第六章
表內：s0=0,s1=27,s2＝27+64，s3＝27+64+125,…
上差：s1-s0=27,s2-s1=64,s3-s2=125,…
二差：64-27=37,125-64=61,216-125=91,…
下差：30-24=6,36-30=6,42-36=6,…
下差是常數，故是最後的差數。依招差術計算，到第n日招到的總人數是：
Sn=27n+37n(n-1)2!+24n(n-1)(n-2)3!+
6n(n-1)(n-2)(n-3)4!
表內各項的係數27，37，24，6是表內上差、二差、三差、下差各行的第一個數字。朱世傑設m＝n-3，已知sn＝23400，上式化為：
27(m+3)+372!(m+3)(m+2)+243!(m+3)(m+2)(m+1)+64!(m+3)(m+2)(m+1)m=23400
化簡得：
m4+22m3+181m2+660m-92736=0
用增乘開方法求得m＝12，故n＝15(日)。
在《四元玉鑒》卷中“茭草地段”門，朱世傑擴充了楊輝的三角垛求和公式，建立起屬於
∑nr=1r(r+1)(r+2)…(r+p-1)p!
=n(n+1)(n+2)……(n+p)(p+1)!
類型的一係列公式，作為研究一般高階等差級數的基本公式。同餘式理論
《孫子算經》之後，一次同餘式理論成了中國古代數學中的一個十分引人注目的內容。從西漢到宋代的千餘年間，有很多天文學家和數學家進行了這方麵的研究，終於在秦九韶手中發展成一個係統的理論——大衍求一術，並且推廣其應用範圍，取得了舉世公認的傑出成就。
秦九韶自幼愛好數學，少年時跟隨父親到杭州，曾跟當時太史局的一些著名的天文學家數學家學習天文、曆算。1247年9月他總結20餘年的刻苦鑽研成果，寫成《數書九章》18卷，其中第一、二卷詳細討論了一次同餘式的解法。
秦九韶首先提出了一些有關的概念。以“物不知數”題為例，他把題中的3、5、7這類數叫做“定母”；把它們的最小公倍數105稱為“衍母”；把用3、5、7除105所得的商35、21、15稱為“衍數”，通過分析而得到的數字2、1、1稱為“乘率”。計算的關鍵實質上就是求“乘率”，即求第三章介紹的孫子剩餘定理中的α、β、γ，因為有了這三個數，答案N通過公式是不難算出的。
秦九韶在創立剩餘定理時的主要功績之一是給出了一個求“乘率”的方法，即他所謂的“大衍求一術”。
設A和G是兩個互質的正整數，所謂“乘率”α，其應滿足αG≡1(modA)。按“大衍求一術”，如果G>A，設G＝Aq+G1G1 A＝G1q1+r1K1=q1
G1=r1q2+r2K2=q2K1+1
r1=r2q3+r3K3=q3K2+K1
rn-2=rn-1qn+rn(rn=1)Kn=qnKn-1+Kn-2
當rn＝1而n是偶數時，最後得出的Kn就是所要求的“乘率”α，如果αn＝1而n是奇數，那麼再往下除一次，即計算rn+1＝rnqn+rn-1，由於rn=1，所以若令商數qn+1=rn+1-1，則餘數rn+1仍舊是1。這時作Kn+1＝qn+1Kn+Kn-1，因為n+1是偶數，所以Kn-1就是所求的乘率。
求出乘率，問題便迎刃而解了。因此說秦九韶的“大衍求一術”是解決一次同餘式問題的關鍵方法，在使用上很有價值。《數書九章》中秦九韶舉了許多需要用大衍求一術解決的應用問題，如“古曆會積”、“積尺尋源”、“推計土功”、“程行計地”等等，廣泛用於解決曆法、工程、賦役和軍旅等實際問題。有些問題中的模A、B、C還不是兩兩互質的，對此秦九韶也給出了正確的計算程序，通過適當地選用因子使兩兩不互質的模轉化為兩兩互質的情況，所有這些計算方法都十分合理正確，形式也特別整齊、簡明，可以看出秦九韶在數學上的造詣之深。