知識就是力量。——培根：《新工具》
三大核心領域代數學範疇
1.算術
我們通常所說的算術一般有兩種含義，一種是從中國傳下來的，相當於一般所說的“數學”，如《九章算術》等。另一種是從歐洲數學翻譯過來的，源自希臘語，有“計算技術”之意。現在一般所說的“算術”，往往指自然數的四則運算；如果是在高等數學中，則有“數論”的含義。作為現代小學課程內容的算術，主要講的是自然數、正分數以及它們的四則運算，並通過由計數和度量而引起的一些最簡單的應用題加以鞏固。
算術算的上是數學中最古老的一個分支，它的一些結論是在長達數千年的時間裏，緩慢而逐漸地建立起來的。它們反映了勞動人民在許多世紀的活動中積累起來，並不斷凝固在人們意識中的經驗。
自然數 1，2，3，4……是在對於對象的有限集合進行計算的過程中，產生的抽象概念。日常生活中要求人們不僅要計算單個的對象，還要計算各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的量度需要，就要用到分數。
現代初等算術運算方法，主要起源於印度，時間大概在10世紀或11世紀。它後來被阿拉伯人采用，之後傳到西歐。15世紀，它被改造成現在的形式。在印度算術的後麵，可以明顯看到我國古代算術思想的影響。
19 世紀中葉，德國數學家、語言學家和社會活動家格拉斯曼第一次成功地挑選出一個基本公理體係，來定義加法與乘法運算；而算術的其他命題，可以作為邏輯的結果，從這一體係中被推導出來。後來，皮亞諾進一步完善了格拉斯曼的體係。
以上可以看出算術的基本概念和邏輯推論法則，以人類的實踐活動為基礎，深刻地反映了世界的客觀規律性。盡管它是高度抽象的，但由於它概括的原始材料是如此廣泛，因此我們幾乎離不開它。同時，它又構成了數學其他分支的最堅實的基礎。
2.初等代數
初等代數作為中學數學課程主要內容，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個方麵擴展的：其一是增加未知數的個數，考察由幾個未知數的若幹個方程所構成的二元或三元方程組（主要是一次方程組）；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發展完備了。
早在古巴比倫（公元前19世紀-前17世紀）就已經解決了一次和二次方程問題。歐幾裏得的《幾何原本》（公元前4世紀）中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》（公元1世紀）中就有三次方程和一次聯立方程組的解法，並運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術（李冶《測圓海鏡》）是有關一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學家發現了三次和四次方程的解法。
關於代數學符號發展的曆史，大致可分為三個階段：第一個階段為公元3世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，用文字敘述，稱為文字敘述代數；第二個階段為公元3世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算逐漸采用了縮寫的方法，稱為簡化代數。丟番圖的傑出貢獻之一，就是把希臘代數學簡化，開創了簡化代數。然而此後文字敘述代數，在除了印度以外的世界其他地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直持續到了15世紀；第三個階段為16世紀以後，對問題的解多半表現為由符號組成的數學速記，這些符號與所表現的內容沒有什麼明顯的聯係，稱為符號代數。16世紀的名著《分析方法入門》，對符號代數的發展有不少貢獻。16 世紀末，維葉特開創符號代數，經改進後成為現代的形式。
“＋”“－”號第一次在數學書中出現，是1489年魏德曼的著作。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從 1514 年由荷伊克開始的。1540 年，雷科德開始使用現在使用“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。1600年哈裏奧特創用大於號“＞”和小於號“＜”。1631 年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘卡爾達諾除運算符。1637 年，笛卡兒第一次使用了根號，並引進用字母表中頭前的字母表示已知數、後麵的字母表示未知數的習慣做法。至於“≮”“≯”“≠”這三個符號的出現，那是近代的事了。