第四步:模型求解使用相應的數學方法求解數學模型,即給出現實對象的數學解決———模型求解。本例使用一元二次方程的因式分解法解得x1=1,x2=-7。
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第五步:模型分析(包括檢驗、修改、應用和評價等)。
本例中,x2=-,,x1=,,7不合實際舍去1合乎實際保留它於是現實問題得到解決2
2真正實際問題的數學模型與建立數學模型的過程要比上述複雜,但建立數學模型的基本思想和過程已經包含在建立和求解這個代數應用題的數學模型的過程中了。
綜上所述,我們將數學建模的基本步驟歸納為五個步驟,即五步建模法:問題分析—模型假設—模型建立—模型求解—模型的分析、檢驗與應用。1.問題分析這個過程很重要,也不難理解,在中學階段解決應用題時已經反複用過。首先通過讀題,弄清題目的來龍去脈,劃分層次,歸納大意,動用想象力、洞察力,通過分析比較、抽象概括和邏輯推理進行量的分析,找出問題所涉及的變量和常量。根據建模目的和要采用的方法的需要,分出主次,把主要的量留下,次要的量舍去,研究已知量和未知量之間的關係。不僅要注意研究那些題目中較為明顯的條件和結論,還必須將題目中隱含的條件及變量之間的內在聯係、規律和數量關係挖掘出來,明確建模目的,收集掌握必要的數據資料。
要強調的是,進行問題分析時,要注意將建立模型可能涉及的因素盡量用貼近數學的語言給予描述。譬如要解決“椅子能否在地麵上放穩”這個實際問題,那麼什麼叫能放穩?那就是椅子的四條腿同時著地,但這不是數學語言。四條腿同時著地用數學語言怎樣描述?那就是四個椅子腳與地麵的距離同時為零。這樣一來問題就變成了尋找四個距離函數,使之等於零。這就是問題分析的作用。2.模型假設這一步驟大家比較陌生。因為中學數學中的所謂實際問題都是老師們編製好了的,—4—第1章數學建模概述特別是假設都事先給定了。我們知道,在做中學數學應用題時,如果有至少一個給定的條件沒有用上,那麼你的結果十有八九是錯的。但是實際問題絕非如此。舉一個很簡單的例子:小學的課本上有這樣的一道題:“樹上有10隻鳥,開槍打死一隻,還剩幾隻?”可能大多數人的答案是9隻,但是還可以有其他的答案。我們分析如下:假設鳥聽到槍聲後都飛走了,則樹上一隻活鳥也沒有;假設槍是無聲的,打死一隻鳥後其他的鳥還在樹上,則樹上還剩9隻活鳥;如果有的鳥是聽不見聲音的,則答案也不同了。這說明考慮問題的角度不同,就會有不同的結果。
現實問題往往是複雜且雜亂無章的,所涉及的變量非常多,如果不對其進行抽象和簡化,則無法準確把握其本質屬性,所以必須做合理的假設,將問題理想化。抓住問題的本質和主要因素,把那些反映問題本質屬性的量及其關係抽象出來,形成對建模有用的信息和前提條件。3.模型建立根據假設,用適當的數學建模方法建立相應的數學模型,盡量采用簡單的數學工具。建立一般的函數模型時,要設法找出相應的等量關係。如果需要建立的模型不是我們所熟知的函數模型,則需要學習新的模型和方法。4.模型求解模型求解是對所建立的數學模型進行求解,求解需要運用數學知識、計算機知識,掌握常用的算法和數學軟件,如MATLAB,LINGO,MATHEMATICA。
模型建立與模型求解這兩個步驟容易理解,但具體操作時又是很難的。5.模型分析模型分析是對求解結果進行數學上的分析(如誤差分析)或根據結果進行預測。一方麵要對模型結果進行檢驗,看是否符合實際。假如模型結果與實際不符合,就要對問題進行重新分析和假設,然後建立新的模型,再檢驗直至符合要求。另一方麵是把經過驗證的模型結果應用於實際,數學模型是實際問題的數學抽象,往往不隻是問題本身用得上,還可能應用於其他問題或領域。
在建立數學模型時,我們還要注意到:對同一個實際問題,其數學模型不一定有唯一正確的答案。因為不同的人建立模型的目的不同,采用的模型建立方法也不同,都可能得到不同的數學模型,導致完全不同的結果。隻要經過檢驗是符合實際的,就是正確的模型。
數學建模的一般方法有:(1)機理分析方法:根據對現實問題進行推理分析,找出反映內部機理的規律,用已知數據確定模型的相關參數,所建立的模型常有明確的物理或現實意義。
(2)數學分析方法:用“現成”的數學方法建立模型。如圖論、微分方程、概率統計方法等。
(3)數值分析方法:對已知數據進行數值擬合,得到變量之間的關係。
(4)構造分析方法:先用機理分析方法建立模型的結構,再利用已知的信息確定模型的參數。
—5—數學建模實例與優化算法數學建模通常用理想化方法處理問題,但某些時候也使用類比的方法。類比的方法經常會幫助我們通過比較熟悉的學科來領悟未知的學科,可以展現出一對事物間的關係,可以幫助我們直觀地思考問題。類比的方法可能有其局限性,但它在數學科學中是公認的方法。例如:盧瑟福給出的氫原子和太陽係之間的類比;動脈中的血流和管道中的水流的類比;城市中的交通網(如鐵路線、公路、公共汽車路線)雖然不能被布置成精確的幾何網格,但用幾何網格來建立簡單的模型是有價值的。
1.4數學建模競賽的發展數學建模競賽(TheMathematicalContestinModeling,MCM)最早始於美國,1985年由美國政府部門資助,由美國數學及其應用聯合會(TheConsortiumforMathematicsandItsApplication,COMAP)主辦,由美國工業與應用數學學會(SocietyforIndustrialandAppliedMathematics,SIAM)、運籌學和管理科學協會(TheInstituteforOperationsResearchandManagementSciences,INFORMS)及數學學會(MathematicalAssociationofAmerica,MAA)協辦。第一屆數學建模競賽隻有來自70所高校的90個參賽隊參加,後來它的影響力逐步擴大,現已成為有十幾個國家和地區參加的國際型競賽活動。
中國最早從1989年有北京地區的清華大學、北京大學、北京理工大學等學校派隊參賽,近幾年來,中國的參賽隊伍幾乎占了參賽隊伍總數的1\/3以上,而且每年都能取得最高獎。
中國的全國大學生數學建模競賽(ChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling,CUMCM)始於1992年,首先由中國工業與應用數學學會(ChinaSocietyforIndustrialandAppliedMathematics,CSIAM)舉辦了非官方的“全國大學生數學建模競賽”,到1994年成為由原國家教委高教司直接領導組織,由工業與應用數學學會具體承辦的一項大規模的競賽活動。
數學建模競賽不同於其他各種單個學科的競賽,如數學競賽、物理競賽等,因為單個學科的競賽隻涉及一門學科,甚至一門課程的知識,而數學建模競賽涉及數學學科、計算機學科及其他許多學科,僅數學學科就涉及高等數學、線性代數、概率統計、計算方法、運籌學、圖論、數學軟件等方麵的知識。數學建模的競賽題來源於生活實際問題,但遠非隻是一個數學題目,有些題初看起來與數學沒有任何關係。實際問題涉及的知識麵很廣,需要學生具有多方麵的知識及對所學知識的綜合運用能力。學生除了具有數學知識外,還要有較好的計算機編程能力,網上查閱資料的能力以及論文寫作能力。數學建模競賽可以培養團隊精神,可以培養學生綜合運用知識解決實際問題的能力,對提高學生的素質很有幫助。
我國從1992年起,每年秋季都舉行一次全國大學生數學建模競賽,參賽時間長度為3晝夜,以學校為單位報名參加,參加數學建模競賽的同學每3人組成一個參賽隊,所有在校的各年級大學生都可以報名參賽。
—6—第1章數學建模概述1.5數學的簡單應用問題如何用數學模型來模擬並解決生活中的數學應用問題,請看以下幾個例子。[問題1]估計種子的數目。
某家有一塊空地想用草皮覆蓋,但後來決定買草種自己種,草種是用袋子包裝好的,請估計一個袋子中的種子數目,假如這塊空地的麵積是Mm2,需要多少袋這樣的種子?
假設裝草種的袋子(袋子是滿的)是一個長方體,它的長、寬、高分別為a、b、c、m,體積為Vm3,又假設一粒種子是一個小的長方體,體積為Pm3,則袋子中的種子數目是N=VP,假設草地每平方米播種n粒種子(自己估計播種密度),則需要草種的袋數為MnPV。
[問題2]估計動物的體重。
動物的體重與動物的身長有一定的關係,如何根據四足動物的軀幹長估計它的體量?假設四足動物的軀幹(不含頭、尾)可看作一個圓柱體,如圖1-1所示,它是一根支撐在四肢上的彈性梁。
圖1-1假設四足動物軀幹為圓柱體用L表示軀幹長度,d表示軀幹直徑,s表示橫斷麵積,f表示軀幹質量(梁重),動物在自身體重f的作用下,軀幹的最大下垂度為b,即梁的最大彎曲程度是b。利用彈性力學的研究結果:b∝sdfL23。
又因為f∝sL,故Lb∝Ld23,從生物學角度可以假定,經過長期進化,對每種動物而言,Lb應為一個常數,即L3∝d2,又由於d2∝s,f∝sL,故f∝L4,即體重與軀幹長度的4次方成正比。
注:類比法是建模中常用的技巧,充分發揮想象力,把問題轉化為已經有確切研究成果的問題去解決。
[問題3]估計一棵月桂樹有多少片樹葉。
假設:將月桂樹近似看作半徑為r的球體,則表麵積為4πr2。又假設樹葉連續地覆蓋在樹冠的外表麵(盡管樹葉不是“連續地”覆蓋在表麵,但是,樹葉不僅僅隻是在“樹冠”的—7—數學建模實例與優化算法表麵,也遍布在樹木中,所以可假設樹葉連續地覆蓋在樹冠的外表麵),並假設一片樹葉的麵積為s,且樹葉的麵積一樣,則月桂樹上樹葉的總數為N=4πsr2。例如,當半徑r=0.5m時,樹冠的表麵積大約是s=3m2。如果一片樹葉的麵積是1cm2,則樹葉總數N=3×104片。
[問題4]一個特殊物種鼻涕蟲,它的體重的80%都是水。假設由於蒸發,它失去了身體中1\/4的水。問脫水後體重中水的百分比是多少?
假設鼻涕蟲在水分蒸發前與蒸發後的體重分別為W1、W2。可以認為體重都是由水和剩餘的物質組成的,即W1=0.8W1+0.2W1,所以W2=0.75×(0.8W1)+0.2W1=0.6W1+0.2W1=0.8W1。
因此脫水後水的百分比是0.6W1=0.6W1=75%。
W20.8W1[問題5]一個農民收獲了10t西瓜,並且將它們通過卡車運送到200km外的城鎮,由於夏日炎熱,到達目的地時,西瓜有點幹了,事實上西瓜的水分已經下降了1%,水的含量從99%降到了98%,問:當到達城鎮時,西瓜的總質量是多少?
假設W1表示西瓜剛摘下時的質量,W2表示西瓜運到城鎮後的質量。西瓜可以看成是由水和剩餘物質組成的,所以西瓜的質量等於水的質量加上剩餘物質的質量,即W1=0.99W1+0.01W1,W2=0.98W2+0.02W2。
但是剩餘物質的質量不會改變,因此有0.01W1=0.02W2,所以W1=2W2,即西瓜運到城鎮後質量隻有原來的一半,即到達城鎮時,西瓜的質量隻有5t。
[問題6]很多人都愛吃水果,比如香蕉、蘋果、桃子、橘子等,這些水果中有的果皮較厚,有的核較大,我們估算下選擇哪種水果較劃算。
如果買香蕉,假設香蕉是一個圓柱體,它的長度為L,底麵半徑為r,L比r大,假設香蕉皮的厚度為h(不妨看成原來香蕉半徑的10%),則圓柱體香蕉的體積為V1=πr2L,當剝去皮之後它的體積為V2=π(r-h)2L,則體積比原來減少了V1-V2=2πrhL-πh2L=2rh-h2。
V1πr2Lr2把h=0.1r代入,則V1-V2=0.19=19%。
V1如果買橘子,假設橘子是一個規則的球體,半徑為r,橘子皮的厚度h是半徑的10%。
則橘子的體積為V=43πr3,剝去皮之後的體積比原來減少了4πr3-4π(r-h)333=1-(1-0.1)3=27.1%。43πr3—8—第1章數學建模概述如果買桃子,桃子的皮可以忽略。假設桃子是一個規則的球體,半徑為R,桃核也假設是球體,半徑r是桃子半徑的10%。則桃子的體積為43πR3,桃核的體積為43πr3,去除桃核後的體積比原來減少了4πr3r33
3=
()
。
4R
=0.001=0.1%3πR即損失僅0.1%。由此,我們可以得出結論:買香蕉和橘子都不是很劃算,買桃子較劃算。
[問題7]估算一根熱狗中到底含有多少香腸。
假設:圓柱形香腸的長為L,半徑為r,體積為V1,香腸被包裹在同樣長度、半徑為R=αr的圓柱形麵包中,這裏α>1,麵包的體積為V2。如果包裹得較緊密,那麼麵包的體積是V2=πL(R2-r2)=πLr2(α2-1)=(α2-1)V1。
如果α=2,那麼V2=3V1,熱狗中75%不是香腸;如果α=3,那麼V2=8V1,熱狗中大約90%不是香腸。所以一根便宜的熱狗幾乎就是麵包了,香腸的含量少之又少。
[問題8]估計城市中各類設施的數量。
某城市的人口是100萬,估計在這樣規模的城市中會有多少飯店。經調查知道,有些年輕人工作日午餐都去餐廳吃,一些人每星期去吃一次,也有人根本就不去餐廳吃飯。
假設某城市的人口是A0萬,我們來估計城市中某類服務設施的數量N。設平均“人均率”為R(表示每年或每星期對服務設施的訪問量),服務設施每天開放的平均時間為Hh,服務設施平均每小時有K個顧客。設每年有Dd,那麼根據具體的計算可以得到最終的無量綱表達形式:N=A0人
×R
1a1d1h。
×D×H×K人1ad
h現在來估算飯店的數量。由於有些年輕人工作日午餐都去餐廳吃,一些人每星期去吃一次,也有人根本就不去餐廳吃飯。我們取每星期的“人均率”R=1(每年50,這個數字便於計算),取其他數字也可以。每小時顧客數的估計值很多樣,吃快餐花費時間短,現做的飯菜用的時間長些,所以取K=30。飯店的營業時間也是多樣化的,有的幾乎一整天開放,有的隻有晚上開放幾個小時,取平均值H=10,D=360(飯店周末也營業,為了計算方便也可取400,因為這裏隻是“估計”)。可得飯店的數量N=106人×1a50×360d1a×10h1d×301h人=15×10.08×1075≈463。
因此可以說,街上到處都有飯店,外出吃飯很方便。
我們再來估算牙科診所的數量。大多數人定期去檢查牙齒,一般是一年兩次,有些人—9—數學建模實例與優化算法不定期,而有些人根本不去檢查,所以年“人均率”取R=1,同時取K=5,H=8,D=300(假設診所周末不上班),可得牙科診所的數量6人1
1a1d1h106
≈100。
N=10×
×××=
人.
41a300d8h5
12×10思考與訓練1.卷紙是日用品之一,你有沒有想過一卷紙到底有多長?假設某種品牌的卷紙的內徑為r,外徑為R,每層紙的平均厚度為w,請你利用學過的數學知識建立相應的數學模型來表示卷紙的長度L與r,R,w之間的關係。