1．波斯國王出的難題——從算術開始代數的故事
代數在很早以前就已經被運用到數學當中了，世界上的數學家們在發明代數學的道路上經曆了曲折的探索。如今代數為人們解決數學難題提供了很大的方便。那麼，代數的意義是什麼？它又能給人們帶來多大的便利呢？
相傳，在古代波斯有個國王自認為是這個世界上最聰明的人。於是有一天就下了一道旨意，宣布將於半個月之後在皇宮裏出一道難題，誰要是能準確回答出來就可以得到很重的獎賞。
到了出題的那天，皇宮裏除了文武百官之外，還來了很多的平民百姓，非常熱鬧。國王命令屬下拿來三隻大金碗，金碗上還蓋著鑲滿寶石的金蓋子。國王用威嚴的眼神掃了一下皇宮的人，然後宣布他出的難題。
“這三隻金碗裏各放著數目不同的珍珠，把第一隻碗裏的珍珠給大王子，第二隻碗裏珍珠總數的1/3給二王子，第三隻金碗裏珍珠總數的1/4給三王子。然後，再把第一隻金碗中的4顆珍珠給大公主，第二隻金碗中的6顆珍珠給二公主，第三隻金碗中的2顆珍珠給三公主。經過這樣分配之後，第一隻金碗裏還剩38顆珍珠，第二隻金碗裏還剩12顆珍珠，第三隻碗裏還剩19顆珍珠，我的問題就是，這三隻金碗裏原來各有多少顆珍珠？”
大家聽完國王的題目，麵麵相覷，沒有一個人說話。這時，人群裏走出三個外國人，第一個人上前給國王鞠躬，說道：“尊敬的國王陛下，請先讓我來回答您的問題。第一隻金碗裏最後剩下38顆珍珠，加上您分給大公主的4顆，總共是42顆，但這隻是珍珠的一半，另一半您給了大王子，因此第一隻金碗裏原來有84顆珍珠；您的第二隻金碗裏最後剩下12顆珍珠,加上您給二公主的6顆，共有18顆，而這隻是原來珍珠數的三分之二，所以第二隻金碗裏原來有27顆珍珠；第三隻金碗裏最後剩下19顆,加上您給二女兒的2顆，就是21顆，這隻是碗裏原來數目的四分之三，這樣，這第三隻金碗原來有28顆珍珠。”
國王聽完第一個外國人的回答，滿意地說：“你真聰明，答對了。”
這個外國人說：“尊敬的國王，是算術幫助我回答了您的問題，算術是一門有關數的特征和計算法則的科學。”
第二個外國人對國王說：“高貴的國王，請允許我用方程來算您的問題，這樣會簡單很多。我用x代表第一隻碗裏珍珠的數量，則可列出方程x-2x-4＝38，解得，x＝84。即第一隻金碗裏有84顆珍珠。再算第二隻金碗裏珍珠的數目，設其為x,則可列出方程x-x/3-6＝12，故x＝27，即第二隻金碗裏有27顆珍珠。用同樣方程又算出第三隻碗裏有28顆珍珠。”聽完後，國王高興地說道：“用方程來計算確實很簡單也很高明！”
輪到第三個外國人了，他一聲不吭地從口袋裏掏出一張紙，在紙上寫了一個算式遞給國王。國王看到紙上寫著一個算式：x-ax-b＝c，x＝b+c（1-a），非常生氣地問：“你寫的是些什麼？我一點也看不懂。你為什麼隻有一個答案？你難道不知道我有三隻金碗嗎？”這個外國人說：“三個答案都可以用我的算式算出。這個算式中的x代表金碗裏的珍珠數，a代表您給兒子珍珠數占金碗裏珍珠數的幾分之幾，b代表您給女兒的珍珠數，c代表剩下珍珠數。如果您不信的話，可以用具體數字代進去算算，看看是否正確。我的算法充分體現了代數的特點，是最簡單、最明確的算法。用我的算法，就是您有99隻金碗、99位王子、99位公主，也能準確算出珍珠的數量。”
國王親自把數字一一代入進行計算，果然完全正確。因此國王給第三個外國人的獎賞最多，其次是第二個外國人，第一個外國人的獎賞最少。國王笑著說：“我這是按解答方法優劣來發獎的，你們沒有意見吧？”
這個故事是代數在數學中最簡單的運用，其實代數也是一門非常有趣的學問，用起來也不是非常的麻煩卻能把一些複雜的問題簡單化。
2．從破解密碼到“代數之父”
在數學課上學到方程，比如說：3x＋2＝0就是一個方程。這裏的x沒有什麼實際意義，隻是個未知數的代表。如果不用方程式，該怎麼表達呢？“一個未知數的三倍加上2等於零。”這種說法不僅麻煩，有時候表達起來還會有歧義。數學家們每天都要和無數複雜的運算打交道，這種方法會帶來很多不便！
數學是不斷發展的，如今數學家有數學家的語言。他們會用一些抽象的字母或符號來表達整個運算過程。但是，那些簡潔的數學語言不是人類生來就有的，而是經過幾代人的開發創造不斷完善，接著其他人也開始用，然後才逐漸推廣起來的。
那麼，第一個吃螃蟹的人是誰呢？韋達是第一個有意識地、係統地用符號來表達的人。他是16世紀末的法國科學家。因為他在發展現代的代數學上起到了決定性的作用，後世稱他為“代數之父”。
韋達原來是個律師，然而他把所有的業餘時間都放在數學研究上。有時候為了解決一個數學問題，甚至可以一連幾天不睡覺。
那個時候，西班牙和法國正在交戰。西班牙軍隊使用很複雜的密碼來傳遞消息。這樣，就算信件被別人發現，也不知道寫的是什麼意思。有一次，法國軍隊截獲了一些秘密信件，但是沒有辦法破譯密碼的意思。法國國王就請來大名鼎鼎的韋達幫忙。經過一番研究，韋達終於揭開了密碼的秘密，幫了法國軍隊一個大忙。
韋達在破解密碼時，受到了很大的啟發。他想：密碼就是大家事先約定好的一套符號，隻有內部人才知道其中的意義，用這種別人不懂的符號來傳遞消息，就能保證其內容的安全。那麼，人們一樣可以把這種方法運用到數學中。數學家可以約定好，用特定的符號表示特定的意思，這樣寫起來就方便多了，也簡單多了。對啊！以前怎麼就沒想到呢？
後來，韋達經過進一步的研究，終於出版了一部數學專著。他不但用字母來表示未知數，還用字母來表示方程中的係數。比如，以此方程能表示成：ax＋b＝0。這些用法在今天看來小學生都會使用，但是在那時候卻是一種獨創性的做法。
韋達是一個偉大的數學開拓者，贏得了“代數之父”的美譽。不過他的工作還沒有完成，後來的很多數學家在他的基礎上，不斷完善著這個符號體係。今天，數學還在發展，數學語言也在不斷豐富它的“詞彙”。
3．“代數的由來”
“代數學”這個詞，是從拉丁文來的，不過它最早的源頭是阿拉伯文。因為發明這個詞的人是阿拉伯數學家。
花拉子模出大約出生於1400年前波斯北部城市花拉子模，他的名字也是根據這個城市的名字取的。據說他出生於一個商人的家庭，所以有機會跟著父親的商隊到處遊曆。他到過阿富汗、印度等好多國家，後來在巴格達地區定居，因此，他對這些國家的科學都非常了解。後來，他擔任了阿拉伯王朝的官員，對天文、地理、數學都很精通。
花拉子模生活的年代正處於阿拉伯王國最強大的時代。中世紀的阿拉伯正在不斷的對外擴張，它的版圖橫跨歐、亞、非三個大洲。中國的史書上把它叫做“大食國”。大食國吸收外國的文化，把希臘、波斯和印度的書籍都翻譯成阿拉伯文。因此，阿拉伯的科學家就有很多可以研究的資料。花拉子模也是在這種條件下研究“代數學”的。
《代數學》這本書就是花拉子模寫的，他在這本書裏討論了方程的解法，第一次給出了二次方程的一般解法，還把方程的解叫做“根”。這個說法一直沿用到現在。
之後，《代數學》傳到了歐洲，有個科學家叫做羅伯特把它翻譯成“還原與對消的科學”，也叫“方程的科學”也就是拉丁文中的“代數學”。因此，歐洲的眾多數學家也了解到了代數的知識，並有更多的後人繼續研究。
在中國，“代數學”這個名詞最早出現在1859年，也就是中國最後一個封建王朝——清朝時期。清朝數學家李善蘭和一個英國數學家一起，翻譯了一本英國的關於代數學的書，當時就定名為《代數學》。李善蘭還指出了，所謂代數學，就是用符號來代表數字的一種方法。
花拉子模的《代數學》這部偉大的作品是全世界人民共同的財富。
4．挑戰出來的公式
歐洲數學家取得過的一個偉大成就，就是發現了一元三次方程的求根公式。這個成就不是一個科學家單獨獲得的，而是很多人共同努力的結果。其中，做出最大貢獻的當屬意大利數學家塔塔利亞。他的發現是源於一次激烈的數學競賽。
塔塔利亞本名叫尼克羅，在戰爭中被法國士兵砍壞了牙床，變成了結巴。由於在意大利語中“塔塔利亞”是“口吃的人”的意思，人們就習慣稱他“塔塔利亞”。他7歲時父親就去世了，家境貧寒，但他十分好學，沒有錢買紙和筆，就在父親的青石墓碑上寫字計算。不到30歲，他就當上了威尼斯大學的數學教授。
在他教書的時候，許多人向他請教解一元三次方程的方法。但是，這是一個大難題。誰也沒有聲稱自己會解。塔塔利亞通過努力，發現了一種解特殊的一元三次方程的辦法。但是他誇大其詞，說自己會解所有的一元三次方程。
這個消息被一個叫菲俄的大學教授知道了。他不相信這是真的，因為他覺得，全世界隻有他才會解一元三次方程，這是他的老師——大名鼎鼎的數學家費羅教授——傳授給他的獨家秘方。這個叫什麼‘塔塔利亞’的小子怎麼可能比他還厲害！於是菲俄不服氣地向塔塔利亞提出挑戰。他們就用當時流行的數學競賽的辦法來一決勝負。
這時候塔塔利亞有些後悔了，因為他隻會解特殊的一元三次方程。他急得像熱鍋上的螞蟻：“這下可糟了，牛已經吹出去了，到時候肯定有很多人去看比賽，輸了就太丟臉，怎麼辦？”塔塔利亞靜下心來，認真地想一元三次方程的解法。為了這個他常常徹夜不眠。一直到比賽前10天，他終於找到了一種比較好的解法！
比賽正式開始，菲俄出的題目果然都是一元三次方程。塔塔利亞早有準備，拿出筆來，唰唰唰，才兩個小時，就把所有的題目都解完了。比賽的結果，當然是塔塔利亞大獲全勝。
這次比賽以後，塔塔利亞一舉成名。之後很多人向他請教，他卻隻字不提，因為他的解法還不完善。一直到以後的好幾年，塔塔利亞終於找到了比較完善的一元三次方程解決方式。
5．數學的“秘密”被公開了
今天大家都知道，一元三次方程解法的最早發現者，是意大利的數學家塔塔利亞。但是在數學史上，一元三次方程的求根公式卻叫做“卡當公式”。為什麼呢？卡當又是誰呢？卡當也是一個數學家。
塔塔利亞在和菲俄的數學挑戰中獲勝，這個消息傳遍了意大利全國，也傳到了數學家卡當的耳朵裏麵。卡當正在編一本數學專著《大法》，他非常想把解一元三次方程的最新成果寫到書裏。
他就去找塔塔利亞，要求塔塔利亞把三次方程的解法告訴他。塔塔利亞當然不會輕易開口。卡當也不輕易放棄。他用盡了各種方法，對塔塔利亞軟磨硬泡，還對天發誓一定不告訴別人。塔塔利亞想了半天，這才把解法寫成一首很難懂的詩，交給了卡當。
卡當回去以後，拿著塔塔利亞給他的詩，左看右看，上看下看，仔細研究，終於弄清了詩的意思，還給出了證明。他就把這個解法寫進了《大法》這本書裏，還出版了。他在書裏麵寫到：“這一解法來自一位最值得尊敬的朋友——布裏西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這個方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法，證法很難，我把它敘述如下。”
從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱作“卡當公式”，而它的發明人塔塔利亞反倒湮沒無聞了。
卡當違背了自己的誓言，不過他在公布的時候，並沒有把這個功勞攬到自己身上，而是如實地說明了這是塔塔利亞發現的，而且他對這個公式做出了證明，對塔塔利亞的工作進行了補充，在數學史上也有不可替代的貢獻。
更重要的是，卡當把這個“秘密”公布出來後，別的數學家也知道了這個偉大的成果，就不會再白白浪費時間去研究它了，還讓其他數學家在這個起點上進行新的開拓。這也是一件很有意義的事情。
6．被人遺忘的天才
在挪威首都奧斯陸的皇家公園裏，矗立著一座年輕人的雕像。他長得清秀單薄。這就是挪威著名的數學家阿爾貝。是他，衝破了籠罩在數學界上空200多年的陰雲，點燃了解決一元五次方程的希望之光。
阿爾貝
阿爾貝的一生是非常曲折的。他曆盡艱辛，為了堅持自己的理想，付出了生命的代價。
阿爾貝出身於一個窮牧師的家庭。家裏有7個兄弟姐妹，小時候上不起學，由他父親教識字，到了13歲才獲得一點兒獎學金，到一所天主教的學校上學。因為他營養不良，臉色蒼白，穿得又舊又破，像個窮裁縫，同學給他起了個外號叫“裁縫阿爾貝”。