一、 隱函數的導數
我們常見的函數如y=sinx，y=x2+lnx等，函數關係直接由僅含自變量的算式表示，即y=f(x)，這種函數稱為顯函數.但是有時會遇到另一類函數，如x2－3y2=1，ey－xy+1=0等，兩個變量的相互關聯不一定是顯現的，而是被製約在一個方程中，即F(x,y)=0，這種以方程形式確定的函數叫作隱函數.有些隱函數可以轉化為顯函數，但也有些隱函數不可以化為顯函數，下麵介紹隱函數的求導方法.
隱函數的求導方法如下：
第一步將方程F(x,y)=0兩邊分別對x求導，遇到y時，就視y為x的函數y=y(x)；遇到y的函數，就看成x的複合函數，其中y為中間變量.
第二步解出yx′即yx′=dydx.
例231求由方程ey－e2x+y=0確定的函數y=y(x)的導數dydx.
解方程兩端同時對x求導，得eydydx－2e2x+dydx=0，解得dydx=2e2xey+1.
例232求曲線x2+y2+xy=4在點(2,－2)處的切線方程.
解方程兩端同時對x求導，得2x+2yy′+y+xy′=0，整理得y′=－2x+yx+2y.
在點(2,－2)處的切線斜率為y′(2,－2)=1.
由直線方程點斜式，所求切線方程為y－(－2)=1·(x－2)，即y－x+4=0.
例233設y=xx(x>0)，求y′.
分析通常形如y=u(x)v(x)的函數稱為冪指函數，此類函數不能直接利用公式及運算法則求出導數.為了求這類函數的導數，可利用對數的性質化簡，轉化為隱函數形式，然後再應用隱函數的求導方法求出導數，這種方法稱之為對數求導法.
解兩邊取對數，得lny=xlnx，上式兩邊同時對x求導，得1yy′=lnx+x·1x.所以y′=y(lnx+1)=xx(lnx+1).
此題也可用複合函數求導法則來求冪指函數的導數，解法如下:
因為y=xx=exlnx，所以有y′=(exlnx)′=exlnx(xlnx)′=xx(lnx+1).注
意對數求導法既可以求冪指函數y=u(x)v(x)的導數,還可以求由多個含變量的式子的乘、除、乘方、開方構成的函數的導數.例如：y=(x+2)3(2x－1)2x，y=3(x－1)(x－2)2(x－3)5，y=x(1+x2)arctanx等.
例234設y=(x+1)3(x+2)3－x，求y′.
解等式兩邊同時取對數，得lny=32ln(x+1)+12ln(x+2)－12ln(3－x).
上式兩邊同時對x求導，得y′y=32·1x+1+12·1x+2+1213－x，於是有y′=(x+1)3(x+2)3－x32(x+1)+12(x+2)+12(3－x).
二、 高階導數
變速直線運動的質點的路程函數為s=s(t)，則速度v(t)=s′(t)=limΔt→0s(t+Δt)－s(t)Δt，加速度a(t)=limΔt→0ΔvΔt=limΔt→0v(t+Δt)－v(t)Δt，從而a(t)=v′(t)=s′(t)′.這種導數的導數s′(t)′叫作s對t的二階導數，記作s″(t)，所以，直線運動的加速度就是路程函數s對時間t的二階導數.一般地，可給出如下定義：