36?數學悖論趣談(1 / 2)

36數學悖論趣談

悖論是邏輯學的術語,原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子·難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚國人,聲稱他的矛鋒利無比,什麼樣的盾都能刺穿,而他的盾堅韌異常,什麼樣的矛都刺不穿,人問:“以子之矛,陷子之盾,何如?”楚人無言以對。這裏關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中,其涵義已被擴大化,常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。

悖論雖然看似荒誕,但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚,為之絞盡腦汁,並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說,悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。

世界上有記載的最早的悖論,是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在我國公元前三世紀的《莊子·天下篇》中,也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的“集合論悖論”,它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎,引發了所謂的“第三次數學危機”。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。

本文隻想談點輕鬆的話題。其實,許多數學悖論是饒有趣味的,它不僅可以令你大開眼界,還可以從中享受到無盡的樂趣。麵對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題,你必須作一點智力準備,否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下麵的幾個小故事,你就會相信此話不假。

第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受托去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況,他很快統計出,A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些,對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道,稱由抽取的三所學校的調查數據看,中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來,他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計複核,匪夷所思的事情發生了,這時他得出的統計結果令他大吃一驚,原來訂閱《中學生數學》的所有學生中,女生的比例比男生要大些,怎麼會是這樣呢?這就象在玩一個魔術,少的變多了,多的變少了。你能幫他找找原因嗎?

接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。

一位美國數學家來到一個賭場,隨便叫住兩個賭客,要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是,兩個人把身上的錢都掏出采,數一數,誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想,如果我身上的錢比對方多,我就會輸掉這些錢,但是,如果對方的錢比我多,我就會贏得多於我帶的錢數的錢,所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的,可能性是一半對一半,因此這種賭法對我有利,值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。

現在的問題是,一場賭博怎麼會對雙方都有利呢?這象不象一場機會均等的猜硬幣正反麵的遊戲,輸了隻付1元,而贏了則收2元呢?據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美國人》雜誌社一直在征求這個問題的答案呢。其實隻要認真分析一下,對這個問題也不難給出有說服力的解釋。

讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生,考試將在下周內某一天進行,具體在星期幾呢?隻有到了考試那天才知道,這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力,他們想,按教授的說法,不會是星期五考試,因為如果到了星期四還沒有考試,那教授說的“隻有到了考試那天才知道,這是預先料不到的”這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就隻可能在星期一到星期四考。既然這樣,星期四也不可能考,因為到了星期三還沒有考試的話,就隻能是星期四了,這樣的話,也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興,教授的話已經導出矛盾了,輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下周的星期二,教授宣布考試,學生們都愣住了,怎麼嚴格的推理失效了呢?教授確實兌現了自己說的話,誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想,學生們的推理究竟錯在哪裏呢?