1．自行車和蒼蠅
兩個男孩各騎一輛自行車，從相距20千米的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一隻蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉向往回飛行。這隻蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。
如果每輛自行車都以每小時10千米的高速前進，蒼蠅以每小時15千米的高速飛行，那麼，蒼蠅總共飛行了多少千米？
答案
每輛自行車運動的速度是每小時10千米，兩者將在1小時後相遇於20千米距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時15千米，因此在1小時中，它總共飛行了15千米。
許多人試圖用複雜的方法求解這道題目。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然後是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是非常複雜的高等數學。
據說，在一次雞尾酒會上，有人向約翰·馮·諾伊曼提出這個問題，他思索片刻便給出正確的答案。提問者顯得有點沮喪，他解釋說，很多數學家總忽略簡單方法，而去采用無窮級數求和的複雜方法。
馮·諾伊曼臉上露出驚奇的神色。“可是，我用的正是無窮級數求和的方法”，他解釋道。
2．往返旅行
當我們駕駛汽車旅行的時候，汽車在不同的時刻當然會以不同的速度行駛。如果把全部距離除以駕駛汽車的全部時間，所得到的結果叫做這次旅行的平均速度。
史密斯先生計劃駕駛汽車從芝加哥去底特律，然後返回。他希望整個往返旅行的平均速度為每小時60千米。在抵達底特律的時候，他發現他的平均速度隻達到每小時30千米。
為了把往返旅行的平均速度提高到每小時60千米，史密斯在返回時的平均速度必須是每小時多少千米呢？
答案
求解這道令人困惑的小小難題，並不需要知道芝加哥與底特律之間的距離。
在抵達底特律的時候，史密斯已經走過了一定的距離，這花去了他一定的時間。如果他要把他的平均速度翻一番，他應該在同樣的時間中走過上述距離的兩倍。很明顯，要做到這一點，他必須不花任何時間便回到芝加哥。這是不可能的，因此史密斯根本沒有辦法把他的平均速度提高到每小時60千米。無論他返回時的速度有多快，整個旅行的平均速度肯定要低於每小時60千米。
如果我們為史密斯的旅行假設一個距離，事情便會容易理解一些。比如說，假設往返旅程各為30千米。由於他的平均速度為每小時30千米，他將用1小時的時間完成前一半的旅行。他希望往返旅行的平均速度為每小時60千米，這意味著他必須在1小時中完成整個60千米的旅程。可是，他已經把1小時的時間全都用了。無論他返回時速度有多快，他所用的時間全都用了。無論他返回時速度有多快，他所用的時間將多於1小時，因此他必定要用多於1小時的時間完成60千米的旅程，這使得他的平均速度低於每小時60千米。