傳說寶華寺曾藏有一幅鮮為人知的仙鶴圖。這仙鶴圖為數海法師所作,在他臨終前秘傳給他的一位弟子,並囑咐他死後49天才能打開。數海法師圓寂後,這位弟子總想打開圖看看,但又不願違背師父遺囑。過了42天,實在堅持不下去了,當天半夜,他打開圖一看,原來是張仙鶴圖。畫麵上有7棵鬆樹,每棵鬆樹上均有7隻仙鶴,鬆樹下麵寫了一個黑色的“七”字,但有一棵鬆樹例外,這鬆樹上一隻仙鶴也沒有,鬆樹下麵寫了一個紅色的“七”字。
紅色的“七”字是什麼意思呢?弟子們無法理解。不過,因為數海法師神通廣大,精通算術。人們相信,圖中必有奧秘。後來,有了負數概念,有人猜測,紅色的“七”字,表示負數(-7)。但是,鬆樹上有(-7)隻仙鶴,又是什麼意思呢?始終是個謎。自從秦始皇焚書坑儒後,寶貴的仙鶴圖失傳,這事情幾乎被人們遺忘了,但是,過了2000多年,人們又想起了仙鶴圖,這與下麵的椰子問題有關。
5個水手帶了一隻猴子來到南太平洋的一個荒島上,發現那裏有一大堆椰子。由於旅途勞累,大家顧不上椰子,很快就睡覺了。第一個水手醒來後,把椰子分成五堆,餘一隻給了猴子,自己藏了一堆又去睡覺了。第二、第三、第四、第五個水手也陸續起來,和第一個水手一樣,把椰子分成五堆,恰好又多一隻給猴子,私藏一堆,再去入睡。天亮以後,大家發現椰子已剩下不多了,各人心裏有數,但誰也不說。為了公平,大家把餘下的椰子又分成五堆,每人得一堆。這時,巧得很,又餘下一隻,再給猴子。試問原先共有幾隻椰子?
這是一道世界有名的趣味數學題。
設最初共有椰子x隻,天亮後大家一起分配時每人分得y隻。
根據題意,可得
x=5A+1,
4A=5B+1,
4B=5C+1,
4C=5D+1,
4D=5E+1,
4E=5y+1。這是一個不定方程組,化簡後可得到
1024x=15635y+11529。(*)
它有無數組解,人們的興趣是求其最小正整數解。如果用常規的方法(例如,用大衍求一術)來解,是很繁難的。
世界著名物理學家李政道在訪問中國科技大學時,曾在少年班提到這個題目,並介紹了懷德海的解法。
懷德海是英國數理邏輯專家,對此他給出了一個異乎尋常的解法。
首先,從方程(*)可看出,如果某數x;是方程的一個解,則x1+15625也是方程的解。這一點我們也可用下麵的方法來考慮,由於原有的椰子曾被連續6次分成5堆,因此如果某數是該方程的一個解時,則把此數加上56(56=15625)後,仍舊是方程的解。通常人們解不定方程應用題,總是隻注意它的正整數解,可是懷德海卻與眾不同,他的方法異乎尋常,他先借助負整數來幫忙,在找到一個負整數解之後,再過渡到正整數。就像在幾何中引用輔助線、輔助角一樣。
在方程(*)中,設y=-1,則可得
1024x=4096,∴x=-4。
既然-4是這個不定方程的一個特解,那麼,則-4+15625也是方程的解。可見,所求的椰子數應是-4+15625=15621(隻)。
懷德海說,他是用下麵的想法“領悟”出-4是不定方程的一個特解的:
“假定當初有-4隻椰子,則在其中硬拿出一隻來給猴子後,根據正、負數減法,還剩下-4-1=-5(隻),分成五堆,每堆便有-1隻椰子。私自藏起一堆之後,還有四堆,每堆有-1隻椰子,所以一共仍然是(-4)隻椰子,這正好仍然回到沒有分以前的情況。照這樣分法,不僅5次、6次……可以一直分下去,都符合題目之要求。因此,在這個題目中,-4是一個神奇的數。
按照常理來說,每堆椰子數為“負數”是毫無意義的,但從純數學的觀點來看,卻是能滿足題中分配方法的,並且是能幫助解決問題的。它正像物理學中的“負質量”或“虛功”一樣,在解決具體問題時是有用的。