時變形的形式１．絕對變形如圖８１２所示，設等直杆的原長為ｌ，橫截麵寬為ｂ。在軸向拉力Ｆ作用下，長度由ｌ變為ｌ１，寬度由ｂ變為ｂ１。杆件在軸線方向的伸長為Δｌ＝ｌ１－ｌΔｌ稱為拉（壓）杆的縱向變形，對Δｌ，規定杆件受拉伸長時Δｌ為正，受壓縮短時Δｌ為負。
而杆件在垂直於軸線方向的橫向尺寸的縮小為Δｂ＝ｂ１－ｂΔｂ稱為拉（壓）杆的橫向變形，顯然，Δｂ與Δｌ的性質，永遠都是相反的。
２．相對變形軸向拉（壓）杆的縱向變形，與杆件的原長ｌ有關，雖然在一定程度上，能夠反映受拉杆的伸長量，但是不能反映杆件的變形程度。為了消除杆件長度的影響，將Δｌ除以ｌ，得杆件軸線方向單位長度的伸長量，用以說明杆件在軸向的變形程度，稱為軸向拉壓杆的縱向線應變，用ε表示Δｌｌ１－ｌε＝＝（８５ａ）ｌｌ上式也可改寫為Δｌ＝ε·ｌ（８５ｂ）若縱向線應變ε為已知，則可以由上式求得軸向拉壓杆的縱向變形Δｌ。由此可見，杆件的變形，是杆件各點應變的總和。
同理，將Δｂ除以ｂ，得杆件垂直於軸線方向的橫向單位寬度的改變量，用以說明杆件在橫向的變形程度，稱為軸向拉（壓）杆的橫向線應變，用ε′表示Δｂｂ１－ｂε′＝＝（８６）ｂｂ顯然，和Δｂ與Δｌ的性質相反一樣，軸向拉壓杆的縱向線應變ε與橫向線應變ε′的性質，也總是相反的。
二、軸向拉伸與壓縮時變形的計算研究表明，在軸向拉壓杆的正應力σ和縱向變應變ε之間，存在正比關係，即σ∝ε引入比例常數Ｅ，上式可寫為σ＝Ｅε（８７）式中Ｅ是一比例常數，稱為材料的彈性模量，常用單位是ＭＰａ，Ｅ的值隨材料不同而不同，·１０６·第八章軸向拉伸與壓縮它的具體值可由實驗來測定。幾種常用材料的Ｅ值見表８１。
表８１幾種常用材料的Ｅ和μ的約值材料名稱Ｅ／（ＧＰａ）μ碳鋼１９６～２１６０．２４～０．２８合金鋼１８６～２０６０．２５～０．３０灰鑄鐵７８．５～１５７０．２３～０．２７銅及其合金７２．６～１２８０．３１～０．４２鋁合金７００．３３式（８７）稱為材料的單向胡克定律。其意義為：當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。
ＦＮΔｌ若把σ＝、ε＝兩式代入式（８７）中得ＡｌＦＮｌＦｌΔｌ＝＝（８８）ＥＡＥＡ式（８８）表示：當應力不超過材料的比例極限時，杆件的伸長Δｌ與拉力Ｆ及杆件的原長度ｌ成正比，與橫截麵麵積Ａ成反比。這是胡克定律的另一表達式。以上結果同樣可以用於軸向壓縮的情況，隻要把軸向拉力改為壓力，把伸長改為縮短就可以了。
ＦＮｌＦｌ從Δｌ＝＝看出，對長度相同，受力相等的杆件，ＥＡ越大則變形越小，所以ＥＡＥＡＥＡ稱為杆件的抗拉（或抗壓）剛度。
三、泊鬆比試驗結果表明：當應力不超過比例極限時，橫向線應變ε′與縱向線應變ε之比的絕對值是一個常數，即ε′＝（８９）μεμ稱為橫向變形係數或泊鬆比，是一個沒有量綱的量。
因為當杆件軸向伸長時，橫向縮小；而軸向縮短時，橫向增大。所以ε′和ε的符號總是相反的。這樣，ε′和ε的關係可以寫成ε′＝－με（８１０）和彈性模量Ｅ一樣，泊鬆比也是材料固有的彈性常數。表８１中摘錄了幾種常用材料的Ｅ和μ值，可備查用。
當橫截麵尺寸或軸力沿杆件軸線變化而並非常量時，上述計算變形的方法應稍作變化。
在變截麵的情況下，如果截麵尺寸沿軸線的變化是平緩的，且外力作用線與軸線重合，如圖８１３（ａ）所示。
如圖８１３（ｂ）所示，用兩個相鄰橫截麵從杆中取出長度為ｄｘ的微段，並以Ａｘ和ＦＮｘＦＮｌ分別表示橫截麵麵積和橫截麵上的軸力，將公式Δｌ＝應用於這一微段，求得微段的伸ＥＡ·１０７·建築力學圖８１３長為ＦＮｘｄｘｄ（Δｌ）＝ＥＡｘ將上式積分，得杆件的伸長為ＦＮｘｄｘΔｌ＝（８８ａ）∫ｌＥＡｘ在等截麵杆的情況下，當軸力不是常量時，仍可按上述方法計算變形。
例８４如圖８１４所示，階梯杆受軸向荷載作用。杆件材料的抗拉、抗壓性能相同。ｌ１＝１００ｍｍ，５ｌ２＝５０ｍｍ，ｌ３＝２００ｍｍ；材料的Ｅ＝２×１０ＭＰａ，μ＝０．３。求：（１）各段的縱向線應變；（２）全杆的縱向變形；（３）各段直徑的改變量。
解（１）求得ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ三段的內力分別為ＦＮＡＢ＝ＦＮＢＣ＝－４ｋＮＦＮＣＤ＝３ｋＮＡＢ、ＢＣ、ＣＤ三段的應力分別為３圖８１４４ＦＮＡＢ４×４×１０σＡＢ＝＝－＝－３５．４ＭＰａπ×１２２π×１２２３４ＦＮＢＣ４×４×１０σＢＣ＝＝－＝－２６．０ＭＰａπ×１４２π×１４２３４ＦＮＣＤ４×３×１０σＣＤ＝＝＝３８．２ＭＰａπ×１０２π×１０２則可求得ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ三段的縱向線應變為σＡＢ－３５．４－４εＡＢ＝＝＝－１．７７×１０Ｅ２×１０５σＢＣ－２６．０－４εＢＣ＝＝＝－１．３×１０Ｅ２×１０５σＣＤ３８．２－４εＣＤ＝＝＝１．９１×１０Ｅ２×１０５·１０８·第八章軸向拉伸與壓縮（２）杆的縱向變形Δｌ＝εＡＢｌ１＋εＢＣｌ２＋εＣＤｌ３＝－１．７７×１０－４×１００－１．３×１０－４×５０＋１．９１×１０－４×２００＝１．４×１０－２ｍｍ（３）各段直徑的變化－４－４ΔｄＡＢ＝ε′ＡＢｄＡＢ＝－μεＡＢｄＡＢ＝－０．３×（－１．７７×１０）×１２＝６．７３×１０ｍｍ－４－４ΔｄＢＣ＝ε′ＢＣｄＢＣ＝－μεＢＣｄＢＣ＝－０．３×（－１．３×１０）×１４＝５．４６×１０ｍｍ－４－４ΔｄＣＤ＝ε′ＣＤｄＣＤ＝－μεＣＤｄＣＤ＝－０．３×１．９１×１０×１０＝－５．７３×１０ｍｍ例８５圖示８１５結構的ＡＢ為剛性杆，Ｂ端受荷載Ｆ＝１０ｋＮ作用。拉杆ＣＤ的橫２截麵積Ａ＝４ｃｍ，材料的Ｅ＝２００ＧＰａ。∠ＡＣＤ＝４５°，求Ｂ端的豎向位移ΔＢｙ。
解，取ＡＢ杆為研究對象由∑ＭＡ＝０求得ＣＤ杆中的拉力為Ｆ×３１０×３ＦＮＣＤ＝＝＝４２．４２ｋＮ１×ｓｉｎ４５°０．７０７則拉杆ＣＤ的縱向變形３３ＦＮＣＤｌＣＤ４２．４２×１０×１．４１４×１０Δｌ＝＝＝０．７５ｍｍＥＡ２００×１０３×４×１０４如圖８１５所示，由於變形微小，則Ｄ、Ｂ點實際移動的圓弧線可用其切線ＤＤ′、Ｄ１Ｄ′、ＢＢ′代替。根據幾何關係得Δｌ０．７５ＤＤ′＝＝＝１．０６ｍｍｃｏｓ４５°０．７０７則Ｂ端的豎向位移ΔＢｙ＝ＢＢ′＝３ＤＤ′＝３×１．０６＝３．１８ｍｍ（向下）圖８１５例８６如圖８１６（ａ）所示的等截麵直杆，已知其原長ｌ、橫截麵積Ａ、材料的堆密度γ、彈性模量Ｅ，直杆受自重和下端處集中力Ｆ作用。求該杆下端麵的豎向位移ΔＢｙ。
·１０９·建築力學圖８１６解取截離體如圖８１６（ｂ）所示，求得內力ＦＮｘ＝Ｆ＋Ｇ＝Ｆ＋γＡｘ在ｘ截麵處取微段ｄｘ如圖８１６（ｃ）所示。由於是微段，所以可以略去兩端內力的微小差值，則微段的變形ＦＮｘｄｘｄΔｌ＝ＥＡ積分得全杆的變形就是Ｂ端豎向位移ｌｌ２ＦＮｘｄｘＦ＋γＡｘＦｌγｌΔＢｙ＝Δｌ＝＝ｄｘ＝＋∫０ＥＡ∫０ＥＡＥＡ２Ｅ８．４材料在受軸向拉壓時的力學性能分析構件的強度時，除計算構件在外力作用下的應力外，還應了解材料的力學性能。所謂材料的力學性能主要是指材料在外力作用下在變形和破壞方麵表現出來的特性。了解材料的力學性能主要通過試驗的方法。
一、材料拉伸時的力學性能在室溫下，以緩慢平穩加載的方式進行的拉伸試驗，稱為常溫、靜載拉伸試驗。它是確定材料力學性能的基本試驗。拉伸試件的形狀如圖８１７所示，中間為較細的等直部分，兩端加粗。在中間等直部分取長為ｌ的一段作為工作段，ｌ稱為標距。
為了便於比較不同材料的試驗結果，應將試件加工成標準尺寸。對圓截麵試件，標距ｌ與橫截麵直徑ｄ有兩種比例：ｌ＝１０ｄ和ｌ＝５ｄ，分別稱為長試件圖８１７和短試件。
·１１０·第八章軸向拉伸與壓縮對矩形截麵試件，標距ｌ與橫截麵麵積Ａ之間的關係規定為ｌ＝１１．３槡Ａ和ｌ＝５．６５槡Ａ根據國家規定的試驗標準，對試件的形狀、加工精度、試驗條件等都有具體的規定。試驗時使試件受軸向拉伸，通過觀察試件從開始受力直到拉斷的全過程，了解試件受力與變形之間的關係，從而確定材料力學性能的各項指標。由於材料品種很多，常以典型塑性材料低碳鋼和典型脆性材料鑄鐵為代表，來說明材料在拉伸時的力學性能。
（一）低碳鋼在拉伸時的力學性能低碳鋼一般是指碳的質量分數在０．３％以下碳素鋼。在拉伸試驗中，低碳鋼表現出來的力學性能最為典型。在工程上，低碳鋼也是使用較廣的鋼材之一。
試件裝上試驗機後，緩緩加載。試驗機的示力盤上指出一係列拉力Ｆ的數值，表示相應的拉力Ｆ值，測距儀同時測出試件標距ｌ之間杆的伸長量Δｌ。以縱坐標表示拉力Ｆ，橫坐標表示伸長量Δｌ。根據測得的一係列數據，作圖表示Ｆ和Δｌ的關係，如圖８１８所示，稱為拉伸圖或ＦΔｌ曲線。
圖８１８圖８１９ＦΔｌ曲線與試件尺寸有關。為了消除試件尺寸的影響，把拉力除以試件橫截麵的原Ｆ始麵積Ａ，得出試件橫截麵上的正應力：σ＝。同時，把伸長量Δｌ除以標距的原始長度ｌ，ＡΔｌ得到試件在工作段內的應變：ε＝。以σ為縱坐標，ε為橫坐標，作圖表示σ與ε的關係，如圖ｌ８１９所示，稱為軸向受拉杆的應力應變圖或σε曲線。
１．σε曲線的四個階段根據試驗結果分析，低碳鋼的σε曲線可以分為如下四個階段：（１）彈性階段在拉伸的初始階段，σ與ε的關係為直線Ｏａ，這表示在這一階段內σ與ε成正比，即σ∝ε或者把它寫成等式σ＝Ｅε這即是拉伸或壓縮的胡克定律。式中Ｅ為與材料有關的比例常數（彈性模量）。由公式σ＝·１１１·建築力學Ｅε，並從σε曲線的直線部分看出σＥ＝（８１１）ε所以Ｅ是直線Ｏａ的斜率。直線Ｏａ的最高點ａ所對應的應力，用σｐ來表示，稱為材料的比例極限。可見，當應力低於比例極限時，應力與應變成正比，材料服從胡克定律。
超過比例極限後，從ａ點到ｂ點，σ與ε之間的關係不再是直線。但變形仍然是彈性的，即解除拉力後變形將完全消失。ｂ點所對應的應力是材料隻出現彈性變形的極限值，稱為彈性極限，用σｅ來表示。在σε曲線上，ａ、ｂ兩點非常接近，所以工程上對彈性極限和比例極限並不嚴格區分。因而也經常說，應力低於彈性極限時，應力與應變成正比，材料服從胡克定律。
在應力大於彈性極限後，如再解除拉力，則試件變形的一部分隨之消失，但有一部分變形不能消失。前者是彈性變形，而後者就是塑性變形。
（２）屈服階段當應力超過ｂ點增加到某一數值時，應變有非常明顯的增加，而對應的應力值先是下降，然後在很小的範圍內波動，在σε曲線上出現接近水平線的小鋸齒形線段。這種應力先是下降然後基本保持不變，而應變顯著增加的現象，稱為屈服或流動。在屈服階段內的最高應力和最低應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。上屈服極限的數值與試件形狀、加載速度等因素有關，一般是不穩定的。下屈服極限則有比較穩定的數值，能夠反應材料的性質。通常把下屈服極限稱為屈服極限或流動極限，用σｓ來表示。
表麵磨光的試件在應力達到屈服極限時，表麵將出現與軸線大致成４５°傾角的條紋，如圖８２０所示。這是由於材料內部晶格之間相對滑移而成的，稱為滑移線。因為拉伸時在與杆軸線成４５°的斜截麵上，剪應力為最大值，可見屈服現象的出現與最大剪應力有關。
圖８２０圖８２１當材料屈服時，將引起顯著的塑性變形。由於材料的塑性變形將影響其正常工作，所以屈服極限σｓ是衡量材料強度的重要指標。
（３）強化階段經過屈服階段後，由於受拉杆內的材料內部晶格之間相對滑移，分子重新組合，材料又恢複了抵抗變形的能力，此時要使它繼續變形，必須增大拉力，這種現象稱為材料的強化。
在圖８１９中，強化階段中的最高點ｅ所對應的應力，是材料所能承受的最大應力，稱為強度極限，用σｂ表示。在強化階段中，試件的橫向尺寸有明顯的縮小。
（４）局部變形階段過ｅ點後，在試件的某一局部範圍內，橫向尺寸突然縮小，形成頸縮現象，如圖８２１所示，所以，該階段也稱為頸縮階段。由於在頸縮部分橫截麵麵積迅速減小，使試件繼續伸長Ｆ所需要的拉力也相應減少。在σε圖中，用橫截麵原始麵積Ａ算出的應力σ＝隨之下Ａ降。降落到ｆ點，試件被拉斷。
因為應力到達強度極限後，試件出現頸縮現象，隨後即被拉斷，所以強度極限σｂ是衡量·１１２·第八章軸向拉伸與壓縮材料強度的另一重要指標。
２．材料的塑性———延伸率和斷麵收縮率試件拉斷後，彈性變形消失，而塑性變形依然保留。試件的長度由原始長度ｌ變為ｌ１。
用百分比表示的比值表示ｌ１－ｌδ＝×１００％（８１２）ｌδ稱為延伸率，試件的塑性變形越大，延伸率δ也就越大。因此，延伸率是衡量材料塑性的重要指標。低碳鋼的延伸率很高，其平均值約為δ＝２０％～３０％，這說明低碳鋼的塑性性質很好。
工程上通常按延伸率的大小把材料分成兩大類，δ≥５％的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等；而把δ＜５％的材料稱為脆性材料，如灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等。
試件拉斷後，若以Ａ１表示頸縮處的最小橫截麵麵積，用百分比的比值表示Ａ－Ａ１＝×１００％（８１３）ψＡψ稱為斷麵收縮率，也是衡量材料塑性的重要指標；式中Ａ為試件橫截麵的原始麵積。
由於試件的長度不同，由實驗得到的斷麵收縮率ψ波動較大，所以，區別材料的塑性指標主要以材料的延伸率為主。
３．卸載定律及冷作硬化在低碳鋼的拉伸試驗中，如把試件拉到超過屈服極限的ｄ點，然後逐漸卸除拉力，σε曲線將沿著斜直線ｄｄ′回到ｄ′點。斜直線ｄｄ′近似地平行於Ｏａ。這說明：在卸載過程中，應力和應變按直線規律變化。這就是卸載定律。拉力完全卸除後，σε圖中，ｄ′ｇ表示消失了的彈性變形，而Ｏｄ′表示不再消失的塑性變形。
卸載後，如在短期內再次加載，則應力和應變關係大致上沿卸載時的斜直線ｄ′ｄ變化，直到ｄ點後，又沿曲線ｄｅｆ變化。可見在再次加載過程中，直到ｄ點以前，材料的變形是彈性的，過ｄ點後才開始出現塑性變形。比較圖８１９中的Ｏａｂｃｄｅｆ和ｄ′ｄｅｆ兩條曲線，可見在第二次加載時，其比例極限（亦即彈性階段）得到了提高，但塑性變形和延伸率卻有所降低。這表示：在常溫下把材料預拉到強化階段，產生塑性變形，然後卸載，當再次加載時，將使材料的比例極限提高而塑性降低。這種現象稱為冷作硬化，冷作硬化現象經退火後又可消除。若在第一次卸載後讓試件“休息”幾天，再重新加載，這時的應力－應變曲線將沿ｄ′ｄ變化，直到比ｄ點更高處，即能獲得了更高的強度指標。這種現象稱為冷作時效。
工程上經常利用冷作硬化來提高材料的彈性階段。如起重用的鋼索和建築用的鋼筋，常用冷拔工藝以提高強度。又如對某些零件進行噴火處理，使其表麵發生塑性變形，形成冷硬層，以提高零件表麵層的強度。但另一方麵，零件初加工後，由於冷作硬化使材料塑性下降，即脆性增加，給下一步加工造成困難，且容易產生裂紋，此時需要在工序之間安排退火，以消除冷作硬化的影響。材料的塑性下降、脆性增加對於承受衝擊荷載和振動荷載的構件是非常不利的，因此，對於水泵基礎、吊車梁等鋼筋混凝土構件，一般不宜用冷拉鋼筋。
（二）其他塑性材料在拉伸時的力學性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、某些高碳鋼和合金鋼、鋁合金、青銅、·１１３·建築力學黃銅等。圖８２２中是幾種塑性材料的σε曲線。其中有些材料，如１６Ｍｎ鋼，和低碳鋼一樣，有明顯的彈性階段、屈服階段、強化階段和局部變形階段。有些材料，如黃銅，沒有屈服階段，但其他三階段卻很明顯。
圖８２２圖８２３對於不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載後產生數值為０．２％的殘餘應變（塑性應變）的應力作為屈服應力，稱為屈服強度或名義屈服極限，並用σ０．２表示。如圖８２３所示，在橫坐標軸上取ＯＣ＝０．２％，自Ｃ點作直線平行於彈性階段直線ＯＡ，與應力應變曲線相交於Ｄ，與Ｄ點對應的正應力即為名義屈服極限。
各類碳素鋼中隨碳的質量分數的增加，屈服極限和強度極限相應增高，但延伸率降低。
例如合金鋼、工具鋼等高強度鋼，其屈服極限較高，但塑性性質卻較差。
在我國，結合國內資源，近年來發展了普通低合金鋼，如１６Ｍｎ、１５ＭｎＴｉ等。這些低合金鋼的生產工藝和成本與普通鋼相近，但有強度高、韌性好等良好的性能，目前使用頗廣。
（三）鑄鐵拉伸時的力學性能灰口鑄鐵拉伸時的應力—應變關係是一段微彎曲線，如圖８２４所示，沒有明顯的直線部分。在較小的拉力下就被拉斷，沒有屈服和頸縮現象，拉斷前的應變很小，延伸率也很小。所以，灰口鑄鐵是典型的脆性材料。
由於鑄鐵的σε圖沒有明顯的直線部分，彈性模量Ｅ的數值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵的拉力不能很高，而在較低的拉應力下，則可近似地認為變形服從胡克定律。通常取曲線的割線代替曲線的開始部分，並以割線的斜率作為彈性模量，稱為割線彈性模量。
鑄鐵拉斷時的最大應力即為其強度極限，因為沒有屈服現象，強度極限是衡量強度的唯一指標。鑄鐵等脆圖８２４性材料抗拉強度很低，所以不宜作為抗拉零件的材料。
鑄鐵經球化處理成為球墨鑄鐵後，力學性能有顯著變化，不但有較高的強度，還有較好的塑性性能。國內不少工廠成功地用球墨鑄鐵代替鋼材製造曲軸、齒輪等零件。
二、材料在壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試件，一般製成很短的圓柱，以免試驗時被壓彎。圓柱高度約為直徑的·１１４·第八章軸向拉伸與壓縮１．５～３倍。
與拉伸時一樣，可以畫出低碳鋼壓縮時的應力應變圖或σε曲線，如圖８２５所示。
試驗結果表明：低碳鋼壓縮時的彈性模量Ｅ，屈服極限σｓ，都與拉伸時大致相同。低碳鋼由於在屈服階段以後，試件越壓越扁，橫截麵麵積不斷增大，試件抗壓能力也繼續增高，因而壓縮時得不到其強度極限。
圖８２５圖８２６由於可以從拉伸試驗了解到低碳鋼壓縮時的主要性質，因此，了解低碳鋼材料的性質，不一定要進行壓縮試驗。
圖８２６表示鑄鐵壓縮時的σε曲線。試件仍然在較小的變形下突然破壞。破壞斷麵與軸線大致成４５°～５０°的傾角。表明這類試件是由於斜截麵因剪切而破壞。鑄鐵的抗壓強度極限比它的抗拉強度極限高４～５倍。其他脆性材料，如混凝土、石料等，抗壓強度也遠高於抗拉強度。
脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，而且價格低廉，宜作為抗壓零件的材料。鑄鐵堅硬耐磨，易於澆鑄成形狀複雜的零部件，廣泛地用於鑄造成機床床身、機座、缸體及軸承座等受壓零部件。因此，其壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。
綜上所述，衡量材料力學性能的指標主要有：比例極限（或彈性極限）σｐ、屈服極限σｓ、強度極限σｂ、彈性模量Ｅ、延伸率δ和斷麵收縮率ψ等。表８２列出了幾種常用材料在常溫、靜載下的主要力學性能。
表８２幾種常用材料的主要力學性能強度極限σｂ／ＭＰａ材料名稱屈服極限σｓ／Ｍｐａ伸長率δ／％受拉受壓Ｑ２３５低碳鋼２２０～２４０３７０～４６０２５～２７１６Ｍｎ鋼２８０～３４０４７０～５１０１９～３１灰口鑄鐵９８～３９０６４０～１３００＜０．５混凝土Ｃ２０１．６１４．２混凝土Ｃ３０２．１２１紅鬆（順紋）９６３２．２三、拉（壓）杆的變形能所謂“變形能”，是指彈性體由於變形而得到的一種能量，在恢複原狀過程中，這些能量·１１５·建築力學釋放出來可以做功。例如弓因彎曲變形而儲存能量，釋放時能將箭射出一定距離；鍾表的發條擰緊以後，在其放鬆過程中可以使鍾表運行，這也是利用發條因彈性變形而儲存的能量。
因為這種能量是彈性體由於彈性變形而得到的，所以稱為彈性變形能或簡稱變形能。
彈性體受力時發生變形，彈性體上外力作用點將發生位移，外力將在相應的位移上做功。如果略去其他能量的微小損失，則根據能量守恒原理，外力做的功Ｔ全部轉變為物體的變形能Ｕ，即Ｔ＝Ｕ（８１４ａ）而當外力撤除以後，由於彈性體的內力作用，物體恢複到原有形狀，所以，內力做功Ｗ在數值上，也等於物體的變形能Ｕ，即Ｗ＝Ｕ（８１４ｂ）所以Ｔ＝Ｗ＝Ｕ（８１４ｃ）外力功、內力功、彈性變形能的單位相同，為Ｊ。
１Ｊ＝１Ｎ·ｍ。根據Ｔ＝Ｕ可以解決杆件變形的有關問題，這種解決問題的方法稱為能量法。
現在以圖８２７的拉杆為例進一步說明拉壓杆在靜荷載作用下，而且材料服從胡克定律時變形能的計算公式。荷載Ｆ由零緩慢增加，力作用點的位移（即杆件的伸長Δｌ）也是由零緩慢地增加，當應力未超出比例極限時，力與變形成正比。
設某時刻的荷載為Ｆ１，相應位移為Δｌ１，則圖８２７Ｆ１＝Δｌ１ｔａｎα當荷載增加ｄＦ１時，相應位移也增加ｄ（Δｌ１），力Ｆ１在ｄ（Δｌ１）方向所做的功為ｄＷ＝Ｆ１ｄ（Δｌ１）所以，當荷載由零增加到Ｆ時，軸力所做的總功為ΔｌΔｌＷ＝Ｆ１ｄ（Δｌ１）＝Δｌ１ｔａｎαｄ（Δｌ１）∫０∫０１２１＝ｔａｎα（Δｌ）＝Ｆ·Δｌ２２這就是如圖８２７所示△Ｏａｂ的麵積。
由Ｔ＝Ｗ＝Ｕ可知，積儲在杆內的變形能為１Ｕ＝Ｆ·Δｌ（８１５）２·１１６·第八章軸向拉伸與壓縮８．５軸向拉壓時的強度條件與強度計算一、極限應力以上各節介紹了材料的力學性能。在這一基礎上，現在討論軸向拉（壓）時杆件的強度計算。通常把材料破壞時的應力稱為危險應力或極限應力，它表示材料所能承受的最大應力。對於塑性材料，當應力到達屈服極限σｓ（或σ０．２）時，零件將發生明顯的塑性變形，影響其正常工作，一般認為這時材料已經破壞，因而把屈服極限σｓ（或σ０．２）作為塑性材料的極限應力；而對於脆性材料，直到斷裂也無明顯的塑性變形，所以斷裂是脆性材料破壞的唯一標誌，因而斷裂時的強度極限σｂ就是脆性材料的極限應力。
二、許用應力和安全係數為了保證構件有足夠的強度，構件在載荷作用下的應力（工作應力）顯然必須低於極限應力。因此，強度計算中，把極限應力除以一個大於１的係數，並將所得結果稱為許用應力，用［］σ來表示。對塑性材料σｓ［］σ＝（８１６ａ）ｎｓ對脆性材料σｂ［］σ＝（８１６ｂ）ｎｂ式中，係數ｎｓ和ｎｂ分別是對應於塑性材料和脆性材料的安全係數，其值均大於１。
為計算方便，將常用材料的許用應力列於表８３中。
表８３常用材料的許用應力許用應力［］σ／ＭＰａ材料名稱軸向拉伸軸向壓縮Ｑ２３５鋼１７０１７０１６Ｍｎ鋼２３０２３０灰口鑄鐵３４～５４１６０～２００混凝土Ｃ２００．４４７混凝土Ｃ３００．６１０．３紅鬆（順紋）６．４１０三、軸向拉（壓）時的強度條件為確保軸向拉伸（壓縮）杆件有足夠的強度，把許用應力作為杆件實際工作應力的最高限度。即要求工作應力不超過材料的許用應力。於是，得強度條件如下·１１７·建築力學ＦＮσ＝≤σ（８１７）Ａ［］根據上述強度條件，可以解決以下三種類型的強度計算問題。
１．強度校核若已知構件尺寸、載荷數值和材料的許用應力，即可用強度條件ＦＮσ＝≤σＡ［］驗算構件是否滿足強度要求。
２．設計截麵ＦＮ若已知構件所承擔的載荷及材料的許用應力，可把強度條件σ＝≤σ改寫成Ａ［］ＦＮＡ≥［］σ由此即可確定構件所需的橫截麵麵積。
３．確定許可載荷ＦＮ若已知構件的尺寸和材料的許用應力，根據強度條件σ＝≤σ，可有Ａ［］ＦＮｍａｘ≤［］σＡ由此就可以確定構件所能承擔的最大軸力。根據構件的最大軸力又可以確定工程結構的許可荷載。
下麵舉例說明上述三種類型的強度計算問題。
例８７原木直杆的大、小頭直徑及所受軸心荷載如圖８２８所示，Ｂ截麵是杆件的中點截麵。材料的許用拉應力［］σｔ＝６．５ＭＰａ，許用壓應力［］σｃ＝１０ＭＰａ。試對該杆作強度校核。
解（１）根據直杆受力情況求得ＦＮ圖如圖８２８所示。
（２）可判斷Ａ右鄰截麵和Ｂ右鄰截麵是危險截麵；危險截麵上的任一點是危險點。圖８２８（３）截麵幾何參數２２πｄＡ３．１４×１４０４２ＡＡ＝＝＝１．５４×１０ｍｍ４４２２πｄＢ３．１４×１５０４２ＡＢ＝＝＝１．７７×１０ｍｍ４４（４）計算危險點應力，並作強度校核Ａ右鄰截麵上：·１１８·第八章軸向拉伸與壓縮３ＦＮＡＢ１００×１０２σｍａｘ＝＝４＝６．５Ｎ／ｍｍ＝６．５ＭＰａ＝［σｔ］ＡＡ１．５４×１０Ｂ右鄰截麵上：３ＦＮＢＣ２００×１０２σｃｍａｘ＝＝４＝１１．３Ｎ／ｍｍ＝１１．３ＭＰａ＞［σｃ］ＡＢ１．７７×１０所以構件危險（可能破壞）。
例８８如圖８２９所示，磚柱柱頂受軸心荷載Ｆ作用。已知磚柱橫截麵麵積Ａ＝２０．３ｍ，自重Ｇ＝４０ｋＮ，材料容許壓應力［］σｃ＝１．０５ＭＰａ。試按強度條件確定柱頂的容許荷載［Ｆ］。
解（１）根據磚柱受力情況求得ＦＮ圖如圖８２９所示。
（２）判斷柱底截麵是危險截麵；其上任一點都是危險點。
（３）由強度條件計算６５ＦＮｍａｘ≤［］σｃＡ＝１．０５×１０×０．３Ｎ＝３．１５×１０Ｎ＝３１５ｋＮ即［］Ｆ＋４０ｋＮ＝３１５ｋＮ所以［］Ｆ＝（３１５－４０）ｋＮ＝２７５ｋＮ圖８２９圖８３０例８９如圖８３０所示，桁架的ＡＢ杆擬用直徑ｄ＝２５ｍｍ的圓鋼，ＡＣ杆擬用木材。已知鋼材的［］σ＝１７０ＭＰａ，木材的［］σｃ＝１０ＭＰａ。試校核ＡＢ杆的強度，並確定ＡＣ杆的橫截麵積。
解（１）取節點Ａ求內力，得ＦＮＡＢ＝６０ｋＮ，ＦＮＡＣ＝－５２ｋＮ（２）校核ＡＢ杆。
３ＦＮＡＢ４×６０×１０２σｍａｘ＝＝２Ｎ／ｍｍ＝１２２．３ＭＰａ＜［］σ＝１７０ＭＰａ，安全。
ＡＡＢ３．１４×２５·１１９·建築力學（３）確定ＡＣ杆的橫截麵積３ＦＮＡＣ５２×１０２－３２ＡＡＣ≥＝６ｍ＝５．２×１０ｍ［］σｃ１０×１０例８１０如圖８３１所示，槽鋼截麵杆，兩端受軸心荷載Ｆ＝３３０ｋＮ作用，杆上需鑽三個直徑ｄ＝１７ｍｍ的通孔，材料的許用應力［］σ＝１７０ＭＰａ。試確定所需槽鋼的型號。
圖８３１解（１）求內力ＦＮ＝３３０ｋＮ（２）判斷危險截麵：在開兩孔處截麵，該處由於受到的削弱最多，其上任一點是危險點。
（３）根據強度條件計算所需截麵麵積３ＦＮ３３０×１０－３２Ａ≥＝＝１．９４×１０ｍ［］σ１７０×１０６－３２查得槽鋼［１４ｂ的毛麵積Ａｍ＝２．１３１×１０ｍ，腰厚ｄ＝８ｍｍ，得淨麵積－３２－３２Ａｎ＝（２．１３１×１０－２×０．００８×０．０１７）ｍ＝１．８５９×１０ｍ實際工作應力３ＦＮ３３０×１０６２σｍａｘ＝＝－３＝１７７．５×１０Ｎ／ｍ＝１７７．５ＭＰａ＞［σ］Ａｎ１．８５９×１０１７７．５－１７０超過程度為×１００％＝４．４％１７０實際工程中，為了不至於改用高一號的型鋼造成浪費，允許工作應力大於許用應力，但不超過５％，所以這裏選用槽鋼［１４ｂ，是符合工程要求的。
從以上討論看出，安全係數（許用應力）的選定，涉及正確處理安全與經濟之間的關係。
因為從安全的角度考慮，應加大安全係數，降低許用應力，這就難免要增加材料的消耗，出現浪費；相反，如從經濟的角度考慮，勢必要減小安全係數，使許用應力值變高，這樣可少用材料，但有損於安全。所以應合理地權衡安全與經濟兩個方麵的要求，而不應片麵地強調某一方麵的需要。
確定安全係數，一般考慮以下因素：（１）材料的材質，包括材料組成的均勻程度，質地好壞，是塑性材料還是脆性材料等。
（２）荷載情況，包括對荷載的估計是否準確，是靜載荷還是動載荷等。
（３）實際構件簡化過程和計算方法的精確程度。
（４）構件在工程中的重要性，工作條件，損壞後造成後果的嚴重程度，維修的難易程度等。
·１２０·第八章軸向拉伸與壓縮（５）對減輕結構自重和提高結構機動性要求。
上述這些因素都影響安全係數的確定。例如材料的均勻程度較差，分析方法的精度不高，荷載估計粗糙等都是偏於不安全的因素，這時就要適當地增加安全係數的數值，以補償這些不利因素的影響。又如某些工程結構對減輕自重的要求高，材料質地好，而且不要求長期使用。這時就不妨適當地提高許用應力的數值。可見在確定安全係數時，要綜合考慮到多方麵的因素，對具體情況作具體分析。隨著原材料質量的日益提高，製造工藝和設計方法的不斷改進，對客觀世界認識的不斷深化，安全係數的確定必將日益趨向於合理。
許用應力和安全係數的具體數據，有關業務部門有一些規範可供參考。在靜載的情況下，對塑性材料可取ｎｓ＝１．２～２．５。由於脆性材料均勻性較差，且破壞是突然發生，有更大的危險性，所以取ｎｂ＝２～３．５，甚至取到３～９。
８．６應力集中的概念等截麵直杆受軸向拉伸或壓縮時，橫截麵上的應力是均勻分布的。但由於實際需要，有些構件必須有切口、切槽等，以致在這些部位上截麵尺寸發生突然的變化。實驗結果和理論分析表明，在構件尺寸突然改變的橫截麵上，應力並不是均勻分布的。例如開有圓孔和帶有切口的板條，如圖８３２所示，當其受軸向拉伸時，在圓孔和切口附近的局部區域內，應力將劇烈增加，但在離開這一區域稍遠處，應力就迅速降低而趨於均勻。這種因杆件外形突然變化而引起局部應力急劇增大的現象，稱為應力集中。
設在發生應力集中的截麵上的最大應力為σｍａｘ，同一截麵上的平均應力為σｍ，則比值σｍａｘα＝σｍ圖８３２圖８３３α稱為理論應力集中係數。它反映了應力集中的程度，是一個大１的係數。實驗結果表明：截麵尺寸改變得越急劇、角越尖、孔越小，應力集中的程度就越嚴重。因此，構件上應·１２１·建築力學盡可能地避免帶尖角的孔和槽，在階梯軸的軸肩處要用圓弧過渡，而且在結構允許的範圍內，應盡量使圓弧半徑大一些。
各種材料對應力集中的敏感程度並不相同。塑性材料有屈服階段，當局部的最大應力σｍａｘ到達屈服極限σｓ時，該處材料的變形可以繼續增長，而應力卻不再加大。如外力繼續增加，增加的力就由截麵尚未屈服的材料來承擔，使截麵上其他點的應力相繼增大到屈服極限，如圖８３３所示。這就使截麵上的應力逐漸趨於平均，降低了應力不均勻程度，也限製了最大應力σｍａｘ的數值。因此，用塑性材料製成的構件在靜載作用下，可以不考慮應力集中的影響。脆性材料沒有屈服階段，當荷載增加時，應力集中處的最大應力σｍａｘ一直領先，不斷增長，首先到達強度極限σｂ，該處將首先產生裂紋。所以對於脆性材料製成的構件，應力集中的危害性顯得嚴重。因此，即使在靜載下，也應考慮應力集中對構件承載能力的削弱。
但是像灰鑄鐵這類材料，其內部的不均勻性和缺陷往往是產生應力集中的主要因素，而構件外形改變所引起的應力集中就可能成為次要因素，對構件的承載能力不一定造成明顯的影響。
當構件受周期性變化的應力或受衝擊荷載作用時，不論是塑性材料還是脆性材料，應力集中對構件的強度都有嚴重的影響，往往是構件破壞的根源，應引起充分的重視。
【小結】１．軸向受拉或受壓杆件的共同特點是：在受力方麵，作用於杆件上的外力合力的作用線與杆件軸線重合；在變形方麵，杆件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。軸力以受拉為正。
２．軸向拉（壓）杆橫截麵上的應力在橫截麵上是均勻分布的。軸向拉（壓）杆的變形可以用胡克定律來計算。
３．低碳鋼拉伸實驗的拉斷可以分為四個階段，即彈性階段、屈服階段、強化階段、頸縮階段；有三個強度指標，即比例極限、屈服極限、強度極限；有兩個塑性指標，即延伸率、斷麵收縮率。
４．應用強度條件，可以進行三項強度計算。
【思考題與習題】８１．試述軸心拉壓杆的受力及變形特點。並指出圖示８３４結構中哪些部位屬於軸向拉伸或壓縮。
圖８３４圖８３５·１２２·第八章軸向拉伸與壓縮８２．你在實驗之前是怎樣確定試驗機讀盤上的量程的？
８３．低碳鋼單向拉伸的曲線可分為哪幾個階段？對應的強度指標是什麼？其中哪一個指標是強度設計的依據？
８４．材料的兩個延性指標是什麼？
８５．敘述低碳鋼單向拉伸試驗中的屈服現象。
８６．材料的彈性模量Ｅ，標誌材料的何種性能？
８７．如圖８３５所示結構，若用低碳鋼製造杆①，用鑄鐵製造杆②，是否合理？
８８．求圖示８３６各杆指定截麵上的軸力。
圖８３６８９．畫出圖示８３７各杆的軸力圖。
圖８３７Ａ８１０．直杆受力如圖８３８所示。它們的橫截麵麵積為Ａ及Ａ１＝，彈性模量為Ｅ，２試求：（１）各段橫截麵上的應力σ；（２）杆的縱向變形Δｌ。
圖８３８８１１．橫梁ＡＢ支承在支座Ａ、Ｂ上，兩支柱的橫截麵麵積都是Ａ＝９×１０４ｍｍ２，作用在梁上的荷載可在梁上左右移動，其大小如圖８３９所示。求支座柱子的最大正應力。
·１２３·建築力學圖８３９圖８４０８１２．如圖８４０所示板件，受軸向拉力Ｆ＝２００ｋＮ作用，試求：（１）互相垂直的兩斜麵ＡＢ和ＡＣ上的正應力和剪應力；（２）這兩個斜麵上的剪應力有何關係？
８１３．拉伸試驗時，Ｑ２３５鋼試件直徑ｄ＝１０ｍｍ，在標矩ｌ＝１００ｍｍ內的伸長Δｌ＝０．０６ｍｍ。已知Ａ３鋼的比例極限σｐ＝２００ＭＰａ，彈性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，問此時試件的應力是多少？所受的拉力是多大？
８１４．平板拉伸試樣如圖８４１所示，寬ｂ＝２９．８ｍｍ，厚ｈ＝４．１ｍｍ。拉伸試驗時，每增加３ｋＮ拉力，測得軸向應變ε＝１２０×１０－６，橫向應變ε′＝－３８×１０－６。求材料的彈性模量Ｅ及泊鬆比μ。
圖８４１圖８４２８１５．設低碳鋼的彈性模量Ｅ１＝２１０ＧＰａ，混凝土的彈性模量Ｅ２＝２８ＧＰａ，求：（１）在正應力σ相同的情況下，鋼和混凝土的應變的比值；（２）在應變ε相同的情況下，鋼和混凝土的正應力的比值；（３）當應變ε＝－０．０００１５時，鋼和混凝土的正應力。
２８１６．截麵為方形的階梯磚柱如圖８４２所示。上柱截麵麵積Ａ１＝２４０×２４０ｍｍ，２高Ｈ１＝３ｍ；下柱截麵麵積Ａ２＝３７０×３７０ｍｍ，高Ｈ２＝４ｍ。荷載Ｆ＝４０ｋＮ，磚砌體的彈性模量Ｅ＝３ＧＰａ，磚柱自重不計，試求：（１）柱子上、下段的應力；（２）柱子上、下段的應變；（３）柱子的總縮短。
·１２４·第八章軸向拉伸與壓縮８１７．一矩形截麵木杆，兩端的截麵被圓孔削弱，中間的截麵被兩個切口減弱。如圖８４３所示。杆端承受軸向拉Ｆ＝７０ｋＮ，已知［］σ＝７ＭＰａ，問杆是否安全？
圖８４３８１８．如圖８４４所示，杆①是直徑為１６ｍｍ的圓截麵鋼杆，許用應力［］σ１＝１４０ＭＰａ；杆②為邊長ａ＝１００ｍｍ的正方形截麵木杆，許用應力［］σ２＝４．５ＭＰａ。已知結點Ｂ處掛一重物Ｑ＝３６ｋＮ，試校核兩杆的強度。
圖８４４圖８４５８１９．如圖８４５所示雨篷結構簡圖，水平梁ＡＢ上受均勻荷載ｑ＝１０ｋＮ／ｍ，Ｂ端用斜杆ＢＣ拉住。試按下列兩種情況設計截麵：（１）斜杆由兩根等邊角鋼製造，材料許用應力［］σ＝１６０ＭＰａ，選擇角鋼的型號；（２）若斜杆用鋼絲繩代替，每根鋼絲繩的直徑ｄ＝２ｍｍ，鋼絲的許用應力［］σ＝１６０ＭＰａ，求所需鋼絲的根數。
８２０．懸臂吊車如圖８４６所示，小車可在ＡＢ梁上移動，斜杆ＡＣ的截麵為圓形，許用應力［σ］＝１７０ＭＰａ。已知小車荷載Ｆ＝１５ｋＮ，試確定杆ＡＣ的直徑ｄ。
圖８４６圖８４７·１２５·建築力學８２１．如圖８４７所示結構中，ＡＣ、ＢＤ兩杆材料相同，許用應力［］σ＝１６０ＭＰａ，彈性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，荷載Ｆ＝６０ｋＮ。試求兩杆的橫截麵麵積。
８２２．如圖８４８所示起重架，在Ｄ點作用荷載Ｆ＝３０ｋＮ，若杆ＡＤ、ＥＤ、ＡＣ的許用應力分別為［］σ１＝４０ＭＰａ、［］σ２＝１００ＭＰａ、［］σ３＝１００ＭＰａ，求三根杆所需的麵積。
圖８４８圖８４９２２８２３．如圖８４９所示結構中，杆①為鋼杆，Ａ１＝１０００ｍｍ，［］σ１＝１６０ＭＰａ，杆②２為木杆，Ａ２＝２００００ｍｍ，［］σ２＝７ＭＰａ。求結構的許可荷載［Ｆ］。
８２４．結構尺寸及受力如圖８５０所示，ＡＢ為剛性梁，斜杆ＣＤ為圓截麵鋼杆，直徑為ｄ，材料為Ｑ２３５鋼，許用應力為［σ］＝１６０ＭＰａ。
圖８５０（１）若θ＝３０°，ｄ＝３０ｍｍ，荷載Ｆ＝５０ｋＮ，試校核ＣＤ杆的強度。
（２）在（１）的條件下，若ＣＤ杆的強度不足，試重新設計該杆的截麵。
（３）若θ＝３０°，ｄ＝３０ｍｍ，試確定結構所能承受的許用荷載。
（４）若ｄ＝３０ｍｍ，荷載Ｆ可在梁ＡＢ上水平移動。試求θ為何值時，維持係統平衡時斜杆的重量最輕。
·１２６·第八章軸向拉伸與壓縮附：典型材料軸向拉壓實驗實驗一軸向拉伸實驗一、實驗目的１．測定低碳鋼在拉伸時的比例極限σｐ、屈服極限σｓ、強度極限σｂ、延伸率δ和截麵收縮率ψ。
２．測定鑄鐵在拉伸時的強度極限σｂ。
３．觀察實驗現象，繪出荷載變形曲線。
４．比較低碳鋼和鑄鐵拉伸時的力學性能和特點。
二、實驗設備、器材及試件１．液壓式萬能試驗機。
２．遊標卡尺和直尺。
３．試件。
試件的尺寸和形狀對實驗結果有一定影響。為了避免這種影響和便於對各種材料的力學性能進行比較，國家標準《金屬拉力試驗法》（ＧＢ６３９７９６）中規定，拉伸試件分為比例試件和非比例試件兩種。比例試件是指試件的標距長度與橫截麵麵積之間具有一定的關係。
（１）長試件圓形截麵Ｌ０＝１０ｄ０矩形截麵Ｌ０＝１１．３槡Ａ０（２）短試件圓形截麵Ｌ０＝５ｄ０矩形截麵Ｌ０＝５．６５槡Ａ０式中：Ｌ０———試件拉伸前的標矩（ｍｍ）；２Ａ０———試件拉伸前的橫截麵麵積（ｍｍ）。
通常采用其中的圓截麵長試件，ｄ０＝１０ｍｍ；Ｌ０＝１０ｄ０＝１００ｍｍ，試件的形狀如圖８５１所示。
圖８５１低碳鋼標準試件三、實驗原理、、、材料的力學性能指標比例極限σｐ屈服極限σｓ強度極限σｂ延伸率δ和截麵收縮率ψ·１２７·建築力學都是由拉伸實驗來確定的。
拉伸實驗是把試件安裝在試驗機上，通過試驗機對試件加載直至把試件拉斷為止，根據試驗機上的自動繪圖裝置所繪出的拉伸圖及試件拉斷前後的尺寸，來確定材料的力學性能。
必須注意，低碳鋼拉伸時，試驗機繪圖裝置所繪出的拉伸變形圖，是整個試件（不僅是標距部分）的伸長，還包括試驗機有關部分的彈性變形以及試件頭部在夾頭內的滑動等因素。
在電子萬能試驗機上使用引伸儀測量應變，可以消除這些影響，得到材料真實的應力一應變曲線。試件開始受力時，頭部在夾頭內的滑動較大，故繪出的拉伸圖最初的一段是曲線。如圖８５２（ａ）所示。拉伸圖與試件的尺寸有關。為了消除試件尺寸的影響，將實驗中的Ｆ和ΔＬ的數值分別除以試件原橫截麵麵積Ａ０和標距Ｌ０，得出應力σ和應變ε的值，繪出低碳鋼拉伸時的應力應變曲線（σε曲線），如圖８５２（ｂ）所示。
圖８５２低碳鋼拉伸時變形曲線圖圖８５４低碳鋼試件拉伸斷口圖８５５鑄鐵試件拉伸斷口圖８５３鑄鐵拉伸應力應變曲線鑄鐵拉伸時的應力應變曲線如圖８５３所示。低碳鋼試件拉伸斷口如圖８５４所示，鑄鐵試件拉伸斷口如圖８５５所示。
四、實驗方法和步驟測定一種材料的力學性質，一般用一組試件（３～６根），取有效試驗數據的平均值，實驗步驟如下：·１２８·第八章軸向拉伸與壓縮圖８５６試件分格圖８５７直徑的測量１．確定中點，從中點分別向兩側各量取Ｌ０／２，將兩個端點定為標距，用劃線機在標距內平均分成１０個格，如圖８５６所示，以便當試件拉斷後斷口不在中間部分時進行換算，從而求得比較準確的延伸率，也可用來觀察變形的分布情況。應注意，劃線時盡量輕微，以免損傷試件，影響試驗結果。
２．在標距內分別取三個截麵，對每個截麵用遊標卡尺按互相垂直方向各測量兩次直徑，如圖８５７所示。取其三個截麵直徑平均值中的最小值，來計算試件的初始截麵麵積２（Ａ０＝πｄ／４）。
３．鑄鐵試件隻需測出三個截麵直徑，方法同上。
４．選擇加載範圍（量程）。根據試件的橫截麵麵積Ａ０，估算試件被拉斷時所需的最大載荷Ｆｂ，在試驗機上選擇適當的加載範圍。
５．安裝試件。將試件安裝在試驗機夾具內，使試件在夾具內有些縫隙，以保證試件初始不受力。
６．開始加載。按照試驗機的操作方法進行加載。
７．觀察實驗現象。在拉伸過程中，要注意觀察試件的變形、拉伸圖的變化及測力指針走動等情況，及時記錄有關數據。
８．測量低碳鋼試件拉斷後的尺寸。用遊標卡尺測出頸縮處的最小截麵直徑ｄ１。按互相垂直的兩個方向各測量一次直徑，取其平均值作為試件頸縮處（斷口處）的最小直徑。
測量試件斷後的標距長度Ｌ１，其方法如下：（１）若試件拉斷後斷口在標距長度的中間１／３區域內時，可以把斷裂試件拚合起來，直接測量試件拉斷後的標距之間的長度Ｌ１。
（２）若試件拉斷後斷口不在標距長度的中間１／３區域內時，計算出的延伸率數值偏小。
為使測量的結果正確反映材料的延伸率，需采取“斷口移中”的方法，推算出試件斷後的標距長度Ｌ１。
圖８５８斷口移中法示意圖設定拉斷前試件原標距的兩個標點ｃｃ１之間等分１０個格，把斷後試件拚合在一起，在試件較長一段距斷口較近的第一個刻線ｄ起，向長試件端部ｃ１點移取１０／２＝５格，記為ａ，再看ａ點到ｃ１點間剩有幾個格，就由ａ點向相反方向移取相同的格數，記為ｂ點，如圖８５８·１２９·建築力學所示。令ｃｂ之間的長度為Ｌ′，ｂａ之間的長度為Ｌ″，則Ｌ′＋２Ｌ″的長度中所包含的格數，等於原標距長度內的格數１０，這就相當於把斷口擺在標距中間，即Ｌ１＝Ｌ′＋２Ｌ″。
（３）若試件拉斷後斷口與端部距離小於或等於試件直徑的兩倍時，則試驗結果無效，需重做試驗。
五、實驗記錄１．試件原始尺寸記錄：將試件原始尺寸填入表８４中。
２．荷載及試件斷後尺寸記錄：將荷載及試件斷後尺寸填入表８５中。
表８４原始直徑ｄ０（ｍｍ）最小橫截標距Ｌ０材料截麵Ⅰ截麵Ⅱ截麵Ⅲ最小平均麵麵積Ａ０（ｍｍ）（２）１２１２１２直徑ｄ０ｍｍ低碳鋼鑄鐵表８５比例極下屈服極強度極（）斷後標距徑縮處最小直徑ｄ１ｍｍ徑縮處最小橫截麵材料限荷載限荷載限荷載（）麵積（２）Ｌ１ｍｍ１２平均Ａ１ｍｍＦＰ（Ｎ）ＦＳ（Ｎ）Ｆｂ（Ｎ）低碳鋼鑄鐵－－－－－３．在圖８５９中繪出低碳鋼和鑄鐵拉伸時的荷載變形曲線。
圖８５９六、實驗數據處理１．低碳鋼ＦＰ比例極限應力（ＭＰａ）σｐ＝＝Ａ０ＦＳ屈服極限應力（ＭＰａ）σｓ＝＝Ａ０Ｆｂ強度極限應力（ＭＰａ）σｂ＝＝Ａ０·１３０·第八章軸向拉伸與壓縮ｌ１－ｌ延伸率δ＝×１００％＝ｌＡ－Ａ１斷麵收縮率＝×１００％＝ψＡ２．鑄鐵Ｆｂ強度極限應力（ＭＰａ）σｂ＝＝Ａ０七、實驗結果分析１．低碳鋼和鑄鐵在拉伸破壞時的特點有什麼不同？分別說明各自破壞的原因。
２．低碳鋼和鑄鐵這兩種材料在拉伸時的力學性能有何區別？
３．低碳鋼和鑄鐵這兩種材料在拉伸時，破壞的標誌分別是哪一個極限應力？
實驗二軸向壓縮實驗一、實驗目的１．測定低碳鋼在壓縮時的屈服極限σｓ。
２．測定鑄鐵在壓縮時的強度極限σｂ。
３．觀察上述材料在壓縮時的變形及破壞形式，並分析其破壞原因。
４．比較塑性材料與脆性材料的力學性能及特點。
二、實驗設備、器材及試件１．液壓式萬能試驗機。
２．遊標卡尺和直尺。圖８６０金屬材料壓縮試件３．試件。
金屬材料壓縮破壞試驗所用的試件，一般規定為１．５≤ｈ０／ｄ０≤３，如圖８６０所示。
低碳鋼常用試件尺寸為：ｄ０＝１０ｍｍ，ｈ０＝１５ｍｍ鑄鐵常用試件尺寸為：ｄ０＝１０ｍｍ，ｈ０＝２０ｍｍ為了使試件盡量承受軸向壓力，試件兩端麵必須完全平行，並且與試件軸線保持垂直。
其端麵應加工光滑，以減小摩擦力的影響。
三、實驗原理試驗時，利用自動繪圖裝置，繪出低碳鋼壓縮曲線和鑄鐵壓縮曲線。圖８６１為低碳鋼σε曲線圖。低碳鋼為塑性材料，壓縮時不會斷裂，同時屈服現象也不明顯，隻有較短的屈服階段，即當指針由勻速轉動而突然減慢，或停轉，或回擺，同時繪製的壓縮曲線出現轉折，此時的載荷ＦＳ所對應的應力為低碳鋼的屈服極限σｓ。因此，在壓縮試驗中測定ＦＳ時要特別小心觀察，常要借助繪圖裝置繪出的壓縮圖來判斷ＦＳ到達的時刻。由於低碳鋼為塑性材料，所以載荷雖然不斷增加，但試件並不發生破壞，隻是被壓扁，由圓柱形變成鼓形，因此無法求出強度極限σｂ。
·１３１·建築力學圖８６１低碳鋼壓縮時σε曲線圖圖８６２鑄鐵壓縮時σε曲線圖圖８６２為鑄鐵σε曲線圖。鑄鐵為脆性材料，試件在較小的變形情況下突然破壞，破壞後試件的斷麵與軸線大約成４５°～５５°的傾角。這表明鑄鐵試件沿斜截麵因剪切而破壞。因此，鑄鐵沒有屈服極限，隻有在最大載荷Ｆｂ下測出的強度極限σｂ。鑄鐵的抗壓強度極限比它的抗拉強度極限高３～４倍。
脆性材料抗拉強度低，塑性性能差，但抗壓能力強，而且價格低廉，宜於作為抗壓構件的材料。鑄鐵堅硬耐磨，易於澆鑄成形狀複雜的零部件，廣泛地用於鑄造機床床身、機座、缸體及軸承等受壓零部件。因此，鑄鐵的壓縮試驗比拉伸試驗更為重要。
四、實驗方法和步驟１．測量試件尺寸。用遊標卡尺按互相垂直方向，兩次測量金屬材料試件的直徑，取其平均值為ｄ０（用於計算試件原始截麵麵積Ａ０）。同時測量試件高度ｈ０。
２．選擇加載範圍（量程）。根據不同材料選擇不同的測力範圍，配置相應的擺鉈。
３．安裝試件。把試件放在機器的壓板上（注意試件中心應對準壓板軸心），開啟機器，調節橫梁，使試件上升到與機器上壓板間距離約為２～３ｍｍ的空隙。
４．開始加載。按試驗機的操作方法進行加載。
５．觀察實驗。當低碳鋼試件過了屈服點後，開始變成鼓形即可停止試驗，因為它是塑性材料，沒有最大載荷值，隻測屈服載荷即可。同時記錄有關數據。
６．鑄鐵試件壓碎後會突然飛出，要注意防護，避免受傷。
五、實驗記錄１．試件原始尺寸及荷載記錄：將試件原始尺寸及荷載記錄填入表８６。
表８６原始最小直徑ｄ０（ｍｍ）最小橫截麵比例極限荷下屈服極限強度極限材料２麵積Ａ０（ｍｍ）載ＦＰ（Ｎ）荷載ＦＳ（Ｎ）荷載Ｆｂ（Ｎ）１２平均低碳鋼—鑄鐵——·１３２·第八章軸向拉伸與壓縮２．在圖８６３中繪出低碳鋼和鑄鐵壓縮時的荷載—變形曲線圖８６３六、實驗數據處理１．低碳鋼ＦＰ比例極限應力（ＭＰａ）σｐ＝＝Ａ０ＦＳ屈服極限應力（ＭＰａ）σｓ＝＝Ａ０２．鑄鐵Ｆｂ強度極限應力（ＭＰａ）σｂ＝＝Ａ０七、實驗結果分析１．低碳鋼和鑄鐵試件在壓縮過程中及破壞後有哪些區別？分別說明各自破壞的原因。
２．低碳鋼和鑄鐵這兩種材料在壓縮時的破壞標誌分別是哪一個極限應力？為什麼說低碳鋼的抗拉強度和抗壓強度相同？
３．鑄鐵壓縮時沿大致４５°斜截麵破壞，拉伸時沿橫截麵破壞，這種現象說明什麼？
·１３３·第九章扭轉掃一掃可見本章電子資源【學習目標】了解圓軸受扭時的受力與變形特點，理解剪切胡克定律、剪應力互等定理；掌握圓軸受扭時的內力、應力、變形的計算，掌握圓軸受扭時的強度條件、剛度條件及其計算；理解矩形截麵受扭轉時的計算。
９．１扭轉的概念扭轉是生活與工程實踐中常遇到的現象，也是構件的四種基本變形之一。我們用螺釘旋具擰螺絲釘時，在螺釘旋具上用手指作用一個力偶，螺絲釘的阻力就在螺釘旋具的刀口上構成了一個轉動方向相反的力偶，這兩個力偶都是作用於在垂直於杆軸的平麵內的，此時，螺釘旋具杆就產生了扭轉變形［圖９１（ａ）］。這種受力形式在機械傳動部分也經常發生，又如機器的傳動軸［圖９１（ｂ）］，汽車方向盤操縱杆［圖９１（ｃ）］，卷揚機軸［圖９１（ｄ）］等等，都是受扭轉的具體例子。
圖９１·１３４·第九章扭轉各種產生扭轉變形的構件，雖然外力作用在構件上的方式有所不同，但是有兩個共同的特點：在受力方麵，構件為直杆，並在垂直於杆件軸線的兩個平麵內，作用著一對大小相等、轉向相反的力偶（圖９２）；在變形方麵，受扭轉構件的各橫截麵都繞杆軸線發生相對轉動。杆件任意兩橫截麵間的相對角位移稱為扭轉角，圖９２圖９２中的φ角就是Ｂ截麵相對於Ａ截麵的扭轉角。
本章主要研究圓截麵軸的扭轉問題，包括軸的外力、內力、應力與變形，並在此基礎上討論軸的強度與剛度計算。在工程上，常把以扭轉變形為主的杆件稱為軸。
９．２扭轉時的外力偶矩與扭矩一、功率、轉速與扭轉時的外力偶矩在工程實際中，傳動軸等轉動構件，作用在軸上的外力偶矩往往不直接給出，通常隻知道它們的轉速與所傳遞的功率。因此，在分析傳動軸等轉動類構件的內力之前，首先需要根據轉速與功率計算該軸所承受的外力偶矩。
由動力學可知，力偶在單位時間內所作的功即功率Ｐ，等於該力偶矩Ｍ與相應角速度ω的乘積，即Ｐ＝Ｍω（９１ａ）在工程實際中，功率Ｐ的常用單位為ｋＷ，力偶矩Ｍ與轉速ｎ的常用單位分別為Ｎ·ｍ與ｒ／ｍｉｎ（轉／分），此外，又由於１Ｗ＝（１Ｎ·ｍ）×（１ｒａｄ／ｓ）於是式（９１ａ）變為３２πｎＰ×１０＝Ｍ×６０由此得ＰＭ＝９５４９（９１ｂ）ｎ式中，Ｍ為外力偶矩，單位為牛·米（Ｎ·ｍ）；Ｐ為軸的傳遞功率，單位為千瓦（ｋＷ）；ｎ為軸的轉速，單位為轉／分（ｒ／ｍｉｎ）。
二、扭矩圓軸在外力偶矩的作用下，橫截麵上將產生內力，求內力的方法仍為截麵法。
·１３５·建築力學設有一軸在一對外力偶矩Ｍ的作用下發生扭轉變形［圖９３（ａ）］。現欲求任一截麵Ｃ處的內力，應用截麵法用一個垂直於杆軸的平麵ｍｍ在截麵Ｃ處將軸截開，並取左段為研究對象［圖９３（ｂ）］。為了保持平衡，橫截麵上分布的內力，必然合成為一個內力偶Ｍｎ。，與外力偶Ｍ相互平衡由平衡條件∑Ｍｘ＝０可得這個內力偶矩的大小Ｍｎ＝Ｍ圖９３杆件產生扭轉變形時，橫截麵上產生的內力偶矩Ｍｎ稱為扭矩，其常用單位為Ｎ·ｍ或ｋＮ·ｍ。
如果取右段為研究對象，也可求得該截麵上的內力偶，且與左段的內力偶矩大小相等、轉向相反。為了使無論取哪一部分作為研究對象時，所求得的同一截麵上的扭矩有相同的正負號，對扭矩Ｍｎ的正負號按右手螺旋法則作如下規定：以右手四指代表扭矩的轉向，若此時大拇指的指向離開截麵，即與橫截麵的外法線方向相同時，扭矩為正；反之為負。如圖９４所示。
圖９４·１３６·第九章扭轉三、扭矩圖當一根軸上有多個外力偶作用時，軸內各橫截麵或各軸段的扭矩不盡相同，所以扭矩需分段計算。為了清楚表明沿杆軸線各截麵上扭矩的變化情況，類似軸力圖的作法，可繪製扭矩圖。扭矩圖是表示扭矩沿杆軸線變化的圖形，扭矩圖的繪製是以平行於軸線的橫坐標代表截麵位置，以垂直於軸線的縱坐標表示扭矩的數值，正扭矩畫在橫坐標上方，負扭矩畫在橫坐標下方。在扭矩圖上，還必須要注明正負。下麵舉例說明扭矩的計算和扭矩圖的繪製。
例９１傳動軸如圖９５（ａ）所示，主動輪Ａ輸入功率ＰＡ＝５０ｋＷ，從動輪Ｂ、Ｃ輸出功率ＰＢ＝３０ｋＷ，ＰＣ＝２０ｋＷ，軸的轉速為ｎ＝３００ｒ／ｍｉｎ，試畫出軸的扭矩圖。
圖９５圖９６解（１）外力分析。按式（９１）求出作用於各輪上的外力偶矩，ＰＡ５０ＭＡ＝９５５０＝９５５０＝１５９２Ｎ·ｍｎ３００ＰＢ３０ＭＢ＝９５５０＝９５５０＝９５５Ｎ·ｍｎ３００ＰＣ２０ＭＣ＝９５５０＝９５５０＝６３７Ｎ·ｍｎ３００（２）內力分析。該軸需分成ＢＡ、ＡＣ兩段來求其扭矩。現在用截麵法，根據平衡條件計算各段內的扭矩。求ＢＡ段的內力時，可在該段的任一截麵ⅠⅠ處將軸截開，現取左部［（）］，，分為研究對象圖９５ｂ截麵上的扭矩先設為正向由平衡條件∑Ｍｘ＝０得ＭＢ＋Ｍｎ１＝０Ｍｎ１＝－ＭＢ＝－９５５Ｎ·ｍ式中負號表示實際扭矩的轉向與假設的相反，為負扭矩。
同理，為求ＡＣ段的內力，在該段的任一截麵ⅡⅡ處將軸截開，取右部分為研究對象［（）］，圖９５ｃ由平衡條件∑Ｍｘ＝０得ＭＣ－Ｍｎ２＝０·１３７·建築力學Ｍｎ２＝ＭＣ＝６３７Ｎ·ｍ（３）作扭矩圖。根據各段軸的扭矩值及其正負號，按一定比例尺量取後作出扭矩圖。
如圖９５（ｄ）所示。從圖中可以看出，在集中力偶作用處，其左右截麵扭矩不同，發生突變，突變值等於該處集中力偶的大小，且最大扭矩發生在ＢＡ段內。
Ｍｎｍａｘ＝Ｍｎ１＝９５５Ｎ·ｍ對同一根傳動軸來說，若調換主動輪和從動輪的位置，把主動輪Ａ置於軸的一端，如右端，則軸的扭矩圖如圖９６所示。這時軸的最大扭矩是Ｍｎｍａｘ＝１５９２Ｎ·ｍ。由此可見，傳動軸上主動輪和從動輪布置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也就不同。兩者相比，顯然以圖９５所示比較合理，此時，傳動軸所承受的最大扭矩較小，在同等條件下，其強度與剛度容易得到保證。
９．３剪切胡克定律一、剪應變如圖９７所示，當某構件在兩個大小相等、方向相反、作用線相距很近的平行外力作用下產生剪切變形時，截麵將沿外力的方向產生相對錯動。構件內的微立方體ａｂｃｄ則變成了平行六麵體ａ′ｂ′ｃｄ［圖９７（ａ）］。線段ａａ′（或ｂｂ′）所在的側麵ａｂ相對於側麵ｃｄ的滑移量，ａａ′稱為絕對剪切變形。而＝ｔａｎγ≈γ，稱為相對剪切變形或剪應變。由圖９７（ｂ）可見，剪ｄｘ應變γ是直角的改變量，故又稱角應變。它的單位是ｒａｄ（弧度）。切應變γ與線應變ε是度量變形程度的兩個基本量。
圖９７二、剪切胡克定律實驗表明，當剪應力不超過材料的剪切比例極限τＰ時，剪應力τ與剪應變γ成正比［圖９７（ｃ）］。即τ＝Ｇγ（９２）·１３８·第九章扭轉式（９２）稱為剪切胡克定律。式中的比例常數Ｇ稱為切變模量，它反映了材料抵抗剪切變形的能力。它的單位與應力的單位相同。各種材料的Ｇ值可由實驗測定，也可從有關手冊中查得。鋼材的切變模量Ｇ＝８０ＧＰａ～８４ＧＰａ。
可以證明，對於各向同性材料，彈性模量Ｅ、切變模量Ｇ和泊鬆比μ，這三者之間存在以下關係：ＥＧ＝（９３）２（１＋μ）由此可見，Ｅ、Ｇ和μ是三個互相關聯的彈性常數，若已知其中的任意兩個，則可由上式求得第三個。
９．４圓軸扭轉時橫截麵上的應力與變形通過前麵的討論，我們已解決了軸的內力計算問題，本節將進一步研究圓軸扭轉時橫截麵上的應力和變形。
一、圓軸扭轉時橫截麵上的應力分析圓軸扭轉橫截麵上的應力時，需要從幾何、物理和靜力學三個方麵來討論。
（一）變形幾何關係為了求得圓軸扭轉時橫截麵上的應力，必須了解應力在橫截麵上的分布規律。為此，首先可通過試驗觀察其表麵的變形現象。取一根圓軸，實驗前先在它的表麵上劃兩條圓周線和兩條與軸線平行的縱向線。實驗時，在圓軸兩端施加一對力偶矩為Ｍ的外力偶，使其產生扭轉變形，如圖９８所示。在變形微小的情況下，可以觀圖９８察到如下現象：（１）兩條縱向線均傾斜了相同的角度，使原來軸表麵上的小方格變成了平行四邊形。
（２）各圓周線均繞圓軸的軸線轉動了一個角度，但其大小、形狀和相鄰圓周線間的距離均保持不變。
根據觀察到的這些現象，我們可以作出如下假設：各橫截麵在圓軸扭轉變形後仍保持為平麵，形狀、大小都不變，半徑仍為直線，隻是繞軸線轉動了一個角度，橫截麵間的距離均保持不變（稱為平麵假設）。
根據平麵假設，可得到兩點結論：（１）由於相鄰截麵間相對地轉過了一個角度，即橫截麵間發生了旋轉式的相對錯動，出現了剪切變形，故截麵上有剪應力存在。又因半徑的長度不變，故圓軸無徑向應力，且剪應力方向必與半徑垂直。
（２）由於相鄰截麵的間距不變，所以橫截麵上沒有正應力。
為了分析剪應力在橫截麵上的分布規律，我們從軸中取出長為ｄｘ微段來研究［圖９９（ａ）］。
·１３９·建築力學圖９９在力偶的作用下，截麵ｎｎ與ｍｍ的相對轉角為ｄφ，軸表麵所畫的矩形ＡＢＣＤ變為平行四邊形ＡＢＣ′Ｄ′，其變形程度可用原矩形直角的改變量γ表示，稱為剪應變（也稱為切應變）。現在用過軸線的兩徑向平麵ＯＯ′ＡＤ和ＯＯ′ＢＣ切出如圖９９（ｂ）所示楔形塊，從圖中可見，在小變形下，軸表麵層的剪應變為ＤＤ′ｄγ≈ｔａｎγ＝＝ＲφＡＤｄｘ同樣離圓心為ρ處的剪應變為ｄｄ′ｄγ＝＝φ（９４）ρａｄρｄｘｄ上式中，φ表示扭轉角沿軸線ｘ的變化率，稱為單位長度的扭轉角，簡稱單位扭ｄｘφ轉角。
ｄ對某一個給定平麵來說，φ是常量，所以剪應變γ與成正比，即剪應變的大小與該點ｄｘρρ到圓心的距離成正比。
（二）物理關係根據剪切胡克定律，當剪應力不超過材料的剪切比例極限τｐ時，橫截麵上距圓心為ρ處的剪應力τρ與該處的剪應變γρ成正比，即τρ＝Ｇγρ將式（９４）代入上式，得·１４０·第九章扭轉ｄτ＝Ｇφ（９５）ρρｄｘ式（９５）表明：橫截麵上任一點處的剪應力的大小，與該點到圓心的距離ρ成正比。也就是說，在截麵的圓心處剪應力為零，在周邊上剪應力最大。在半徑都等於ρ的圓周上各點處的剪應力τρ的數值均相等。橫截麵的剪應力沿著半徑按直線規律分布。剪應力的分布規律如圖９９（ｃ）所示，剪應力的方向與半徑垂直。
（三）靜力學關係ｄ式（９５）雖然表明了剪應力在截麵上的分布規律，但其中φ尚未知，因此必須根據靜ｄｘ力平衡條件，建立剪應力與扭矩的關係，才能求出剪應力。
在圖９１０的截麵上距圓心為ρ的點處，取一微麵積，，，ｄＡ此麵積上的微剪力為τρｄＡ它對圓心的力矩為ρτρｄＡ整個截麵上各處的微剪力對圓心的力矩的總和應等於該截麵上的扭矩Ｍｎ，即（）ρτρｄＡ＝Ｍｎ９６∫Ａ上式中，積分號下的Ａ表示對整個橫截麵的麵積進行積分。
將式（９５）代入式（９６），得圖ｄφ２ｄφ９１０Ｍｎ＝ρＧρｄＡ＝ＧρｄＡ∫Ａ（）ｄｘ∫Ａｄｘｄ因Ｇ、φ均為常量，故上式可寫成ｄｘｄφ２Ｍｎ＝ＧρｄＡ（９７）ｄｘ∫Ａ２上式中：積分ρｄＡ為截麵對圓心Ｏ的極慣性矩，已經在第六章介紹。它與橫截麵的∫Ａ４４幾何形狀和尺寸有關，表示截麵的一種幾何性質，其常用單位為ｍｍ或ｍ，用ＩＰ表示，即２ＩＰ＝ρｄＡ∫Ａ於是式（９７）可寫成ｄφＭｎ＝ＧＩＰｄｘ或ｄＭｎφ＝（９８）ｄｘＧＩＰ將式（９８）代入式（９５），即得橫截麵上任一點處的剪應力的計算公式為Ｍｎ（）τρ＝ρ９９ＩＰ·１４１·建築力學式中：Ｍｎ———橫截麵上的扭矩；ρ———橫截麵上任一點到圓心的距離；ＩＰ———橫截麵對圓心的極慣性矩。
在式（９９）中，如取ρ＝ρｍａｘ＝Ｒ，則可得圓軸橫截麵周邊上的最大剪應力為Ｍｎτｍａｘ＝ＲＩＰＩＰ若令ＷＰ＝Ｒ則最大剪應力可寫成Ｍｎτｍａｘ＝（９１０）ＷＰ３３ＷＰ稱為抗扭截麵係數，常用單位為ｍｍ或ｍ。
下麵介紹截麵的極慣性矩ＩＰ和抗扭截麵係數ＷＰ的計算。
１．圓形截麵對於直徑為Ｄ的圓形截麵，可取一距圓心為ρ、厚度為ｄρ的圓環作為微麵積ｄＡ［圖９１１（ａ）］，則ｄＡ＝２πρｄρＤ４２２３πＤ４ＩＰ＝ρｄＡ＝２πρｄρ＝≈０．１Ｄ（９１１）∫Ａ∫０３２圓形截麵的抗扭截麵係數為３ＩＰＩＰπＤ３ＷＰ＝＝＝≈０．２Ｄ（９１２）ＲＤ／２１６圖９１１２．圓環形截麵對於內徑為ｄ，外徑為Ｄ的空心圓截麵［圖９１１（ｂ）］，其慣性矩可以采用和圓形截麵相同的方法求出：·１４２·第九章扭轉Ｄ／２２３π４４４４ＩＰ＝ρｄＡ＝２πρｄρ＝（）Ｄ－ｄ≈０．１（）Ｄ－ｄ（９１３）∫Ａ∫ｄ／２３２若取內外徑比α＝ｄ／Ｄ，則上式可寫成４πＤ４４４ＩＰ＝１－α≈０．１Ｄ１－α（９１４）３２（）（）圓環形截麵的抗扭截麵係數為３ＩＰπＤ４３４ＷＰ＝＝１－α≈０．２Ｄ１－α（９１５）Ｄ／２１６（）（）例９２某實心圓軸，直徑Ｄ＝５０ｍｍ，傳遞的扭矩Ｍｎ＝２ｋＮ·ｍ，試計算與圓心距離ρ＝１５ｍｍ的ｋ點處的剪應力及截麵上的最大剪應力（圖９１２）。
３解扭矩Ｍｎ＝２ｋＮ·ｍ＝２×１０Ｎ·ｍ截麵的極慣性矩和抗扭截麵係數分別為４－３４πＤπ×（）５０×１０－８４ＩＰ＝＝＝６１．４×１０ｍ３２３２３－３３πＤπ×（）５０×１０－６３ＷＰ＝＝＝２４．５×１０ｍ１６１６由式（９９）、（９１０）得圖９１２ｋ點處的剪應力３Ｍｎ２×１０－３τρ＝ρ＝－８×１５×１０＝４８．８ＭＰａＩＰ６１．４×１０最大剪應力３Ｍｎ２×１０τｍａｘ＝＝－６＝８１．６ＭＰａＷＰ２４．５×１０二、圓軸扭轉時的變形圓軸在扭轉時的變形可用兩個截麵之間的扭轉角來度量。在圖９９（ａ）中，相距ｄｘ的兩橫截麵之間的相對扭轉角為ｄφ，由式（９８）可得Ｍｎｄφ＝ｄｘＧＩＰ所以相距為ｌ的兩橫截麵之間的相對扭轉角為ｌＭｎφ＝ｄφ＝ｄｘ∫ｌ∫０ＧＩＰ對於同一材料製成的等截麵圓軸，隻在軸的兩端受扭矩作用時，沿軸線方向各截麵的Ｍｎ、Ｇ和ＩＰ均為常量，由上式積分可得等截麵圓軸扭轉變形的計算公式為·１４３·建築力學ｌＭｎＭｎｌφ＝ｄｘ＝（９１６）ＧＩ∫Ｐ０ＧＩＰ式中：Ｍｎ———橫截麵上的扭矩；ｌ———兩截麵間的距離；Ｇ———圓軸材料的切變模量；ＩＰ———橫截麵對圓心的極慣性矩。
相對扭轉角的單位為ｒａｄ（弧度），正負號與扭矩一致。由式（９１６）可以看出，扭轉角φ與扭矩Ｍｎ、軸長ｌ成正比，與ＧＩＰ成反比。在扭矩Ｍｎ一定時，ＧＩＰ越大，φ就越小，ＧＩＰ反映了截麵抵抗扭轉變形的能力，稱為圓軸截麵的抗扭剛度。
若軸上各段內的扭矩不相等或截麵不相等（例如階梯軸），則應分段按公式（９１６）計算各段軸兩端截麵間的相對扭轉角，然後相加得到總的扭轉角。
ｎＭｎｉｌｉφ＝（９１７）ｉ∑＝１ＧＩＰｉ由式（９１６）表示的扭轉角與軸的長度ｌ有關，為了消除長度的影響，通常將等式兩端同除以軸長ｌ後得單位長度扭轉角，並以θ表示，即Ｍｎθ＝φ＝（９１８）ｌＧＩＰ上式中，單位長度扭轉角θ的單位為ｒａｄ／ｍ（弧度／米），在工程實際上常用（°）／ｍ（度／米）作為θ的單位，則Ｍｎ１８０°θ＝×（９１９）ＧＩＰπ應當指出，由於本節在推導應力和變形公式的過程中引用了胡克定律，因此，上述公式隻在線彈性範圍內適用。
９．５圓軸扭轉時的強度與剛度一、強度計算為了保證圓軸在扭轉時不致因強度不足而破壞，應使軸內的最大工作剪應力不超過材料的許用剪應力。因此，等截麵圓軸的強度條件為Ｍｎｍａｘτｍａｘ＝≤［τ］（９２０）ＷＰ式中Ｍｎｍａｘ為整個圓軸的最大扭矩。因此，在進行扭轉強度計算時，必須先畫出扭矩圖。
而對於階梯軸，由於各段軸的ＷＰ不同，τｍａｘ不一定發生在Ｍｎｍａｘ所在的截麵上，因此需綜合考慮ＷＰ和Ｍｎ兩個因素來確定τｍａｘ。
［τ］稱為材料的許用剪應力，可由試驗並考慮安全係數確定，也可按材料的許用拉應力·１４４·第九章扭轉［σ］的大小，按下式確定：塑性材料［τ］＝（０．５～０．６）［σ］脆性材料［τ］＝（０．８～１．０）［σ］二、剛度計算圓軸扭轉時，不僅要滿足其強度條件，同時還需滿足剛度條件，特別是機械傳動軸對剛度的要求比較高時。如機床的主軸扭轉變形過大，就會影響工件的加工精度和光潔度。因此，工程上常要求圓軸的最大單位長度扭轉角θｍａｘ不超過軸的單位長度許用扭轉角［θ］，即Ｍｎ１８０°θｍａｘ＝×≤［θ］（９２１）ＧＩＰπ式（９２１）就是圓軸扭轉時的剛度條件。許用扭轉角［θ］的數值可根據工件的加工精度和軸的工作條件，從有關手冊中查得。一般規定如下：精密機器的軸［θ］＝０．２５°／ｍ～０．５°／ｍ一般傳動軸［θ］＝０．５°／ｍ～１．０°／ｍ精度較低的軸［θ］＝１．０°／ｍ～２．５°／ｍ圓軸扭轉的強度條件和剛度條件也可以解決三類問題，即校核軸的強度和剛度、設計截麵尺寸和確定許可傳遞的功率或力偶矩。
例９３某汽車傳動軸由無縫鋼管製成，外徑Ｄ＝９０ｍｍ，內徑ｄ＝８５ｍｍ。軸傳遞的最大力偶矩Ｍ＝１．５ｋＮ·ｍ，軸的許用剪應力［τ］＝６０ＭＰａ，許用扭轉角［θ］＝１°／ｍ，材料的切變模量Ｇ＝８０ＧＰａ。試計算以下問題：（１）試校核此軸的強度和剛度；（２）若改用強度相同的實心軸，試設計軸的直徑；（３）求空心軸與實心軸的重量的比值。
解（１）校核強度和剛度因傳動軸所受的外力偶矩Ｍ＝１．５ｋＮ·ｍ，故圓軸各橫截麵上的扭矩也均為Ｍｎ＝Ｍ＝１．５ｋＮ·ｍ軸的內外徑比α＝ｄ／Ｄ＝０．９４４截麵的極慣性矩和抗扭截麵係數分別為４４４４６４ＩＰ＝０．１Ｄ（）１－α＝０．１×９０×（）１－０．９４４＝１．３５×１０ｍｍＩＰ３４３４４３ＷＰ＝＝０．２Ｄ１－α＝０．２×９０×１－０．９４４＝３×１０ｍｍＤ／２（）（）將以上結果代入式（９１０）和（９１９），得軸的最大剪應力為３Ｍｎｍａｘ１．５×１０６τｍａｘ＝＝４－９＝５０×１０Ｐａ＝５０ＭＰａ＜［τ］ＷＰ３×１０×１０故軸滿足強度要求。
軸的最大單位長度扭轉角θｍａｘ為３Ｍｎｍａｘ１８０°１．５×１０１８０°θｍａｘ＝×＝９６－１２×＝０．８°／ｍ＜［θ］＝１°／ｍＧＩＰπ８０×１０×１．３５×１０×１０π·１４５·建築力學故軸也滿足剛度要求。
（２）求改為實心軸時的直徑為保證兩軸有相等的強度，應使兩軸的抗扭截麵係數相等，所以３３４ＷＰ３×１０Ｄ′＝＝＝５３．１ｍｍ槡０．２槡０．２（３）求兩軸的重量比當兩軸的材料相同、長度相等時，它們的重量比等於橫截麵麵積之比。設空心軸與實心軸的重量分別為Ｇ１和Ｇ２，則π２２（）Ｄ－ｄ２２２２Ｇ１Ａ１４Ｄ－ｄ９０－８５＝＝＝２＝２＝０．３１Ｇ２Ａ２２πＤ′Ｄ′５３．１４以上結果表明，在扭轉強度相等的條件下，空心軸的重量僅為實心軸的３１％，其減輕重量和節約材料是非常明顯的。這是因為橫截麵上的剪應力沿半徑按線性分布，軸心附近的剪應力很小，材料沒有充分發揮作用。若把軸心附近的材料向邊緣移置，便可增大ＩＰ和ＷＰ，充分利用了材料，提高了軸的強度。因此，工程中對於大尺寸的軸常采用空心軸。
例９４某傳動軸如圖９１３（ａ）所示。已知輪Ｂ輸入的功率ＮＢ＝３０ｋＷ，輪Ａ、Ｃ、Ｄ輸出功率分別為ＮＡ＝１５ｋＷ、ＮＣ＝１０ｋＷ、ＮＤ＝５ｋＷ。軸的轉速ｎ＝５００ｒ／ｍｉｎ，［τ］＝６０ＭＰａ，［θ］＝１．５°／ｍ，Ｇ＝８０ＧＰａ。試按強度條件和剛度條件選擇軸的直徑。
圖９１３解（１）計算外力偶矩ＮＢ３０ＭＢ＝９５５０＝９５５０×＝５７３Ｎ·ｍｎ５００ＮＡ１５ＭＡ＝９５５０＝９５５０×＝２８６．５Ｎ·ｍｎ５００ＮＣ１０ＭＣ＝９５５０＝９５５０×＝１９１Ｎ·ｍｎ５００·１４６·第九章扭轉ＮＤ５ＭＤ＝９５５０＝９５５０×＝９５．５Ｎ·ｍｎ５００（２）作扭矩圖：用截麵法求出各段軸的扭矩，並作扭矩圖如圖９１３（ｂ）所示。由扭矩圖可知，ＢＣ段軸有最大扭矩，其絕對值為Ｍｍａｘ＝２８６．５Ｎ·ｍＭｎｍａｘ（３）按強度條件選擇軸的直徑：由強度條件τｍａｘ＝≤［τ］，得ＷＰ３πｄＭｍａｘ２８６．５ＷＰ＝≥＝１６［］τ６０×１０６３３１６ＷＰ１６×２８６．５－３ｄ＝≥＝２８．９×１０ｍ≈０．０２９ｍ槡π槡π×６０×１０６Ｍｎ１８０°（４）按剛度條件選擇軸的直徑：由剛度條件θｍａｘ＝×≤［θ］，得ＧＩＰπ４πｄＭｎ１８０°２８６．５１８０°ＩＰ＝≥×＝×３２Ｇ［］θπ８０×１０９×１．５π４４３２ＩＰ３２×２８６．５×１８０－３ｄ＝≥＝３４．３×１０ｍ≈０．０３５ｍ槡π槡π２×８０×１０９×１．５為使軸既滿足強度條件又滿足剛度條件，應選取直徑ｄ＝３５ｍｍ。
９．６剪應力互等定理在受力物體中，可以圍繞任意一點，截取一個邊長為ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ的微小正六麵體，該六麵體稱為單元體。如圖９１４（ａ）所示。若單元體中有一對相互平行的平麵上，既無正應力，又無剪應力，則可把單元體簡化成圖９１４（ｂ）所示的平麵形式。由於單元體的邊長是微量，可以認為應力在平麵上均勻分布。
圖９１４設在此單元體的左右兩側麵上，作用有由剪應力τｘ構成的剪力τｘｄｙｄｚ和τ′ｘｄｙｄｚ。這對大小相等、方向相反的力將構成力偶，其矩為（τｘｄｙｄｚ）ｄｘ。然而由於單元體處於平衡狀·１４７·建築力學態，因此，在單元體的頂麵和底麵上，必然有剪應力τｙ存在，組成逆時針轉動的力偶（τｙｄｘｄｚ）ｄｙ以保持單元體的平衡，即（τｘｄｙｄｚ）ｄｘ＝（τｙｄｘｄｚ）ｄｙ由此得τｘ＝τｙ（９２２）上式表明，在單元體的兩個互相垂直的截麵上，垂直於兩截麵交線的剪應力，大小相等、方向為共同指向或共同背離這一交線。這一關係稱為剪應力互等定理。
上述單元體的四個側麵上隻有剪應力，沒有正應力，這種受力狀態稱為純剪切狀態。
９．７矩形截麵杆受自由扭轉時的應力與變形在等直圓軸的扭轉問題中，分析軸內橫截麵上應力的主要根據是平麵假設，而非圓截麵杆件受扭後，橫截麵將不再保持為平麵。例如，石油鑽機的主軸，一些農業機械的傳動軸等，其截麵就是矩形的。
一、非圓截麵杆扭轉與圓軸扭轉的區別如果取一矩形截麵杆，預先在杆件表麵劃上沿杆軸線方向的縱線和垂直杆軸線方向的橫線［圖９１５（ａ）］，在產生扭轉變形後［圖９１５（ｂ）］可以觀察到組成橫截麵周線的一條橫線不再保持為直線。由此可以推知，變形後橫截麵發生了凹凸不平的翹曲。因而，平麵假設不能成立；以平麵假設為依據的圓軸扭轉公式，對非圓截麵杆都不再適用。因此，圓軸扭轉時應力和變形的計算公式都不能應用於非圓截麵杆。
本節主要介紹非圓截麵杆與圓截麵杆扭轉的區別，以及矩形截麵杆扭轉時的主要結果。
圖９１５非圓截麵杆的扭轉可分為自由扭轉和約束扭轉。
如扭轉時杆橫截麵的翹曲不受任何約束，則稱為自由扭轉。在這種情況下，杆件各橫截麵的翹曲程度完全相同，縱向纖維的長度不因翹曲而改變，杆橫截麵上隻有剪應力而無正應力。
與此相反，如果因約束條件的限製，扭轉時杆各橫截麵的翹曲程度不同，則稱為約束扭轉。
在這種情況下，杆任意兩橫截麵間縱向纖維的長度將發生改變，因此橫截麵上除剪應力外還產生正應力。一般實體杆件（例如矩形或橢圓截麵杆）因約束扭轉引起的正應力比薄壁杆件（例如工字鋼或槽鋼）的小得多，可以忽略不計。這樣，實體杆件的約束扭轉與自由扭轉實際上並無顯著差別。
二、矩形截麵杆受自由扭轉時的最大剪應力、扭轉角計算非圓截麵杆件的扭轉問題需要用彈性力學的方法計算，本節隻簡單介紹矩形截麵杆的·１４８·第九章扭轉一些結論。
由彈性力學可知，矩形截麵杆扭轉後，四個棱邊處小方格的直角不變，截麵長邊中點處的角變形最大，短邊中點處次之，其餘各處小方格的角度都有變形。所以橫截麵上的最大剪應力τｍａｘ發生在長邊的中點處；四個角點處的剪應力為零；截麵周邊各點處的剪應力方向與周邊平行，並且構成一連續的環流（圖９１６）。上述結果與前麵的實驗現象（圖９１５）相符合。
在矩形截麵長邊的中點處發生最大剪應力τｍａｘ，其計算公式為圖９１６Ｍｎτｍａｘ＝（９２３ａ）αｈｂ２在矩形截麵短邊的中點處發生較大剪應力τ′ｍａｘ，其計算公式為τ′ｍａｘ＝γτｍａｘ（９２３ｂ）單位長度扭轉角的計算公式：ＭｎＭｎθ＝＝３（９２４）ＧＩＰβｈｂＧ式中：ｂ———矩形截麵的短邊長度；ｈ———矩形截麵的長邊長度；Ｍｎ———橫截麵上的扭矩；Ｇ———材料的切變模量；α、β、γ———與截麵尺寸ｈ和ｂ有關的係數，它們的數值可以從表９１中查出。
表９１矩形截麵扭轉時的係數α、β、γ值ｈ／ｂ１．０１．２１．５１．７５２．０２．５３．０４．０６．０８．０１０．０∞α０．２０８０．２１９０．２３１０．２３９０．２４６０．２５８０．２６７０．２８２０．２９９０．３０７０．３１２０．３３３β０．１４１０．１６６０．１９６０．２１４０．２２９０．２４９０．２６３０．２８１０．２９９０．３０７０．３１２０．３３３γ１．００００．９３００．８５８０．８２００．７９５０．７６７０．７５３０．７４５０．７４３０．７４３０．７４３０．７４３由表９１可以看出：當ｈ／ｂ≥４時，可取α＝β；當ｈ／ｂ＞１０時，可取α＝β≈１／３。
例９５一矩形截麵杆，ｈ×ｂ＝９０×６０ｍｍ，承受扭矩Ｍｎ＝２．５ｋＮ·ｍ，試計算τｍａｘ。
如在截麵麵積相等的情況下改成圓截麵，比較兩種截麵的最大剪應力。
解（１）矩形截麵杆ｈ／ｂ＝９０／６０＝１．５，查表９１得α＝０．２３１，代入式（９２３ａ），得３Ｍｎ２．５×１０６τｍａｘ＝＝＝３３．４×１０Ｐａ＝３３．４ＭＰａαｈｂ２０．２３１×９０×１０－３×（６０×１０－３）２麵積Ａ＝９０×６０×１０－６＝５．４×１０－３ｍ２。
·１４９·建築力學πＤ２（２）圓形截麵Ａ＝，所以４－３４Ａ４×５．４×１０－３Ｄ＝＝＝８３×１０ｍ＝８３ｍｍ槡π槡π３－３３πＤπ（８３×１０）３－６３ＷＰ＝＝ｍ＝１１２×１０ｍ１６１６３Ｍｎ２．５×１０６τｍａｘ＝＝－６Ｐａ＝２２．３×１０Ｐａ＝２２．３ＭＰａＷＰ１１２×１０可見在相同截麵積時，矩形截麵杆的扭轉剪應力比圓截麵杆的大。
【小結】１．受扭圓軸有兩個共同的特點：在受力方麵，構件為直杆，並在垂直於杆件軸線的兩個平麵內，作用著一對大小相等、轉向相反的力偶；在變形方麵，受扭轉構件的各橫截麵都繞杆軸線發生相對轉動。
２．用截麵法計算受扭圓軸橫截麵上的扭矩，按照右手螺旋法則判斷扭矩的正負。
３．橫截麵上任一點處的剪應力的大小，與該點到圓心的距離ρ成正比，在截麵的圓心，，處剪應力為零在周邊上剪應力最大在半徑都等於ρ的圓周上各點處的剪應力τρ的數值均相等。橫截麵的剪應力沿著半徑按直線規律分布，剪應力的方向與半徑垂直。
４．為了保證圓軸在扭轉時不致因強度不足而破壞，應使軸內的最大工作剪應力不超過材料的許用剪應力。
５．傳動軸的扭轉變形過大，會影響工件的加工精度和光潔度。因此，工程上常要求圓軸的最大單位長度扭轉角θｍａｘ不超過軸的單位長度許用扭轉角［θ］。
【思考題與習題】９１．試述扭矩符號是如何規定的？
９２．直徑ｄ和長度ｌ都相同，而材料不同的兩根軸，在相同的扭矩作用下，它們的最大剪應力τｍａｘ是否相同？扭轉角φ是否相同？為什麼？
９３．若圓軸直徑增大一倍，其他條件均不變，那麼最大剪應力、軸的扭轉角將變化多少？
９４．從強度觀點看，圖９１７（ａ）、（ｂ）兩圖中三個輪的位置布置哪一種比較合理？
圖９１７·１５０·第九章扭轉９５．圖９１８中所畫剪應力分布圖是否正確？其中Ｍｎ為截麵上的扭矩。
圖９１８９６．一空心圓軸，外徑為Ｄ、內徑為ｄ，其極慣性矩ＩＰ和抗扭截麵係數ＷＰ是否可按下式計算？為什麼？
πＤ４πｄ４ＩＰ＝ＩＰ外－ＩＰ內＝－３２３２πＤ３πｄ３ＷＰ＝ＷＰ外－ＷＰ內＝－１６１６９７．試從應力分布的角度說明空心軸較實心軸能更充分地發揮材料的作用。
９８．試述圓軸扭轉公式的使用條件。
９９．單位長度扭轉角與相對扭轉角的概念有什麼不同？
９１０．圓截麵杆與非圓截麵杆受扭轉時，其應力與變形有什麼不同？原因是什麼？
９１１．試用截麵法求圖９１９所示杆件各段的扭矩Ｍｎ，並作扭矩圖。
圖９１９·１５１·建築力學９１２．已知鋼材的彈性模量Ｅ＝２１０ＧＰａ，泊鬆比μ＝０．３１，試根據Ｅ、Ｇ、μ之間的關係式，求切變模量Ｇ。
９１３．圓軸直徑ｄ＝１００ｍｍ，長ｌ＝１ｍ，兩端作用外力偶矩Ｍｅ＝１４ｋＮ·ｍ，材料的切變模量Ｇ＝８０ＧＰａ，試求：（１）軸上距軸心５０ｍｍ、２５ｍｍ和１２．５ｍｍ三點處的剪應力；（２）最大剪應力τｍａｘ；（３）單位長度扭轉角θ。
９１４．傳動軸如圖９２０所示，已知ＭＡ＝１．５ｋＮ·ｍ，ＭＢ＝１ｋＮ·ｍ，ＭＣ＝０．５ｋＮ·ｍ；各段直徑分別為ｄ１＝７０ｍｍ，ｄ２＝５０ｍｍ。（１）畫出扭矩圖；（２）求各段軸內的最大剪應力和全軸的最大剪應力；（３）求Ｃ截麵相對於Ａ截麵的扭轉角，各段的單位長度扭轉角及全軸的最大單位長度扭轉角。設材料的切變模量Ｇ＝８０ＧＰａ。
圖９２０圖９２１９１５．空心圓軸如圖９２１所示，外徑Ｄ＝８０ｍｍ，內徑ｄ＝６２．５ｍｍ，兩端承受扭矩Ｍｎ＝１ｋＮ·ｍ。
（１）求τｍａｘ和τｍｉｎ；（２）繪出橫截麵上剪應力分布圖；（３）求單位長度扭轉角。已知Ｇ＝８０ＧＰａ。
９１６．圖９２２所示為扭轉角測量裝置，已知ｌ＝１ｍ，ρ＝０．１５ｍ，空心圓軸外徑Ｄ＝１００ｍｍ，內徑ｄ＝９０ｍｍ。當外力偶矩Ｍｅ＝４４０Ｎ·ｍ時，千分表的讀數由０增至２５分度（１分度＝０．０１ｍｍ），試計算軸材料的切變模量Ｇ。
圖９２２９１７．階梯形圓軸的直徑分別為ｄ１＝４ｃｍ，ｄ２＝７ｃｍ，軸上裝有三個皮帶輪如圖·１５２·第九章扭轉９２３所示。已知由輪３輸入的功率為Ｐ３＝３０ｋＷ，輪１輸出的功率為Ｐ１＝１３ｋＷ，軸作勻速轉動，轉速ｎ＝２００轉／分，材料的［τ］＝６０ＭＰａ，Ｇ＝８０ＧＰａ，許用扭轉角［θ］＝２°／ｍ，試校核軸的強度和剛度。
圖９２３９１８．一鋼軸長ｌ＝１ｍ，受扭矩Ｍｎ＝１８ｋＮ·ｍ作用，材料的許用剪應力［τ］＝４０ＭＰａ，試設計軸的直徑ｄ。
９１９．一空心圓軸，外徑Ｄ＝９０ｍｍ，內徑ｄ＝６０ｍｍ。
（１）求該軸截麵的抗扭截麵係數ＷＰ；（２）若改用實心圓軸，在截麵麵積不變的情況下，求此實心圓軸的直徑和抗扭截麵係數；（３）計算實心和空心圓軸抗扭截麵係數的比值。
９２０．某軸兩端受外力偶矩Ｍ＝３００Ｎ·ｍ作用，已知材料的許用剪應力［τ］＝７０ＭＰａ，試按下列兩種情況校核軸的強度。
（１）實心圓軸，直徑Ｄ＝３０ｍｍ；（２）空心圓軸，外徑Ｄ１＝４０ｍｍ，內徑ｄ１＝２０ｍｍ。
９２１．圖９２４所示傳動軸，轉速ｎ＝４００ｒ／ｍｉｎ，Ｂ輪輸入功率ＮＢ＝６０ｋＷ，Ａ輪和Ｃ輪輸出功率相等，ＮＡ＝ＮＣ＝３０ｋＷ。已知［τ］＝４０ＭＰａ，［θ］＝０．５°／ｍ，Ｇ＝８０ＧＰａ。試按強度和剛度條件選擇軸的直徑ｄ。
圖９２４圖９２５９２２．圖９２５所示矩形截麵杆兩端所受轉矩Ｍ０＝０．５ｋＮ·ｍ，截麵高ｈ＝８ｃｍ，寬ｂ＝３ｃｍ，切變模量Ｇ＝８０ＧＰａ，試求：（１）杆內最大剪應力的大小、位置和方向；（２）單位長度的扭轉角。
·１５３·第十章梁的彎曲掃一掃可見本章電子資源【學習目標】理解梁受彎時的受力與變形特點，熟練掌握梁受彎時的內力計算及內力圖的繪製，掌握梁受彎時橫截麵上的正應力與剪應力計算，了解梁受彎時的變形計算，掌握梁的強度條件與剛度條件及其應用。
１０．１彎曲與梁的概念一、彎曲變形和平麵彎曲變形的概念杆件受到垂直於杆軸的外力作用或在縱向對稱平麵內受到力偶的作用時，杆件的軸線由直線彎成曲線，這種變形稱為彎曲。以彎曲變形為主要變形的杆件稱為梁。
彎曲變形是工程實際和日常生活中最常見的一種變形。例如建築物中的樓麵梁，受到樓麵荷載、梁的自重和柱（或牆）的作用力，將發生彎曲變形（圖１０１）；再如陽台的挑梁（圖１０２）、門窗過梁等構件也都是以彎曲變形為主。
圖１０１圖１０２工程中大多數梁的橫截麵都具有對稱軸，如圖１０３所示為具有對稱軸的各種截麵形狀。截麵的豎向對稱軸與梁軸線所組成的平麵稱為縱向對稱平麵（圖１０４）。如果梁上的外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱平麵內，且各力都與梁的軸線垂直，則梁的軸線將在縱向對稱平麵內由直線彎成一條曲線，即梁變形後的軸線所在平麵與外力所在平麵重合，這種彎曲變形稱為平麵彎曲變形。平麵彎曲是彎曲變形中最簡單，也是最基本的。本章主要討論等截麵直梁的平麵彎曲問題。
·１５４·第十章梁的彎曲二、單跨靜定梁的分類梁的結構形式很多，按支座情況可以分為以下幾種：（１）簡支梁梁的一端是固定鉸支座，另一端是可動鉸支座［圖１０５（ａ）］。
（２）外伸梁其支座形式與簡支梁相同，但梁的一端或兩端伸出支座之外［圖１０５（ｂ）、（ｃ）］。
（３）懸臂梁梁的一端固定，而另一端是自由的［圖１０５（ｄ）］。
圖１０３圖１０４圖１０５１０．２平麵彎曲時梁的內力———剪力和彎矩一、梁的內力—剪力和彎矩若所有的橫向外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱平麵內，在求得支座反力之後，利用截麵法，由隔離體的平衡條件，可求得梁任一橫截麵上的內力。
現以圖１０６（ａ）所示的簡支梁為例來說明求梁橫截麵上內力的方法。簡支梁跨中受一集中力Ｆ的作用處於平衡狀態，梁在集中力Ｆ和Ａ、Ｂ處支座反力作用下產生平麵彎曲變形，現求距Ａ端ｘ處ｍｍ橫截麵上的內力。
１．計算支座反力梁在荷載和支反力的共同作用下是處於平衡狀態的，因而可根據整根梁的平衡條件，求得支反力。
據靜力平衡條件列方程（），∑ＭＡＦ＝０得ＦＢ×ｌ－Ｆ×ａ＝０·１５５·建築力學ａＦＢ＝Ｆ↑ｌ（），得∑Ｆｙ＝０ＦＡ－Ｆ＋ＦＢ＝０ｂＦＡ＝Ｆ↑ｌ（）圖１０６２．用截麵法分析內力為研究任一橫截麵ｍｍ上的內力，假想將梁沿ｍｍ截麵分為左、右兩部分，由於整體平衡，所以左、右半部分也處於平衡。取左半部為研究對象［圖１０６（ｂ）］，由平衡條，（）（），件∑Ｆｙ＝０∑ＭＯＦ＝０Ｏ為ｍｍ截麵的形心可判斷ｍｍ截麵上必存在兩種內力：（１）作用在縱向對稱麵內，與橫截麵相切的內力稱為剪力，用ＦＳ表示，剪力實際上是該截麵上切向分布內力的合力，剪力的常用單位是Ｎ或ｋＮ。
（２）作用麵與橫截麵垂直的內力偶矩稱為彎矩，用Ｍ表示，橫截麵上的彎矩實際上是該截麵上法向分布內力的合力偶矩，彎矩常用單位為Ｎ·ｍ或ｋＮ·ｍ。
ｍｍ截麵上的剪力和彎矩，可利用左半部的平衡方程求得。
，∑Ｆｙ＝０得ＦＡ－ＦＳ＝０ｂＦＳ＝ＦＡ＝Ｆ（↓）ｌ（），∑ＭＯＦ＝０得－ＦＡｘ＋Ｍ＝０ｂＭ＝ＦＡｘ＝Ｆｘｌ如果取梁的右半部為研究對象［圖１０６（ｃ）］，用同樣方法亦可求得截麵上的剪力和彎·１５６·第十章梁的彎曲矩。但必須注意，分別以左半部和右半部為研究對象求出的剪力ＦＳ和彎矩Ｍ數值是相等的，而方向和轉向則是相反的，因為它們是作用力和反作用力的關係。
二、剪力和彎矩的正負號為使不論從梁的左半部、還是從梁的右半部，求得同一截麵上的內力ＦＳ和Ｍ不僅大小相等，而且具有相同的正負號，並由正負號反映出梁的變形情況，對梁的剪力和彎矩的正負號，作如下規定：（１）剪力的正負號當截麵上的剪力ＦＳ使所考慮的研究對象，可能發生左邊向上、右邊向下的相對錯動，即有順時針方向轉動趨勢時取正號；反之取負號（圖１０７）。
（２）彎矩的正負號截麵上的彎矩使所考慮的研究對象產生上凹下凸的彎曲變形，即梁的上部受壓，下部受拉時，彎矩為正；反之為負（圖１０８）。
圖１０７圖１０８三、用截麵法計算指定截麵內力用截麵法計算指定截麵的剪力和彎矩的步驟和方法如下：（１）計算支座反力。
（２）用假想的截麵在欲求內力處將梁切成左、右兩部分，取其中一部分為研究對象。
（３）畫研究對象的受力圖。畫研究對象的受力圖時，對於截麵上未知的剪力和彎矩，均假設為正向。
（４）建立平衡方程，求解剪力和彎矩。
計算出的內力值可能為正值或負值，當內力值為正值時，說明內力的實際方向與假設方向一致，內力為正剪力或正彎矩；當內力值為負值時，說明內力的實際方向與假設的方向相反，內力為負剪力或負彎矩。
例１０１外伸梁受力如圖１０９（ａ）所示，求１１、２２截麵上的剪力和彎矩。
圖１０９·１５７·建築力學解（１）求支座反力。取整體為研究對象，設支座反力ＦＡｙ、ＦＢｙ的方向向上。列平衡方程。
（），／∑ＭＡＦ＝０－８ｋＮ×２ｍ＋ＦＢｙ×４ｍ－２ｋＮｍ×２ｍ×５ｍ＝０ＦＢｙ＝９ｋＮ（）↑，／∑Ｆｙ＝０ＦＡｙ－８ｋＮ＋ＦＢｙ－２ｋＮｍ×２ｍ＝０ＦＡｙ＝３ｋＮ（）↑（２）求１１截麵的內力。將梁沿１１截麵切開，取左半部為研究對象，其受力圖見圖１０９（ｂ）。則，∑Ｆｙ＝０ＦＡｙ－ＦＳ１＝０ＦＳ１＝ＦＡｙ＝３ｋＮ（），·∑Ｍ１Ｆ＝０－２ＦＡｙ＋Ｍ１＝０Ｍ１＝２ＦＡｙ＝６ｋＮｍ（３）求２２截麵的內力。將梁沿２２截麵切開，取右半部為研究對象，其受力圖見圖１０９（ｃ）。則，／由∑Ｆｙ＝０得ＦＳ２－２ｋＮｍ×２ｍ＝０（），／由∑Ｍ２Ｆ＝０得－Ｍ２－２ｋＮｍ×２ｍ×１ｍ＝０解得ＦＳ２＝４ｋＮＭ２＝－４ｋＮ·ｍ（符號表示實際方向與假設方向相反）四、梁上任一截麵剪力和彎矩的計算規律從截麵法計算內力中，可歸納出計算剪力和彎矩的規律。
１．計算剪力的規律梁上任一截麵上的剪力，等於該截麵一側（左側或右側）所有豎向外力（包括支座反力）的代數和。
外力的正負號：外力對所求截麵產生順時針方向轉動趨勢時，取正號；反之取負號。可記為“順轉剪力正”，也即當從截麵的左側計算時，向上的外力為正；當從截麵的右側計算時，向下的外力為正。
２．計算彎矩的規律梁任一橫截麵上的彎矩，在數值上等於該截麵一側（左側或右側）所有外力（包括支座反力）對該截麵形心之矩的代數和。
外力對截麵形心之矩的正負號：將所求截麵固定，另一端自由，外力使所考慮的梁段產生向下凸的變形時，取正號；反之取負號。可記為“下凸彎矩正”，也即當從截麵的左側計算時，左邊梁上向上的外力及順時針轉向的外力偶引起正彎矩；當從截麵的右側計算時，右邊梁上向上的外力及逆時針轉向的外力偶引起正彎矩。反之，引起負彎矩。
應當注意，以上都假設內力為正向，如果計算結果為正值，說明內力是正向的，如果計算結果是負值，說明內力是負向的。
例１０２簡支梁的受荷載情況如圖１０１０所示，求１１、２２、３３、４４截麵的·１５８·第十章梁的彎曲內力。圖１０１０解（１）求支座反力。取整體為研究對象，設支座反力ＦＡｙ、ＦＢｙ方向向上，列平衡方程。
（），由∑ＭＡＦ＝０得ＦＢｙ×８ｍ－１０ｋＮ／ｍ×４ｍ×６ｍ＋４０ｋＮ·ｍ－２０ｋＮ×２ｍ＝０解得ＦＢｙ＝３０ｋＮ（）↑（），由∑ＭＢＦ＝０得－ＦＡｙ×８ｍ＋１０ｋＮ／ｍ×４ｍ×２ｍ＋４０ｋＮ·ｍ＋２０ｋＮ×６ｍ＝０解得ＦＡｙ＝３０ｋＮ（）↑（２）求各截麵的內力１１截麵：ＦＳ１＝ＦＡｙ＝３０ｋＮＭ１＝ＦＡｙ×２ｍ＝３０ｋＮ×２ｍ＝６０ｋＮ·ｍ２２截麵：ＦＳ２＝ＦＡｙ－Ｆ＝３０ｋＮ－２０ｋＮ＝１０ｋＮＭ２＝ＦＡｙ×２ｍ＝３０ｋＮ×２ｍ＝６０ｋＮ·ｍ３３截麵：ＦＳ３＝ＦＡｙ－Ｆ＝３０ｋＮ－２０ｋＮ＝１０ｋＮＭ３＝ＦＡｙ×４ｍ－Ｆ×２ｍ＝３０ｋＮ×４ｍ－２０ｋＮ×２ｍ＝８０ｋＮ·ｍ４４截麵：ＦＳ４＝－ＦＢｙ＋ｑ×４ｍ＝－３０ｋＮ＋１０ｋＮ／ｍ×４ｍ＝１０ｋＮＭ４＝ＦＢｙ×４ｍ－ｑ×４ｍ×２ｍ＝３０ｋＮ×４ｍ－１０ｋＮ／ｍ×４ｍ×２ｍ＝４０ｋＮ·ｍ分析上例可看出，從１１截麵經過集中力Ｆ作用處過渡到２２截麵時，截麵上的剪力發生了變化（稱為突變），剪力突變的絕對值等於該集中力的大小，而彎矩無變化；從３３截麵經過集中力偶作用處過渡到４４截麵時，彎矩發生突變，彎矩突變的絕對值等於該集中力偶矩的大小，而剪力無變化。所以求集中力作用麵上的剪力時，必須要偏左或偏右計算，而求集中力偶作用麵上的彎矩時，同樣要偏左或偏右計算。而求集中力作用麵上的彎矩或者求集中力偶作用麵上的剪力時，則不需要分左右截麵。
在上麵彎矩的求解中，我們還注意到，不管是從左側，還是從右側計算，彎矩弧線的箭尾所在的一側就是梁的受拉側，若彎矩弧線的箭尾在下，梁將是下側受拉即為正彎矩；若彎矩弧線的箭尾在上，梁將是上側受拉即為負彎矩。
·１５９·建築力學１０．３剪力圖和彎矩圖通過計算梁的內力，可以看到，梁在不同位置的橫截麵上的內力值一般是不同的。即梁的內力隨梁橫截麵位置的變化而變化。進行梁的強度和剛度計算時，除要會計算指定截麵的內力外，還必須知道剪力和彎矩沿梁軸線的變化規律，並確定最大剪力和最大彎矩的（絕對）值以及它們所在的位置。下麵討論這個問題。
一、剪力方程和彎矩方程以橫坐標ｘ表示梁各橫截麵的位置，則梁橫截麵上的剪力和彎矩都可以表示為坐標ｘ的函數，即ＦＳ＝ＦＳ（ｘ）Ｍ＝Ｍ（ｘ）以上兩函數表達式，分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程，統稱為內力方程。剪力方程和彎矩方程表明了梁內剪力和彎矩沿梁軸線的變化規律。
二、剪力圖和彎矩圖為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化規律，可以根據剪力方程和彎矩方程分別畫出剪力圖和彎矩圖。它的畫法和軸力圖、扭矩圖的畫法相似，即以沿梁軸的橫坐標ｘ表示梁橫截麵的位置，以縱坐標表示相應截麵的剪力和彎矩。作圖時，一般把正的剪力畫在ｘ軸的上方，負的剪力畫在ｘ軸的下方，並注明正負號；正彎矩畫在ｘ軸下方，負彎矩畫在ｘ軸的上方，即將彎矩圖畫在梁的受拉側，而不必表明正負號。
例１０３懸臂梁ＡＢ的自由端受到集中力Ｆ的作用［圖１０１１（ａ）］，試畫出該梁的內力圖。
圖１０１１解（１）求內力方程以左端Ａ為坐標原點，以梁軸為ｘ軸。取距原點為ｘ的任一截麵，計算該截麵上的剪力和彎矩，並把它們表示為ｘ的函數，則有·１６０·第十章梁的彎曲剪力方程：ＦＳ（ｘ）＝－Ｆ（０＜ｘ＜ｌ）彎矩方程：Ｍ（ｘ）＝－Ｆｘ（０≤ｘ＜ｌ）以上兩個方程後麵給出了方程的適用範圍。剪力方程中，因為在集中力作用麵上剪力有突變，ｘ不能等於０和ｌ。彎矩方程中，在Ｂ支座處有反力偶，彎矩有突變，ｘ不能等於ｌ。
（２）畫ＦＳ圖由剪力方程可知，ＦＳ（ｘ）是一常數，不隨梁內橫截麵位置的變化而變化，所以ＦＳ圖是一條平行於ｘ軸的直線，且位於ｘ軸的下方［圖１０１１（ｂ）］。
（３）畫Ｍ圖由彎矩方程可知，Ｍ（ｘ）是ｘ的一次函數，彎矩沿梁軸按直線規律變化，彎矩圖是一條斜直線，因此，隻需確定梁內任意兩截麵的彎矩，便可畫出彎矩圖［圖１０１１（ｃ）］。
當ｘ＝０時，ＭＡ＝０Ｌｘ＝ｌ時，ＭＢ＝－Ｆｌ由ＦＳ圖和Ｍ圖可知：ＦＳｍａｘ＝Ｆ，Ｍｍａｘ＝Ｆｌ因剪力圖和彎矩圖中的坐標比較明確，習慣上可將坐標軸略去，所以，在以下各例中，坐標軸不再畫出。
例１０４簡支梁受集中力Ｆ的作用［圖１０１２（ａ）］，試畫出梁的內力圖。
圖１０１２解（１）求支座反力。以整體為研究對象，列平衡方程。
（），：由∑ＭＡＦ＝０得ＦＢ×ｌ－Ｆａ＝０Ｆａ解得ＦＢ＝↑ｌ（），：由∑Ｆｙ＝０得ＦＡ－Ｆ＋ＦＢ＝０·１６１·建築力學Ｆｂ解得ＦＡ＝↑ｌ（）（２）列內力方程。梁在Ｃ處有集中力作用，故ＡＣ段和ＣＢ段內力方程不同，要分段列出。
ＡＣ段：在ＡＣ段內取距Ａ為ｘ１的任意截麵，則ＦｂＦＳ（ｘ１）＝ＦＡ＝（０＜ｘ１＜ａ）ｌＦｂＭ（ｘ１）＝ＦＡ·ｘ１＝ｘ１（０≤ｘ１≤ａ）ｌＣＢ段：在ＣＢ段內取距Ａ為ｘ２的任意截麵，則ＦａＦＳ（ｘ２）＝－ＦＢ＝－（ａ＜ｘ２＜ｌ）ｌＦａＭ（ｘ２）＝ＦＢ（ｌ－ｘ２）＝（ｌ－ｘ２）（ａ≤ｘ２≤ｌ）ｌ（３）畫剪力圖由剪力方程知，ＡＣ段和ＣＢ段梁的剪力圖均為水平線。ＡＣ段剪力圖在ｘ軸上方，ＣＢ段剪力圖在ｘ軸下方。在集中力Ｆ作用的Ｃ截麵上，剪力圖出現向下的突變，突變值等於集中力的大小［圖１０１２（ｂ）］。
（４）畫彎矩圖由彎矩方程知，兩段梁的彎矩圖均為斜直線，每段分別確定兩個數值就可畫出彎矩圖［圖１０１２（ｃ）］。
ｘ１＝０時，ＭＡ＝０ＦｂＦａｂｘ２＝０時，ＭＣ＝ａ＝ｌｌＦｂＦａｂｘ２＝ａ時，ＭＣ＝ａ＝ｌｌｘ２＝ｌ時，ＭＢ＝０ｌ在本例中，若ａ＝ｂ＝，則在梁中有最大彎矩，其值為２ＦｌＭｍａｘ＝４觀察分析上麵例子，可以發現，梁上某段的剪力圖與彎矩圖，與該段作用的荷載之間，存在一定的關聯。在梁上集中力作用的位置，剪力圖必發生突變，從左往右突變的方向與集中力作用的方向相同，突變數值的大小等於該集中力的大小；而彎矩圖將產生尖點，尖點的方向與集中力作用的方向相同。在集中力作用的兩側，若無荷載作用，剪力圖為平行於ｘ軸的一條直線，當剪力大於０時，彎矩圖為右向下斜直線，當剪力小於０時，彎矩圖為右向上斜直線，當剪力等於０時，彎矩圖為一條平直線。
事實上，上麵剪力圖發生突變這種情況，是由於把實際上分布在一個微段上的分布力，抽象成了作用於一點的集中力所造成的。如將集中力Ｆ視為作用在微段Δｘ上的均·１６２·第十章梁的彎曲ＦｂＦａ布荷載［圖１０１２（ｄ）］，則在該微段內，剪力將由ＦＳ１＝逐漸變到ＦＳ２＝－，突變就ｌｌ不存在了。
例１０５簡支梁受均布線荷載ｑ的作用［圖１０１３（ａ）］，試畫出該梁的內力圖。
圖１０１３解（１）求支座反力。由梁和荷載的對稱性可直接得出１ＦＡｙ＝ＦＢｙ＝ｑｌ↑２（）（２）列內力方程。取梁左端Ａ為坐標原點，梁軸為ｘ軸，取距Ａ為ｘ的任意截麵，將該麵上的剪力和彎矩分別表示為ｘ的函數，則有１剪力方程：ＦＳ（ｘ）＝ｑｌ－ｑｘ（０＜ｘ＜ｌ）２１１２彎矩方程：Ｍ（ｘ）＝ｑｌｘ－ｑｘ（０≤ｘ≤ｌ）２２（３）畫剪力圖由剪力方程知，該梁的剪力圖是一條斜直線，確定兩個數值便可以畫出剪力圖［圖１０１３（ｂ）］。
１ｘ＝０，ＦＳＡＢ＝ｑｌ２１ｘ＝ｌ，ＦＳＢＡ＝－ｑｌ２（４）畫彎矩圖由彎矩方程知，梁的彎矩圖是一條二次拋物線，至少要算出三個點的彎矩值才能大致畫出圖形。計算各點彎矩，如表１０１所示。梁的彎矩圖如圖１０１３（ｃ）所示。
表１０１彎矩計算表１１３ｘ０ｌｌｌｌ４２４３１３Ｍ（ｘ）０ｑｌ２ｑｌ２ｑｌ２０３２８３２為了求得彎矩圖中的彎矩最大值，可將上麵的彎矩方程對ｘ一次求導，並令其等於０，則有：·１６３·建築力學１１ｑｌ２Ｍ′（ｘ）＝ｑｌ－ｑｘ＝ＦＳ（ｘ）＝０ｘ＝ｌＭｍａｘ＝２２８所以，在均布荷載作用的梁上，在剪力等於０的截麵，彎矩有極值。
觀察分析本例，可以發現，在梁上均布荷載作用的區段內，剪力圖為一條斜直線，彎矩圖為一條拋物線。荷載向下，剪力圖往右下斜；彎矩圖向下凸。如果在該區段內有剪力等於０的截麵，則在剪力為０處，彎矩圖有極大值。
例１０６簡支梁ＡＢ，在Ｃ截麵處作用有力偶Ｍ［圖１０１４（ａ）］。試畫出梁的內力圖。
解（１）求支座反力。由梁的整體平衡條件求出ＭＭＦＡｙ＝－↓；ＦＢｙ＝↑ｌ（）ｌ（）（２）分段列內力方程ＡＣ段：在ＡＣ段內取距Ａ為ｘ１的任意截麵，則有ＭＦＳ（ｘ１）＝－（０＜ｘ１≤ａ）ｌＭＭ（ｘ１）＝－ｘ１（０≤ｘ１＜ａ）ｌＣＢ段：在ＣＢ段內取距Ａ為ｘ２的任意截麵，則有ＭＦＳ（ｘ２）＝－（ａ≤ｘ２＜ｌ）ｌＭＭ（ｘ２）＝（ｌ－ｘ２）（ａ＜ｘ２≤ｌ）ｌ（３）畫剪力圖由剪力方程知，ＡＣ段和ＣＢ段的剪力圖是同一條平行於ｘ軸的直線，且在ｘ軸的下方［圖１０１４（ｂ）］。
（４）畫彎矩圖圖１０１４由彎矩方程知，ＡＣ段和ＣＢ段的彎矩圖都是一條斜直線，要分段取點作圖［圖１０１４（ｃ）］。
ｘ１＝０時，ＭＡ＝０·１６４·第十章梁的彎曲Ｍｘ１＝ａ時，ＭＣＡ＝－ａｌＭＭｘ２＝ａ時，ＭＣＢ＝（ｌ－ａ）＝ｂｌｌｘ２＝ｌ時，ＭＢ＝０觀察分析本例，可以發現，在梁上集中力偶作用處，彎矩圖有突變，突變的數值等於該集中力偶矩，當集中力偶的力偶矩為順時針方向時，彎矩圖從左向右表現出向下突變；而剪力圖無變化。
１０．４簡捷法繪製梁的剪力圖與彎矩圖一、荷載集度與彎矩、剪力間的微分關係前麵簡單歸納了剪力圖、彎矩圖的一些規律，說明作用在梁上的荷載與剪力、彎矩間存在著一定的關係。下麵繼續進行分析。
圖１０１５如圖１０１５（ａ）所示，梁上作用有任意分布荷載ｑ（ｘ），ｑ（ｘ）規定以向下為正。取Ａ為坐標原點，ｘ軸以向右為正向，ｙ軸以向上為正向。
取分布荷載作用下一微段ｄｘ來分析［圖１０１５（ｂ）］，圖中微段ｄｘ左右截麵上的內力應分別為ＦＳ（ｘ），Ｍ（ｘ），ＦＳ（ｘ）＋ｄＦＳ（ｘ），Ｍ（ｘ）＋ｄＭ（ｘ）。
由靜力平衡方程，（）（）·（）（）∑Ｆｙ＝０得ＦＳｘ－ｑｘｄｘ－［］ＦＳｘ＋ｄＦＳｘ＝０ｄｘＭＯ（Ｆ）＝０，得－Ｍ（ｘ）－ＦＳ（ｘ）·ｄｘ＋ｑ（ｘ）·ｄｘ·＋Ｍ（ｘ）＋ｄＭ（ｘ）＝０∑２［］ｄｘ經整理，並略去二階微量ｑ（ｘ）·ｄｘ·，得２ｄＦＳ（ｘ）＝－ｑ（ｘ）（１０１）ｄｘｄＭ（ｘ）＝ＦＳ（ｘ）（１０２）ｄｘ·１６５·建築力學將式（１０２）兩邊求導得ｄ２Ｍ（ｘ）＝－ｑ（ｘ）（１０３）ｄｘ２由式（１０１）知，梁上任一截麵上的剪力對ｘ的一階導數等於作用在該截麵處的荷載分布集度，但符號相反。這一微分關係的幾何意義是，剪力圖上某點切線的斜率等於相應截麵處的荷載分布集度的相反數。
由式（１０２）知，梁上任一截麵上的彎矩對ｘ的一階導數等於該截麵上的剪力。這一微分關係的幾何意義是，彎矩圖上某點切線的斜率等於相應截麵上的剪力。
由式（１０３）知，梁上任一截麵上的彎矩對ｘ的二階導數等於該截麵處的荷載分布集度，但符號相反。這一微分關係的幾何意義是，彎矩圖上某點的曲率等於相應截麵處的荷載分布集度的相反數。
二、根據荷載分布集度、剪力、彎矩的微分關係，分析剪力圖和彎矩圖的規律１．在無荷載作用區段ｄＦＳ（ｘ）由於ｑ（ｘ）＝０，＝－ｑ（ｘ）＝０，ＦＳ（ｘ）是常數，所以剪力圖是一條平行於ｘ軸ｄｘｄＭ（ｘ）的直線。＝ＦＳ（ｘ）＝常數，所以Ｍ（ｘ）是ｘ的一次函數，彎矩圖是一條斜直線。當ｄｘＦＳ（ｘ）＝常數＞０時，彎矩Ｍ（ｘ）是增函數，彎矩圖往右下斜；當ＦＳ（ｘ）＝常數＜０時，彎矩Ｍ（ｘ）是減函數，彎矩圖往右上斜。特殊情況下，當ＦＳ（ｘ）＝常數＝０時，Ｍ（ｘ）＝常數，彎矩圖是一條水平直線。
２．在均布荷載區段ｄＦＳ（ｘ）由於ｑ（ｘ）＝常數，＝常數，ＦＳ（ｘ）是ｘ的一次函數，剪力圖是一條斜直線，而ｄｘｄＭ（ｘ）ｄ２Ｍ（ｘ）＝ＦＳ（ｘ），＝－ｑ（ｘ），Ｍ（ｘ）是ｘ的二次函數，彎矩圖是一條拋物線。當ｑ（ｘ）ｄｘｄｘ２ｄＦＳ（ｘ）向下時，ｑ（ｘ）＝常數＞０，＝－ｑ（ｘ）＜０，ＦＳ（ｘ）是減函數，剪力圖往右下斜，ｄｘｄ２Ｍ（ｘ）＝－ｑ（ｘ）＝常數＜０，彎矩圖為下凸曲線；反過來，當ｑ（ｘ）向上時，即ｑ（ｘ）＝常數ｄｘ２ｄＦＳ（ｘ）＜０，＝－ｑ（ｘ）＞０，ＦＳ（ｘ）是增函數，剪力圖往右上斜，彎矩圖為上凸曲線。
ｄｘｄＭ（ｘ）當ＦＳ（ｘ）＝０時，由於＝ＦＳ（ｘ）＝０，彎矩圖在該點處的斜率為零，所以彎矩有ｄｘ極值。
為方便應用，將荷載、剪力、彎矩之間的關係列於表１０２中。
三、剪力圖和彎矩圖規律的應用利用剪力圖和彎矩圖的規律可簡單而方便的畫出梁的內力圖，其步驟和方法如下：（１）根據梁所受外荷載情況將梁分為若幹段，並判斷每段的剪力圖和彎矩圖的形狀，應·１６６·第十章梁的彎曲注意各段梁隻能有一項荷載。
（２）計算每一段梁兩端的剪力值和彎矩值（有些可直接根據規律判斷出來的不必計算），逐段畫出剪力圖和彎矩圖。
畫內力圖時，一般是從左往右畫。
表１０２荷載、剪力、彎矩之間的關係梁上荷載情況剪力圖彎矩圖無荷載區域ｑ（ｘ）＝０ｑ（ｘ）＝常數在ＦＳ＝０的截麵上Ｍ有極值集中力突變尖點集中力偶作用處集中力偶剪力圖無變化例１０７畫出如圖１０１６（ａ）所示簡支梁的內力圖。
解（１）求支座反力ＦＡｙ＝５ｋＮ（）↑，ＦＢｙ＝１５ｋＮ（）↑（２）畫剪力圖。將梁按荷載分布情況分為ＡＣ、ＣＤ、ＤＢ段，分別畫每一段的剪力圖。
ＡＣ段、ＣＤ段、ＤＢ段都是無荷載區段，剪力圖都為平直線。在ＡＣ段內ＦＳＡＣ＝ＦＡｙ＝５ｋＮ，所以ＡＣ段的剪力圖是在ｘ軸上方的一條平行直線，經過集中力作用處Ｃ時，按集中力的方向向下突變２０ｋＮ過渡到Ｃ偏右截麵，且ＦＳＣＤ＝ＦＡｙ－２０＝５－２０＝－１５ｋＮ，ＣＤ段剪力圖是在ｘ軸下方的一條平行直線，經過集中力偶作用處Ｄ無變化，到Ｂ截麵時按ＦＢｙ的方向向上突變１５ｋＮ［圖１０１６（ｂ）］。
（３）畫彎矩圖。ＡＣ段剪力圖是在ｘ軸上方的一條平行線，所以彎矩圖是一條往右下斜·１６７·建築力學圖１０１６的直線，確定兩點的彎矩值ＭＡ＝０，ＭＣ＝１０ｋＮ·ｍ，得ＡＣ段的彎矩圖線。在Ｃ截麵處有集中力作用，彎矩圖產生轉折，到ＣＤ段，因剪力圖是在ｘ軸下方的一條平行直線，所以彎矩圖是一條上斜直線，確定ＭＤＣ＝－２０ｋＮ·ｍ，畫出ＣＤ段的彎矩圖。經過Ｄ截麵處下突５０ｋＮ·ｍ，則ＭＤＢ＝３０ｋＮ·ｍ，又ＭＢ＝０，連接ＭＤＢ、ＭＢ，畫出ＤＢ段的彎矩圖［圖１０１６（ｃ）］。
例１０８繪製圖１０１７（ａ）所示外伸梁的內力圖。
解（１）求支座反力ＦＡｙ＝４．７５ｋＮ（）↑，ＦＢｙ＝１１．２５ｋＮ（）↑（２）畫剪力圖ＡＣ段為向下的均布線荷載，所以剪力圖是一條往右下斜的直線，算出該段兩端剪力值ＦＳＡＣ＝ＦＡｙ＝４．７５ｋＮ，ＦＣＡ＝－３．２５ｋＮ，可畫得剪力圖。ＣＤ段剪力圖是在ｘ軸下方的一條平行線，經過集中力偶作用處Ｄ時，剪力圖無變化，到Ｂ截麵處按ＦＢｙ的方向向上突變１１．２５ｋＮ過渡到Ｂ偏右截麵，且ＦＳＢＥ＝８ｋＮ。ＢＥ段的剪力圖是在ｘ軸上方的平行線，在Ｅ處按集中力的方向向下突變８ｋＮ［圖１０１７（ｂ）］。
圖１０１７·１６８·第十章梁的彎曲（３）畫彎矩圖ＡＣ段作用有向下的均布線荷載，所以彎矩圖為向下凸拋物線。從剪力圖可看出該段彎矩圖有極值，求出該段兩端的彎矩值及極值即可畫出彎矩圖。ＭＡＣ＝０，ＭＣＡ＝４．７５×４－４．７５２×４×２＝３ｋＮ·ｍ，根據剪力圖，在ｘ＝＝２．３７５ｍ處，ＦＳ＝０，此時有ＭＡＣｍａｘ＝２４．７５×２．３７５－２×２．３７５×２．３７５÷２＝５．６４ｋＮ·ｍ；ＣＤ段的剪力圖是在ｘ軸下方的平行線，所以彎矩圖是一條往右上斜直線，求出Ｄ偏左截麵的彎矩值ＭＤＣ＝－３．５ｋＮ·ｍ，可得ＣＤ段的彎矩圖線。經過Ｄ截麵時，因有力偶矩為逆時針方向的集中力偶作用，彎矩圖往右向上突變６ｋＮ·ｍ過渡到Ｄ偏右截麵，所以ＭＤＢ＝－９．５ｋＮ·ｍ，又ＭＢ＝－１６ｋＮ·ｍ，ＭＥ＝０，所以ＤＢ段的彎矩圖是上斜直線，ＢＥ段是下斜直線［圖１０１７（ｃ）］。
１０．５疊加法與區段疊加法一、疊加原理及疊加法畫彎矩圖在線彈性或小變形情況下，梁在多種荷載共同作用下，所引起的某一參數（如反力、內力、應力或變形），等於每種荷載單獨作用時所引起的該參數值的代數和，這種關係稱為疊加原理。利用疊加原理畫內力圖的方法稱為疊加法。
在常見荷載作用下，梁的剪力圖比較簡單，一般不用疊加法繪製。下麵隻討論用疊加法畫彎矩圖。
用疊加法畫彎矩圖的步驟和方法如下：（１）把作用在梁上的複雜荷載分成幾種簡單的荷載，分別畫出梁在各種簡單荷載單獨作用下的彎矩圖。
（２）將各簡單荷載作用下的彎矩圖相疊加（即在對應點處的彎矩縱坐標代數相加），就得到梁在複雜荷載作用下的彎矩圖。
（３）疊加時先畫直線或折線的彎矩圖線，後畫曲線，習慣上第一條圖線用虛線畫出，在此基礎上疊加第二條彎矩圖線，最後一條彎矩圖線用實線畫出。
例１０９用疊加法畫圖１０１８（ａ）所示懸臂梁的內力圖。
圖１０１８解（１）將梁上的複雜荷載分解為兩種簡單荷載，即均布線荷載ｑ和集中力偶Ｍ［圖·１６９·建築力學１０１８（ａ）］，並分別畫出梁在ｑ和Ｍ單獨作用下的彎矩圖［圖１０１８（ｂ）］。
（２）將兩個彎矩圖相應的縱坐標疊加起來［圖１０１８（ｂ）］，即得懸臂梁在複雜荷載作用下的彎矩圖。
例１０１０用疊加法畫圖１０１９（ａ）所示簡支梁的內力圖。
圖１０１９解（１）將梁上的複雜荷載分解為均布線荷載ｑ和集中力Ｆ［圖１０１９（ａ）］，並分別畫出梁在ｑ和Ｆ單獨作用下的彎矩圖。
（２）將兩個彎矩圖相應的縱坐標疊加起來，即得梁在兩種簡單荷載共同作用下的彎矩圖［圖１０１９（ｂ）］。
二、區段疊加法畫彎矩圖如果將梁進行分段，然後在每一個區段上利用疊加原理畫出彎矩圖，這種方法稱為區段疊加法。如圖１０２０（ａ）所示的簡支梁ＣＤ，受Ｆ、ｑ作用，在梁內取一段ＡＢ，如果已求出Ａ截麵和Ｂ截麵上的彎矩ＭＡＢ、ＭＢＡ，則可根據該段的平衡條件求出Ａ、Ｂ截麵上的剪力ＦＳＡ、ＦＳＢ［圖１０２０（ｂ）］。將此段梁的受力圖與圖１０２０（ｃ）所示的簡支梁ＡＢ相比較，可以發現，左邊簡支梁ＣＤ上ＡＢ段梁的受力情況與右邊簡支梁ＡＢ的受力情況完全相同，所以左邊簡支梁ＣＤ上ＡＢ段梁的內力圖，與右邊簡支梁ＡＢ的內力圖也當然相同，因此畫梁內某段彎矩圖的問題就歸結成了畫相應簡支梁彎矩圖的問題，可利用疊加法畫出。
圖１０２０·１７０·第十章梁的彎曲例１０１１用區段疊加法畫圖１０２１（ａ）所示簡支梁的彎矩圖。
解（１）求支座反力ＦＡｙ＝１７ｋＮ（）↑，ＦＢｙ＝７ｋＮ（）↑圖１０２１（２）選定外力變化處（如集中力、集中力偶的作用點、均布荷載的起止點）作為控製點，控製點所在截麵稱為控製截麵，控製截麵的內力（彎矩）稱為控製內力（彎矩）。計算各控製截麵的彎矩值如下：ＭＡ＝０ＭＣ＝１７×１ｋＮ·ｍ＝１７ｋＮ·ｍＭＤ＝（１７×２－８×１）ｋＮ·ｍ＝２６ｋＮ·ｍＭＥ＝（７×２＋１６）ｋＮ·ｍ＝３０ｋＮ·ｍＭＦＥ＝（７×１＋１６）ｋＮ·ｍ＝２３ｋＮ·ｍＭＦＢ＝（７×１）ｋＮ·ｍ＝７ｋＮ·ｍ在上麵求ＭＤ時，可用如圖１０２１（ｂ）所示的計算圖，在Ｄ左側有支座Ａ的反力ＦＡｙ＝１７ｋＮ，以及向下的力８ｋＮ，它們對Ｄ點的矩都畫在左側，其中弧線箭尾在下的，使梁下側受拉。代數和等於２６ｋＮ·ｍ，梁下側受拉；同理求ＭＥ時，可用如圖１０２１（ｃ）所示的計算圖，代數和等於３０ｋＮ·ｍ，下側受拉。
設ＤＥ段內距Ｄ點ｘ處彎矩有極值，該點所在截麵的剪力等於零，則（１７－８）ｋＮ－４ｋＮ／ｍ×ｘ＝０ｘ＝２．２５ｍ·１７１·建築力學１２所以極值點Ｍｍａｘ＝１７×（２＋２．２５）－８×（１＋２．２５）－×４×２．２５ｋＮ·ｍ［］２＝３６．１２５ｋＮ·ｍ（３）繪彎矩圖在坐標係中依次定出以上各控製點，因ＡＣ、ＣＤ、ＥＦ、ＦＢ各段無荷載作用，用直線連接各段兩端點即得彎矩圖。ＤＥ段有均布荷載作用，先用虛線連接兩端點，再疊加上相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖，就可以繪出該段的彎矩圖。有極值時標出極值［圖１０２１（ｂ）］。
例１０１２用區段疊加法畫圖１０２２（ａ）所示的內力圖。
圖１０２２解（１）求支座反力ＦＡｙ＝１．７２ｋＮ（）↑ＦＢｙ＝２．４８ｋＮ（）↑（２）畫剪力圖ＡＣ段有均布線荷載，所以剪力圖是一條往右下斜直線，算出ＡＣ段兩端截麵的剪力ＦＳＡＣ＝ＦＡｙ＝１．７２ｋＮ，ＦＳＣＡ＝１．７２－０．４×８＝－１．４８ｋＮ，連接兩點即得ＡＣ段的剪力圖。
ＣＢ段是無荷區段，剪力圖是一條平行線。經過Ｂ截麵時，由於有集中反力ＦＢｙ作用，剪力圖按ＦＢｙ的方向向上凸２．４８ｋＮ過渡到Ｂ偏右截麵，且ＦＳＢＤ＝１ｋＮ，ＢＤ段的剪力圖也是一條平行線，到Ｄ處按集中力的方向向下突變１ｋＮ［圖１０２２（ｂ）］。
（３）用區段疊加法畫彎矩圖算出Ａ、Ｃ、Ｂ、Ｄ四個控製截麵的彎矩，標在坐標係中。由於ＣＢ、ＢＤ段是無荷區段，所以直接用直線連接ＣＢ、ＢＤ即得此兩段的彎矩圖。ＡＣ段有均布荷載作用，所以先用虛線連接ＡＣ，再在此基礎上疊加相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖就可得該段的彎矩圖［圖１０２２（ｃ）］。
１０．６梁橫截麵上的正應力與梁的正應力強度梁在彎曲時橫截麵上一般同時有剪力ＦＳ和彎矩Ｍ兩種內力。剪力引起剪應力，彎矩引起彎曲正應力。下麵先研究梁在彎矩作用下引起的彎曲正應力及正應力強度。
·１７２·第十章梁的彎曲一、梁在純彎曲時橫截麵上的正應力圖１０２３（ａ）所示簡支梁的ＣＤ段，其橫截麵上隻有彎矩而無剪力［圖１０２３（ｂ）、（ｃ）］，這樣的彎曲稱為純彎曲。ＡＣ、ＤＢ段橫截麵上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。
為了使問題簡化，和研究圓軸扭轉變形一樣，我們在分析梁純彎曲橫截麵上的正應力時，從變形的幾何關係、物理關係、靜力平衡關係三方麵來分析。
圖１０２３１．變形的幾何關係取具有豎向對稱軸的等直截麵梁（以矩形截麵梁為例），在梁受彎曲前先在梁的表麵畫上許多與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線［圖１０２４（ａ）］，然後在梁的兩端施加力偶Ｍ，使梁產生純彎曲［圖１０２４（ｂ）］，此時可以看到如下現象：（１）所有的縱向直線受彎變形後，都被彎成向下凸的曲線，其中靠近凹麵的縱向直線縮短了，而靠近凸麵的縱向直線伸長了。
圖１０２４（２）所有的橫向直線受彎變形後仍保持為直線，可是相對轉過了一個角度，其中左邊一側的橫向直線順時針轉，而右邊一側的橫向直線逆時針轉，但各橫向線仍與彎成曲線的縱向線垂直。
根據所看到的表麵現象，由表及裏地推測梁的內部變形，作出兩個假設。
平麵假設：梁的橫截麵在彎曲變形前為平麵，在受彎變形後仍保持為平麵，且垂直於彎成曲線的軸線。
單向受力假設：將梁看成由無數根縱向纖維組成，各纖維隻受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓現象。
根據以上假設，靠近凹麵的縱向纖維縮短了，靠近凸麵的縱向纖維伸長了。由於變形具·１７３·建築力學有連續性，因此，縱向纖維從縮短到伸長，之間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層。中性層與橫截麵的交線稱為中性軸［圖１０２４（ｃ）］。中性軸將橫截麵分為受拉區域和受壓區域。
從純彎曲梁中取出一微段ｄｘ，如圖１０２５（ａ）所示。圖１０２５（ｂ）為梁的橫截麵，設ｙ軸為縱向對稱軸，ｚ軸為中性軸。圖１０２５（ｃ）為該微段純彎曲變形後的情況。其中Ｏ１Ｏ２為中性層，Ｏ為兩橫截麵ｍ１ｍ２和ｎ１ｎ２旋轉後的交點，ρ為中性層的曲率半徑，兩個截麵間變形後的夾角是ｄθ，現求距中性層為ｙ的任意一層纖維ａｂ的線應變。
纖維ａｂ的原長ａｂ＝ｄｘ＝Ｏ１Ｏ２＝ρ·ｄθ，變形後的ａ１ｂ１＝（ρ＋ｙ）·ｄθ，所以ａｂ纖維的線應變為（＋ｙ）·ｄθ－·ｄθｙε＝ρρ＝（１０４）ρ·ｄθρ對長度、材料與截麵都確定的梁來說，ρ是常數。所以上式表明：梁橫截麵上任一點處的縱向線應變與該點到中性軸的距離成正比。
２．物理關係根據縱向纖維的單向受力假設，當材料在線彈性範圍內變形時，根據胡克定律可得ｙσ＝Ｅε＝Ｅ（１０５）ρ圖１０２５由於對長度、材料與截麵都確定的梁，Ｅ和ρ是常數，因此上式表明：橫截麵上任意一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應力沿梁高度按線性規律分布（圖１０２６）。
圖１０２６·１７４·第十章梁的彎曲３．靜力平衡關係式（１０５）隻給出了正應力的分布規律，但因中性軸的位置尚未確定，曲率半徑ρ的大小也不知道，故不能利用此式求出正應力。需利用靜力平衡關係進一步導出正應力的計算式。
在橫截麵上Ｋ點處取一微麵積ｄＡ，Ｋ點到中性軸的距離為ｙ，Ｋ點處的正應力為σ，則各微麵積上的法向分布內力σｄＡ組成一空間平行力係［圖１０２６（ｃ）］。因為在橫截麵上無軸力，隻有彎矩，由此得Ｆｘ＝０σｄＡ＝０（１０６）∑∫ＡＭｚ（Ｆ）＝０σｙｄＡ＝Ｍ（１０７）∑∫Ａ將式（１０５）代入式（１０６）得ｙＥＥｄＡ＝ｙｄＡ＝０∫Ａρρ∫Ａ即ｙｄＡ＝０∫Ａ上式表明截麵對中性軸的靜矩等於零。由此可知，中性軸ｚ必然通過橫截麵的形心。
將式（１０５）代入式（１０７）得ｙＥ２ＥＥｙｄＡ＝ｙｄＡ＝Ｉｚ＝Ｍ∫Ａρρ∫Ａρ２式中Ｉｚ＝ｙｄＡ是橫截麵對中性軸的慣性矩。於是得梁彎曲時中性層的曲率表達式為∫Ａ１Ｍ＝（１０８）ρＥＩｚ１式（１０８）是研究梁彎曲變形的基本公式。表示梁的彎曲程度。ＥＩｚ表示梁抵抗彎ρ曲變形的能力，稱為梁的抗彎剛度。將此式代入式（１０５）得Ｍσ＝ｙ（１０９）Ｉｚ式（１０９）即為梁純彎曲時橫截麵上正應力的計算公式。它表明：梁橫截麵上任意一點的正應力σ與截麵上的彎矩Ｍ和該點到中性軸的距離ｙ成正比，而與截麵對中性軸的慣性矩Ｉｚ成反比。
在計算時，彎矩Ｍ和需求點到中性軸的距離ｙ按正值代入公式。而正應力的性質（正負）可根據彎矩及所求點的位置來判斷。
正應力公式的適用條件如下：（１）梁橫截麵上的最大正應力不超過材料的比例極限。
（２）式（１０９）雖然是根據梁的純彎曲推導出來的，對於同時受剪力和彎矩作用的梁，ｌ當梁的跨度ｌ與橫截麵高度ｈ之比＞５時，剪應力的存在對正應力的影響很小，可忽略不ｈ·１７５·建築力學計，所以此式也可用於計算同時受剪力和彎矩作用的梁橫截麵上的正應力。
二、梁彎曲時的最大正應力對於等直梁而言，截麵對中性軸的慣性矩Ｉｚ不變，所以彎矩Ｍ越大正應力就越大，ｙ越大正應力也越大。如果截麵的中性軸同時又是對稱軸（例如矩形、工字形等），則最大正應力發生在絕對值最大的彎矩所在的截麵，且離中性軸最遠的點上，當梁受橫力彎曲時，上麵公式仍然適用，所以ＭｍａｘｙｍａｘＭｍａｘσｍａｘ＝＝（１０１０）ＩｚＷｚ式中：Ｗｚ＝Ｉｚ／ｙｍａｘ稱為抗彎截麵係數。如果截麵的中性軸不是截麵的對稱軸（例如Ｔ形截麵），則最大正應力可能發生在最大正彎矩或最大負彎矩所在的截麵。
例１０１３如圖１０２７所示，矩形截麵簡支梁受均布荷載ｑ作用。已知ｑ＝４ｋＮ／ｍ，梁的跨度Ｌ＝３ｍ，高ｈ＝１８０ｍｍ，寬ｂ＝１２０ｍｍ。試求：（１）Ｃ截麵上ａ、ｂ、ｃ三點處的應力。
（２）梁內最大正應力及其所在位置。
圖１０２７解（１）求支座反力１ＦＡｙ＝ＦＢｙ＝ｑＬ＝６ｋＮ↑２（）（２）計算Ｃ截麵各點的正應力１Ｃ截麵的彎矩ＭＣ＝６×１－４×１×＝４ｋＮ·ｍ２３ｂｈ１３６４截麵對中性軸的慣性矩Ｉｚ＝＝×１２０×１８０＝５８．３×１０ｍｍ１２１２２Ｉｚｂｈ４３抗彎截麵係數Ｗｚ＝＝＝６４．８×１０ｍｍｙｍａｘ６Ｃ截麵ａ、ｂ、ｃ各點的正應力·１７６·第十章梁的彎曲４×１０６×９０σａ＝－６＝－６．１７ＭＰａ（）壓５８．３×１０σｂ＝０４×１０６×５０σｃ＝６＝３．４３ＭＰａ（）拉５８．３×１０（３）計算梁內最大正應力１２１２梁的彎矩圖如圖１０２７（ｂ）所示，Ｍｍａｘ＝ｑＬ＝×４×３ｋＮ·ｍ＝４．５ｋＮ·ｍ。
８（）８由此可見，梁內最大正應力發生在跨中截麵的上下邊緣處，其中最大拉應力發生在跨中截麵的下邊緣處，最大壓應力發生在跨中截麵的上邊緣處，其值為６Ｍｍａｘ４．５×１０σｍａｘ＝＝４＝６．９４ＭＰａＷｚ６４．８×１０三、梁的正應力強度為了保證梁能安全正常的工作，必須使梁內的最大正應力不能超過材料的許用應力［］σ，這就是梁的正應力強度條件。
對於抗拉和抗壓能力相同的塑性材料，其正應力的強度條件為Ｍｍａｘσｍａｘ＝≤［］σ（１０１１）Ｗｚ而對於抗拉和抗壓能力不同的脆性材料，其正應力的強度條件分別為σｌｍａｘ≤［］σｔ（１０１２ａ）σｙｍａｘ≤［］σｃ（１０１２ｂ）利用正應力的強度條件可以解決與強度有關的三類問題：強度校核、設計截麵尺寸和確定許可載荷。
例１０１４外伸梁的受力情況及其截麵尺寸如圖１０２８（ａ）所示，材料的許用拉應力［］σｔ＝３０ＭＰａ，許用壓應力［］σｃ＝７０ＭＰａ。試校核梁的正應力強度。
圖１０２８·１７７·建築力學解（１）求支座反力ＦＡｙ＝１０ｋＮ（）↑ＦＢｙ＝２０ｋＮ（）↑（２）計算截麵幾何性質如圖１０２８（ｂ）所示，截麵形心Ｃ的位置為２００×３０×１８５＋１７０×３０×８５ｙｃ＝＝１３９ｍｍ２００×３０＋１７０×３０截麵對中性軸ｚ的慣性矩為３３２００×３０２３０×１７０２６４Ｉｚ＝＋２００×３０×４６＋＋１７０×３０×５４＝４０．３×１０ｍｍ１２１２（３）畫彎矩圖，計算梁內最大拉、壓應力梁的彎矩圖如圖１０２８（ｃ）所示，由於中性軸ｚ不是截麵的對稱軸，所以最大正彎矩所在的截麵Ｃ和最大負彎矩所在的截麵Ｂ都可能存在最大拉、壓應力。
１０×１０６×１３９計算Ｃ截麵：σｔｍａｘ＝＝３４．４９ＭＰａ４０．３×１０６１０×１０６×６１σｃｍａｘ＝－＝－１５．１４ＭＰａ４０．３×１０６２０×１０６×６１Ｂ截麵：σｔｍａｘ＝＝３０．２７ＭＰａ４０．３×１０６２０×１０６×１３９σｃｍａｘ＝－＝－６８．９８ＭＰａ４０．３×１０６可見梁內最大拉應力發生在Ｃ截麵的下邊緣，其值為σｔｍａｘ＝３４．４９ＭＰａ，最大壓應力發生在Ｂ截麵的下邊緣，其值為σｃｍａｘ＝６８．９８ＭＰａ。
（４）校核強度。因為σｔｍａｘ＝３４．４９ＭＰａ＞［］σｔ，所以Ｃ截麵的抗拉強度不夠，梁將會沿Ｃ截麵（下邊緣開始）發生破壞。
例１０１５圖１０２９（ａ）所示工字形截麵外伸梁，已知材料的許用應力［］σ＝１４０ＭＰａ，試選擇工字型號。
圖１０２９解畫彎矩圖，根據彎矩圖可知梁的最大彎矩Ｍｍａｘ＝１０ｋＮ·ｍ。根據強度條件計算梁·１７８·第十章梁的彎曲的抗彎截麵係數６Ｍｍａｘ１０×１０３３３Ｗｚ≥＝＝７１．４３×１０ｍｍ＝７１．４３ｃｍ［］σ１４０３３根據Ｗｚ值在型鋼表中查得型號為１２．６工字鋼，其Ｗｚ＝７７．５ｃｍ，與７１．４３ｃｍ相近，故選擇型鋼的型號為１２．６工字鋼。
１０．７梁的合理截麵形狀一般情況下，梁受彎曲時，其強度主要取決於梁的正應力強度，即Ｍｍａｘσｍａｘ＝≤［］σＷｚ由強度條件可知，當梁的最大彎矩和材料確定後，梁的強度隻與抗彎截麵係數Ｗｚ有關。抗彎截麵係數越大，最大正應力就越小，梁的強度就越高。加大截麵尺寸可以增大抗彎截麵係數，但這會增加工程造價。所以應該在材料用量（截麵Ａ）一定的情況下，使抗彎截麵係數Ｗｚ盡可能增大，這就要選擇合理的截麵形狀。
一、根據抗彎截麵係數與截麵麵積的比值選擇截麵合理的截麵形狀應該是在截麵麵積相同的情況下具有較大的抗彎截麵係數。例如在麵積相同的情況下，工字型截麵比矩形截麵合理；矩形截麵豎放要比橫放合理；圓環形截麵要比圓形截麵合理。
梁彎曲時的正應力沿橫截麵高度呈線性分布，最大值分布在離中性軸最遠的邊緣各點，由於靠近梁截麵中性軸附近的正應力很小，這部分材料沒有得到充分的利用。為了合理利用材料，應將大部分材料布置在距中性軸較遠處，以提高梁的抗彎能力和材料的利用率，這樣的截麵是合理的。所以，在工程上常采用工字形、圓環形、箱形等截麵形狀（圖１０３０）。建築中常用的空心板也是根據這個道理製作的（圖１０３１）。
圖１０３０圖１０３１二、根據材料的特性選擇截麵對於抗拉和抗壓強度相同的材料，一般采用對稱於中性軸的橫截麵（如矩形、工字形、圓形等截麵），使上、下邊緣的最大拉應力和最大壓應力相等，同時達到材料的許用應力值比較合理。
·１７９·建築力學圖１０３２對於抗拉和抗壓強度不相等的材料，最好選擇不對稱於中性軸的橫截麵（如Ｔ形、平放置的槽形等截麵），使得截麵受拉、受壓的邊緣到中性軸的距離與材料的抗拉、抗壓的許用應力成正比，使截麵上的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力（圖１０３２）。即ｙ１σｙ＝［］ｙ２［］σｌ三、采用變截麵梁等截麵梁的強度計算，都是根據危險截麵上的最大彎矩值來確定截麵尺寸的，但是梁內其他截麵的彎矩值都小於最大彎矩值，這些截麵處的材料都未能得到充分利用。為了充分利用材料，應當在彎矩較大處采用較大的橫截麵，而在彎矩較小處采用較小的橫截麵。這種根據彎矩大小使截麵發生變化的梁稱為變截麵梁。若使每一橫截麵上的最大正應力都恰好等於材料的許用應力，這樣的梁稱為等強度梁。
顯然，等強度梁是最合理的構造形式。但是，由於等強度梁外形複雜，加工製造較困難，所以工程上一般隻采用近似等強度梁的變截麵梁。如階梯梁既符合結構上的要求，在強度上也是合理的。房屋建築中陽台及雨篷的挑梁就是一種變截麵梁。
１０．８梁的剪應力與剪應力強度前麵分析了梁彎曲時橫截麵上的正應力及其強度，本節將簡單介紹梁彎曲時橫截麵上的剪應力及其強度計算。
一、矩形截麵梁的剪應力當矩形截麵的高度ｈ大於寬度ｂ時，截麵上的剪應力情況如下：（１）剪應力的方向與剪力的方向一致。
（２）剪應力的分布規律：剪應力沿截麵寬度均勻分布，沿截麵高度按拋物線規律分布［圖１０３３（ａ）］。
（３）剪應力的計算公式ＦＳＳｚτ＝（１０１３）Ｉｚｂ式中：τ———橫截麵上任一點處的剪應力（Ｎ／ｍ２）；·１８０·第十章梁的彎曲ＦＳ———橫截麵上的剪力（Ｎ）；４Ｉｚ———橫截麵對中性軸的慣性矩（ｍ）；ｂ———所求點處橫截麵的寬度（ｍ）；３Ｓｚ———所求點處水平線以下（或以上）部分麵積對中性軸的靜矩（ｍ）。
（４）最大剪應力。矩形截麵的最大剪應力發生在中性軸各點上，是截麵平均剪應力的１．５倍。其計算公式為ＦＳＳｚｍａｘＦＳτｍａｘ＝＝１．５（１０１４）ＩｚｂＡ３式中：Ｓｚｍａｘ———中性軸以上（或以下）部分麵積對中性軸的靜矩（ｍ）；Ａ———矩形截麵麵積（ｍ２）。
圖１０３３二、其他形狀截麵梁的剪應力１．工字形截麵梁的剪應力工字形截麵由腹板和翼緣兩部分組成［圖１０３３（ｂ）］，翼緣上的剪應力情況較複雜，其數值較小，一般可不必計算。而腹板上的剪應力其方向和分布規律與矩形截麵相同，即沿腹板寬度均勻分布，沿腹板高度按拋物線規律分布。最大剪應力出現在中性軸各點，在翼緣和腹板的交界處也存有較大的剪應力。其計算公式為ＦＳＳｚτ＝（１０１５）Ｉｚｄ４式中：Ｉｚ———整個工字形截麵對中性軸的慣性矩（ｍ）；３Ｓｚ———所求點處水平線以下（或以上）至邊緣部分麵積對中性軸的靜矩（ｍ）；ｄ———所求點處腹板的寬度（ｍ）。
最大剪應力的計算公式為ＦＳＳｚｍａｘＦＳτｍａｘ＝＝（１０１６）ＩｚｄＩｚｄＳｚｍａｘ·１８１·建築力學３式中：Ｓｚｍａｘ———中性軸以下（或以上）至邊緣部分麵積對中性軸的靜矩（ｍ）。
工程上，為了簡化計算，也可近似地認為，工字形截麵橫截麵上的剪力，由橫截麵的腹板部分承擔，在橫截麵的腹板部分均勻分布。
２．Ｔ形截麵梁的剪應力Ｔ形截麵也是由翼緣和腹板組成。翼緣部分剪應力較複雜，且數值小，一般不作分析。
腹板部分剪應力的分布規律、計算與工字形腹板部分的剪應力相同［圖１０３３（ｃ）］。
３．圓形截麵梁的剪應力圓形截麵梁橫截麵上的剪應力比較複雜。與中性軸等遠處各點的剪應力方向彙交於該處截麵寬度線兩端切線的交點，且與剪力平行的豎向分量沿截麵寬度方向均勻分布［圖１０３３（ｄ）］。最大剪應力發生在中性軸上，是截麵平均剪應力的４／３倍。其計算公式為４ＦＳτｍａｘ＝（１０１７）３Ａ式中：Ａ———圓截麵的麵積（ｍ２）；ＦＳ———截麵上的剪力（Ｎ）。
４．圓環形截麵梁的剪應力圓環形截麵上各點處的剪應力方向與該處的圓環切線方向平行，且沿圓環厚度方向均勻分布［圖１０３３（ｅ）］，最大剪應力也發生在中性軸上，是截麵平均剪應力的２倍。其計算公式為ＦＳτｍａｘ＝２（１０１８）Ａ式中：Ａ———圓環形截麵麵積（ｍ２）。
例１０１６矩形截麵簡支梁受均布荷載ｑ作用。已知ｑ＝４ｋＮ／ｍ，梁的跨度Ｌ＝３ｍ，高ｈ＝１８０ｍｍ，寬ｂ＝１２０ｍｍ。計算Ｃ截麵上ａ、ｂ、ｃ各點的剪應力及全梁的最大剪應力。
解（１）畫出梁的剪力圖［圖１０３４（ｂ）］ＦＳｃ＝２ｋＮ，ＦＳｍａｘ＝６ｋＮ圖１０３４·１８２·第十章梁的彎曲（２）計算Ｃ截麵各點的切應力τａ＝０３ＦＳｃ２×１０τｂ＝１．５＝１．５×＝０．１４ＭＰａＡ１８０×１２０３ＦＳｃＳｚ２×１０×４０×１２０×７０τｃ＝＝３＝０．０９６ＭＰａＩｚｄ１２０×１８０×１２０１２（３）計算梁內最大剪應力最大剪應力發生在Ａ偏右、Ｂ偏左截麵的中性軸各點上，其值為３ＦＳｍａｘ６×１０τｍａｘ＝１．５＝１．５×＝０．４２ＭＰａＡ１８０×１２０三、剪應力強度計算梁內最大剪應力發生在剪力最大的截麵的中性軸上，所以梁的剪應力強度條件為最大剪應力不能超過許用剪應力，即τｍａｘ≤［］τ（１０１９）梁的強度必須同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。正應力強度起著主要作用，但在以下幾種情況下也需作剪應力強度計算。
（１）跨度與橫截麵高度比值較小的粗短梁，或在支座附近作用有較大的集中荷載，使梁內出現彎矩較小而剪力很大的情況。
（２）木梁。梁在剪切彎曲時，橫截麵中性軸上有較大的剪應力，根據剪應力互等定理，梁在中性層上將產生與截麵中性軸相等的剪應力。由於木梁在順紋方向的抗剪能力較差，有可能在中性層上發生剪切破壞。
（３）對於組合截麵鋼梁，當橫截麵的腹板厚度與高度之比小於型鋼截麵的相應比值時，需校核剪應力強度。
例１０１７木梁的受力情況如圖１０３５（ａ）所示，試校核梁的強度。已知材料的許用應力［］σ＝１２ＭＰａ，［］τ＝１．２ＭＰａ。
解（１）畫梁的彎矩圖和剪力圖。由圖１０３５（ｂ）、（ｃ）可知Ｍｍａｘ＝１１．２５ｋＮ·ｍＦＳｍａｘ＝９ｋＮ（２）校核正應力強度。最大正應力發生在跨中截麵的上、下邊緣處。
６Ｍｍａｘ１１．２５×１０σｍａｘ＝＝＝１１．２５ＭＰａ＜［］σＷｚ１２×１５０×２００６梁滿足正應力強度條件。
（３）校核剪應力強度。最大剪應力發生在Ａ偏右、Ｂ偏左截麵的中性軸上。
３ＦＳｍａｘ９×１０τｍａｘ＝１．５＝１．５×＝０．４５ＭＰａ＜［］τＡ１５０×２００·１８３·建築力學可見梁也滿足剪應力強度條件。
圖１０３５例１０１８如圖１０３６（ａ）所示的工字形截麵外伸梁，試選擇工字鋼的型號。已知材料的許用應力［］σ＝１６０ＭＰａ，［］τ＝１００ＭＰａ。
圖１０３６解（１）畫梁的剪力圖和彎矩圖由圖可知：ＦＳｍａｘ＝２４ｋＮ，Ｍｍａｘ＝４８ｋＮ·ｍ（２）按正應力強度條件選擇工字鋼型號６Ｍｍａｘ４８×１０３６３３Ｗｚ≥＝ｍｍ＝０．３×１０ｍｍ＝３００ｃｍ［］σ（）１６０３３查型鋼表，選用２２ａ工字鋼，其抗彎截麵係數Ｗｚ＝３０９ｃｍ，最接近而又大於３００ｃｍ。
（３）校核剪應力強度按型號２２ａ查得有關數據為·１８４·第十章梁的彎曲Ｉｚ，＝１８．９ｃｍｄ＝７．５ｍｍＳｚｍａｘ３ＦＳｍａｘ２４×１０所以τｍａｘ＝＝＝１６．９ＭＰａ＜［］τＩｚ１８９×７．５ｄＳｚｍａｘ可見滿足剪應力強度條件，因此選用２２ａ工字鋼。
１０．９梁的變形一、梁彎曲變形的概念梁在外力作用下會產生變形，為了滿足使用要求，工程上要求梁的變形不超過許用的範圍，即要有足夠的剛度。
如圖１０３７所示為一懸臂梁，取直角坐標係ｘＡｙ，ｘ軸向右為正，ｙ軸向下為正，ｘＡｙ平麵與梁的縱向對稱平麵是同一平麵。梁受外力作用後，軸線由直線變成一條連續而光滑的曲線，稱為撓曲線，或彈性曲線。圖１０３７梁各點的水平位移略去不計。梁的變形可用下述兩個位移來描述。
（１）梁任一橫截麵的形心沿ｙ軸方向的線位移，稱為該截麵的撓度，用ｙ表示。ｙ以向下為正，其單位是ｍ或ｍｍ。
（２）梁任一橫截麵相對於原來位置所轉過的角度，稱為該截麵的轉角，用θ表示。θ以順時針轉動為正，其單位是ｒａｄ。
梁在變形過程中，各橫截麵的撓度和轉角都隨截麵位置ｘ而變化，所以撓度ｙ和轉角θ可表示為ｘ的連續函數。即ｙ＝ｙ（）ｘθ＝θ（）ｘ上麵兩式分別稱為梁的撓曲線方程和轉角方程。由圖１０３７可知，在小變形的情況下，梁內任一截麵的轉角θ就等於撓曲線在該截麵處的切線的斜率。即ｄｙθ≈ｔａｎθ＝＝ｙ′ｄｘ因此，隻要求出梁的撓曲線方程ｙ＝ｙ（）ｘ，就可求得梁任一截麵的撓度ｙ和轉角θ。
·１８５·建築力學二、撓曲線近似微分方程在本章１０．６中，已推導出梁在純彎曲時的曲率式（１０８），即１Ｍ＝ρＥＩｚ如果忽略剪力對變形的影響，則上式也可以用於梁剪切彎曲的情形。彎矩Ｍ和相應的曲率半徑ρ均隨截麵位置而變化，是ｘ的函數。所以１Ｍｘ＝（）ρ（）ｘＥＩｚ在高等數學中，平麵曲線的曲率公式為ｄ２ｙ１ｄｘ２＝±２３ρｄｙ２１＋［］（）ｄｘｄ２由於梁的變形很小，可以略去ｙ，上式又可近似地寫為（）ｄｘ１ｄ２ｙ＝±２＝ｙ″ρｄｘ綜上，得ｄ２ｙＭ（）ｘ２＝±ｄｘＥＩｚ式中的正負號，取決於坐標係的選擇和彎矩正負號的規定。彎矩Ｍ的正負號仍按以前規ｄ２ｙ定，即以使梁下側受拉為正；坐標係ｙ以向下為正。當彎矩為正值時，撓曲線下凸，而為ｄｘ２ｄ２負值，即彎矩Ｍ與ｙ恒為異號。故有ｄｘ２ｄ２ｙＭ（）ｘ２＝－（１０２０）ｄｘＥＩｚ式（１０２０）即為梁的撓曲線近似微分方程。
三、用積分法求梁的變形對於等直梁，抗彎剛度ＥＩｚ為常數，對式（１０２０）兩邊積分一次，得轉角方程為ｄｙ１θ＝＝－Ｍ（）ｘｄｘ＋Ｃ（１０２１）ｄｘＥＩ∫ｚ兩邊再積分一次，得撓曲線方程為１ｙ＝－Ｍ（）ｘｄｘｄｘ＋Ｃｘ＋Ｄ（１０２２）ＥＩ∫∫ｚ［］·１８６·第十章梁的彎曲式中的Ｃ、Ｄ為積分常數。積分常數可利用梁的邊界條件和連續條件來確定。所謂邊界條件就是梁在支座處的已知撓度和已知轉角。例如懸臂梁在固定端的撓度ｙ＝０，轉角θ＝０。簡支梁在兩個鉸支座處的撓度都等於零。所謂連續條件就是梁的撓曲線在梁上各點處都是連續的。
例１０１９懸臂梁的受力情況如圖１０３８所示，ＥＩｚ為常數，試求梁最大撓度和最大轉角。
圖１０３８解（１）取圖示坐標係，列彎矩方程Ｍ（）ｘ＝－Ｆ（）ｌ－ｘ（０＜ｘ≤ｌ）（２）寫出撓曲線近似微分方程ｄ２ｙＥＩｚ＝－Ｍｘ＝Ｆｌ－Ｆｘｄｘ２（）將上式積分一次得ｄｙ１２ＥＩｚ＝ＥＩｚθ＝Ｆｌｘ－Ｆｘ＋Ｃｄｘ２積分兩次得１２１３ＥＩｚｙ＝Ｆｌｘ－Ｆｘ＋Ｃｘ＋Ｄ２６（３）確定積分常數。邊界條件ｘ＝０時ｙＡ＝０，θＡ＝０將上式代入兩次積分所得式Ｃ＝０Ｄ＝０（４）寫出撓度方程和轉角方程１１２１３撓度方程為ｙ＝Ｆｌｘ－ＦｘＥＩｚ（）２６１１２轉角方程為θ＝Ｆｌｘ－ＦｘＥＩｚ（）２·１８７·建築力學（５）計算梁最大撓度和最大轉角。根據梁撓曲線的大致形狀可知，最大撓度和最大轉角都發生在梁的自由端Ｂ處。
Ｆｌ３Ｆｌ２當ｘ＝ｌ時，ｙｍａｘ＝（）↓θｍａｘ＝（）３ＥＩｚ２ＥＩｚ例１０２０如圖１０３９所示，簡支梁的ＥＩｚ為常數，寫出梁的轉角方程和撓度方程。
圖１０３９解（１）求支座反力ＦｂＦａＦＡｙ＝↑，ＦＢｙ＝↑ｌ（）ｌ（）（２）列彎矩方程ＦｂＡＣ段：Ｍｘ１＝ｘ１（０≤ｘ１≤ａ）（）ｌＦｂＣＢ段：Ｍｘ２＝ｘ２－Ｆｘ２－ａ（ａ≤ｘ２≤ｌ）（）ｌ（）（３）寫出各段的撓曲線近似微分方程並積分２ｄｙ１ＦｂＡＣ段：ＥＩｚ２＝－ｘ１ｄｘ１ｌＦｂ２ＥＩｚθ１＝－ｘ１＋Ｃ１２ｌＦｂ３ＥＩｚｙ１＝－ｘ１＋Ｃ１ｘ１＋Ｄ１６ｌ２ｄｙ２ＦｂＣＢ段：ＥＩｚ２＝－ｘ２＋Ｆ（）ｘ２－ａｄｘ２ｌＦｂ２１２ＥＩｚθ２＝－ｘ２＋Ｆｘ２－ａ＋Ｃ２２ｌ２（）Ｆｂ３１３ＥＩｚｙ２＝－ｘ２＋Ｆｘ２－ａ＋Ｃ２ｘ２＋Ｄ２６ｌ６（）（４）確定積分常數邊界條件：ｘ１＝０時，ｙ１＝０ｘ２＝ｌ時，ｙ２＝０連續條件：ｘ１＝ｘ２＝ａ時，θ１＝θ２，ｙ１＝ｙ２．綜合上式得·１８８·第十章梁的彎曲Ｆｂ２２Ｃ１＝Ｃ２＝（）ｌ－ｂ６ＥＩｚｌＤ１＝Ｄ２＝０（５）寫出各段的撓度方程和轉角方程Ｆｂ２２２ＡＣ段：θ１＝（）ｌ－３ｘ１－ｂ６ＥＩｚｌＦｂｘ１２２２ｙ１＝（）ｌ－ｘ１－ｂ６ＥＩｚｌＦｂ３ｌ２２２２ＣＢ段：θ２＝（ｘ－ａ）＋ｌ－ｂ－３ｘ６ＥＩｚｌ［］ｂＦｂｌ３２２３ｙ２＝（ｘ－ａ）＋（ｌ－ｂ）ｘ－ｘ６ＥＩｚｌ［］ｂ四、疊加法求梁的變形梁的撓曲線近似微分方程是在小變形、材料服從胡克定律的條件下導出的，其撓度和轉角與外荷載成線性關係，因此在求解變形時，也可采用疊加法。當梁同時作用幾種荷載時，可以先分別求出每種簡單荷載單獨作用下梁的撓度或轉角，然後進行疊加，即得幾種荷載共同作用下的撓度或轉角，這種方法稱為疊加法。
各種常見簡單荷載作用下梁的撓度和轉角如表１０３所示。
表１０３梁在簡單荷載作用下撓度和轉角序號梁的簡圖撓曲線方程轉角最大撓度Ｆｘ２（３ｌ－ｘ）Ｆｌ２Ｆｌ３１ｙ＝θＢ＝ｙＢ＝６ＥＩｚ２ＥＩｚ３ＥＩｚＦｘ２ｙ＝（３ａ－ｘ）６ＥＩｚ（０ｘａ）２２≤≤ＦａＦａ（）２２θＢ＝ｙＢ＝３ｌ－ａＦａ２ＥＩｚ６ＥＩｚｙ＝（３ｘ－ａ）６ＥＩｚ（ａ≤ｘ≤ｌ）２３４ｑｘ２２ｑｌｑｌ３ｙ＝（ｘ－４ｌｘ＋６ｌ）θＢ＝ｙＢ＝２４ＥＩｚ６ＥＩｚ８ＥＩｚ·１８９·建築力學（續表）序號梁的簡圖撓曲線方程轉角最大撓度Ｍｘ２ＭｌＭｌ２４ｙ＝θＢ＝ｙＢ＝２ＥＩｚＥＩｚ２ＥＩｚＦｘ（２２）ｙ＝３ｌ－４ｘθＡ＝－θＢ３４８ＥＩｚ２Ｆｌ５Ｆｌｙｃ＝ｌ＝４８ＥＩｚ０≤ｘ≤１６ＥＩｚ（）２設ａ＞ｂｌ２－ｂ２Ｆｂｘ２２２在ｘ＝處ｙ＝（ｌ－ｘ－ｂ）槡３６ＥＩｚｌθＡ＝（０ｘａ）槡３Ｆｂ２≤≤Ｆａｂ（ｌ＋ｂ）ｙｍａｘ＝（ｌ－２７ＥＩｚｌＦｂｌ３６ＥＩｚｌ６ｙ＝（ｘ－ａ）＋ｂ２）３／２６ＥＩｚｌ［ｂθＢ＝ｌ２２３Ｆａｂ（ｌ＋ａ）在ｘ＝處（ｌ－ｂ）ｘ－ｘ－２］６ＥＩｚｌＦｂ２（ａ≤ｘ≤ｌ）ｙｌ／２＝（３ｌ－４８ＥＩｚ４ｂ２）θＡ＝－θＢ＝在ｘ＝ｌ／２處ｑｘ３２３７ｙ＝（ｌ－２ｌｘ＋ｘ）ｑｌ３５ｑｌ４２４ＥＩｚｙｍａｘ＝２４ＥＩｚ３８４ＥＩｚ１在ｘ＝１－ｌ（）槡３ｍｌ處θＡ＝２Ｍｘ３ＥＩｚｍｌ８ｙ＝（ｌ－ｘ）（２ｌ－ｘ）ｙｍａｘ＝６ＥＩｚｌｍｌ９槡３ＥＩｚθＢ＝－６ＥＩｚ在ｘ＝ｌ／２處ｍｌ２ｙｌ／２＝１６ＥＩｚ在ｘ＝ｌ／槡３處ｍｌｍｌ２θＡ＝ｙｍａｘ＝Ｍｘ２２６ＥＩｚ９３ＥＩｚ９ｙ＝（ｌ－ｘ）槡６ＥＩｚｌｍｌ在／處θＢ＝－ｘ＝ｌ２３ＥＩｚｍｌ２ｙｌ／２＝１６ＥＩｚ·１９０·第十章梁的彎曲（續表）序號梁的簡圖撓曲線方程轉角最大撓度Ｆａｘ２２ｙ＝－（ｌ－ｘ）Ｆａｌ６ＥＩｚｌθＡ＝－６ＥＩｚ（０≤ｘ≤ｌ）ＦａｌＦａ２１０Ｆ（ｌ－ｘ）θＢ＝ｙｃ＝（ｌ＋ａ）ｙ＝３ＥＩｚ３ＥＩｚ６ＥＩｚｌ２Ｆａ（２ｌ＋３ａ）［（ｘ－ｌ）－３ａｘ＋ａｌ］θＣ＝６ＥＩｚ［ｌ≤ｘ≤（ｌ＋ａ）］ＭｌＭｘ２２θＡ＝－ｙ＝－（ｌ－ｘ）６ＥＩｚ６ＥＩｚｌＭｌＭａ（０≤ｘ≤ｌ）θＢ＝ｙｃ＝（２ｌ＋３ａ）１１３ＥＩｚ６ＥＩｚＭｙ＝（３ｘ２－４ｘｌ＋ｌ２）Ｍ６ＥＩｚθＣ＝（ｌ＋３ＥＩｚ［ｌｘ（ｌ＋ａ）］≤≤３ａ）２ｑａｘ２２ｙ１＝－（ｌ－ｘ）１２ＥＩｚｌｑａ２ｌ（０ｘｌ）θＡ＝－≤≤１２ＥＩｚ３２ｑａｑ（ｘ－ｌ）ｑａｌｙＣ＝（４ｌ＋１２ｙ２＝θＢ＝２４ＥＩｚ２４ＥＩｚ６ＥＩｚ２２３ａ）［２ａ（３ｘ－ｌ）＋（ｘ－ｌ）（ｘ－ｑａ２（ｌ＋ａ）θＣ＝ｌ－４ａ）］６ＥＩｚ［ｌ≤ｘ≤（ｌ＋ａ）］例１０２１如圖１０４０所示懸臂梁同時受到均布荷載ｑ和集中荷載Ｆ的作用，試用疊加法計算梁的最大撓度。設ＥＩｚ為常數。
解由表１０３查得，懸臂梁在均布荷載作用下自由端Ｂ有最大撓度，其值為４ｑｑｌｙＢ＝（）↓圖１０４０８ＥＩｚ懸臂梁在集中力Ｆ作用下自由端Ｂ有最大撓度，其值為３ＦＦｌｙＢ＝（）↓３ＥＩｚ因此，在荷載ｑ和Ｆ共同作用下，自由端Ｂ處有最大撓度，其值為４３ｑＦｑｌＦｌｙｍａｘ＝ｙＢ＋ｙＢ＝＋（）↓８ＥＩｚ３ＥＩｚ例１０２２簡支梁受荷情況如圖１０４１所示，已知Ｆ１＝Ｆ２＝Ｆ，抗彎剛度ＥＩｚ為常·１９１·建築力學數。試用疊加法計算梁跨中截麵的撓度和轉角。
圖１０４１解查表１０３得，梁在Ｆ１單獨作用下，跨中的撓度和轉角分別為Ｆｌ３ｙ１ｃ＝（）↓４８ＥＩｚθ１ｃ＝０梁在Ｆ２單獨作用下，跨中撓度和轉角分別為２ｌ２ｌＦ×３ｌ－４×３Ｆｂ２２４（）１６１１Ｆｌｙ２ｃ＝（）３ｌ－４ｂ＝＝（）↓４８ＥＩｚ４８ＥＩｚ７６８ＥＩｚｌＦ×２２Ｆｂ２２２４２３２ｌＦｌθ２ｃ＝（）ｌ－３ｘ－ｂ＝ｌ－ｌ－＝（）６ＥＩｚｌ６ＥＩｚｌ（）４１６１２８ＥＩｚ所以，梁在Ｆ１和Ｆ２共同作用下，跨中撓度和轉角分別為Ｆｌ３１１Ｆｌ３９Ｆｌ３ｙＣ＝ｙ１ｃ＋ｙ２ｃ＝＋＝（）↓４８ＥＩｚ７６８ＥＩｚ２５６ＥＩｚＦｌ２θｃ＝θ１ｃ＋θ２ｃ＝（）１２８ＥＩｚ１０．１０梁的剛度條件與提高梁剛度的措施一、梁的剛度條件在工程中，梁除了要滿足強度條件外，還要滿足剛度條件。梁的剛度條件為ｙｍａｘｙ≤（１０２３）ｌ［］ｌ式中，ｙｍａｘ為梁的最大撓跨比；ｙ為梁的許用撓跨比。梁的許用撓跨比可從設計規範中查ｌ［］ｌ１１得，一般在規定在～之間。