著名數學題大觀
用砂粒填滿宇宙
阿基米德是一個著名的解題能手，解決了許多著名的數學難題。而且，他有一種特殊的本領，能用最簡單的方法解答最難的數學問題。對此，曆史學家們作了生動的記載。一些人乍見阿基米德要解答的題目，往往會感到無從下手，可是，一旦他們見了阿基米德的解答，便會情不自禁的讚歎：“竟有這等巧妙而簡單的解法。我怎麼就沒有想出來呢?”下麵這道“砂粒問題”就是一個著名的例子。
“如果用砂粒將整個宇宙空間都填滿，一共需要多少砂粒?”
要解答這樣的題目，首先要知道宇宙的大小。那時候，古希臘人認為宇宙是一個巨大的天球，日月星辰如同寶石般鑲嵌在天球的四周，而人類居住的地球呢，則正好處在於球的中央。
天球有多大呢?根據當時最流行的觀點，天球的直徑是地球的直徑的10000倍，而地球的周長是小於30萬斯塔迪姆(1斯塔迪姆約等於188米)。
阿基米德為了使他的計算更能說服人，有意把這個數值擴大了10倍。他假設地球的周長小於300萬斯塔迪姆，並由此算出宇宙的直徑小於100億斯塔迪姆。
那麼，砂粒有多大呢?同樣是為了增強說服力，阿基米德又有了意將砂粒描繪得非常非常小。他假設1000顆砂才有1顆罌粟籽那麼大，而每1顆罌粟籽的直徑隻有1英寸的1/40。
當時，古希臘的記數單位最大才到萬，很難滿足解答這個題目的需要，於是，阿基米德又將記數單位作了擴充，創造了一套表示大數的方法。他將1萬叫做第一級單位，將1萬的1萬倍(即1億)叫做第二級單位，將第二級單位的1億倍叫做第三級單位，將第三級單位的1億倍叫做第四級單位，……像這樣一直取到了第八級單位。
把這一切都安排妥貼後，阿基米德沒有急於馬上去計算填滿宇宙的砂粒數，而是首先著手解決一個比較簡單的問題：填滿一個直徑為1英寸的圓球，一共需要多少顆砂粒?
因為1顆罌粟籽的直徑是1/40英寸，13∶403=1∶64000，所以，填滿直徑為1英寸的圓球，至多需要64億顆砂粒。這個數目比10個第二級單位小。
那麼，填滿直徑為1斯塔迪姆的圓球，一共需要多少顆砂粒呢?阿基米德的答案是：這個數目不會超過10萬個第三級單位。
接下來，阿基米德將圓球的直徑不斷擴大，逐一計算了當圓球的直徑是100、1萬、100萬、1億、100億個斯塔迪姆時，填滿它所需要的砂粒數。最後，阿基米德得出答案說：填滿整個宇宙空間所需要的砂粒數，不會超過1000萬個第八級單位。
這個數究竟有多大呢?用科學記數法表示就是1063。這是一個非常大的數，如果用一般的記數法表示，得在1的後麵接連寫上63個0。
古時候，人們把104叫做“黑暗”，把108叫做是“黑暗的黑暗”，意思是它們已經大得數不清了，而阿基米德算出這個數，不知要比“黑暗的黑暗”還要“黑暗”多少倍。由此可見，解答“砂粒問題”，不僅顯示了阿基米德高超的計算能力，也顯示了他驚人的膽識與氣魄。
不過，用1063顆砂粒是填不滿宇宙空間的，充其量也隻能填滿宇宙一個小小的角落。但是，這不是阿基米德計算的過錯。因為古希臘人心目中的“天球”，即使與現在已經觀測到的宇宙空間相比，充其量也隻能算是一個小小的角落。
斐波拉契數列
13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下麵這個題目：
“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裏，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子?”
推算一下兔子的對數是很有意思的。為了敘述更有條理，我們假設最初的一對兔子出生在頭一年的12月份。顯然，1月份裏隻有1對兔子；到2月份時，這對兔子生了1對小兔，總共有2對兔子；在3月份裏，這對兔子又生了1對小兔，總共有3對小兔子；到4月份時，2月份出生的兔子開始生小兔了，這個月共出生了2對小兔，所以共有5對兔子；在5月份裏，不僅最初的那對兔子和2月份出生的兔子各生了1對小兔，3月份出生的兔子也生了1對小兔，總共出生了3對兔子，所以共有8對兔子……