一、 函數的概念
1. 區間和鄰域
如果變量的變化是連續的，則常用區間來表示其變化範圍.在數軸上來說，區間是指介於某兩點之間的線段上點的全體.
設a和b都是實數，且a x|a x|a≤x≤b稱為閉區間，記為［a,b］； x|a x|a≤x 上述四個區間的長度都是有限的(區間長度為b－a)，統稱為有限區間. 此外還有下列無限區間，引進記號+∞，－∞(讀作正無窮大，負無窮大). 無限區間有：(－∞,+∞)=R（通常也表示為－∞ (a,+∞)=x|x>a；［a,+∞)=x|x≥a； (－∞,b)=x|x R——實數集；Q——有理數集；Z——整數集；N——自然數集. 定義111設a與δ是兩個實數，且δ＞0(通常δ是指很小的正數)，集合{xx－a<δ}稱為點a的δ鄰域，記為U(a,δ),a稱為該鄰域的中心，δ稱為該鄰域的半徑，即：U(a,δ)={xa－δ U(a,δ)表示與點a距離小於δ的一切點x的全體. 同理，稱將鄰域的中心a去掉所形成的區間(a－δ,a)∪(a,a+δ)為a的去心δ鄰域(或a的空心δ鄰域)，記為Uo(a,δ)={x0 在研究某一事物的變化過程時，往往同時遇到兩個或多個變量，這些變量不是彼此孤立的，而是相互聯係，互相依賴，遵循著一定的變化規律. 例如：圓的麵積，圓麵積A與它的半徑r間的關係由公式A=πr2確定，當r在區間(0,+∞)內任意取定一個數值時，根據公式A=πr2就可以確定圓的麵積A的相應數值. 定義112設有兩個變量x和y，D是一個給定的數集，若對於D中每一個數x(即任意的x∈D)，按照一定的對應法則f總有唯一確定的數值y與之對應，則稱y是x的函數，記作：y=f(x).x稱為自變量，y稱為因變量，數集D和M={yy=f(x),x∈D}分別稱為函數的定義域和值域. 當自變量x的取某個確定的值x0，根據對應法則f能夠得到一個確定的值y0，則y0稱為函數y=f(x)在x0處的函數值，記為y0=f(x0)或y0=y|x=x0. 平麵點集G={(x,y)y=f(x),x∈D}稱為函數y=f(x)的圖形. 根據函數的定義，當函數的定義域和函數的對應法則確定以後，這個函數就完全確定了.因此，通常把函數的定義域D和對應法則f叫作確定函數的兩個要素.隻有當兩個函數的定義域和對應法則完全相同時，才認為這兩個函數是完全相同的. 在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的.例如，圓麵積中定義域為(0,+∞)，自由落體運動中定義域為［0,T］. 在數學中，有時不考慮函數的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數.約定函數的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值. 例如：函數y=13x－x2的定義域是開區間(0,3)，函數y=arcsinx4的定義域是閉區間［－4,4］. 二、 函數的表示方法 根據問題的不同特點，函數可以用表格法、圖像法和解析法(公式法)來表示(三種表示方法也可以混合使用).在微積分學中，函數還可以用以下方式來表示. 1. 隱函數 如果變量x，y之間的函數關係是由一個方程F(x,y)=0所確定的，則稱y是x的隱函數.相應地，如果因變量y都能用含有x的解析式明顯表示，則稱之為顯函數.有些隱函數可以轉化為顯函數，但也有些隱函數不可以轉化為顯函數，如方程ey－ex－xy=1所確定的隱函數就無法化為顯函數，但這並不影響我們研究它們的某些變化規律. 2. 分段函數 在自變量的不同範圍內用不同的解析式分段表示的函數叫分段函數.分段函數求函數值時，應把自變量的值代入相應範圍的表達式中去計算.圖111 例111已知分段函數f(x)=x2+1x>02x=02xx<0（如圖111)，求f［f(0)］，f(－3). 解f［f(0)］=f（2）＝22+1=5，f(－3)=2×(－3)=－6. 其中x=0稱為分段函數的“分界點”. 幾個常見的分段函數： （1） 符號函數 y=sgnx=1x>00x=0－1x<0(如圖112)，D=(－∞,+∞)，M={－1,0,1}. （2） 取整函數 y=［x］(x∈R)(如圖113)，其中［x］表示不超過x的最大整數，D=(－∞,+∞)，M=Z(其中Z表示整數集). 例如，［2.38］=2，［－6.12］=－7，［1］=1. （3） 絕對值函數