第二章7
47幾何學的一大寶藏
100多年前，一位心理學家做了個有趣的實驗。他精心設計出許多不同的矩形，然後邀請許多朋友來參觀，請他們各自選擇一個自認為最美的矩形。結果，592位來賓選出了4個矩形。
這4個矩形看上去協調、勻稱、舒適，確實能給人一種美的享受。那麼，這種美的奧秘在哪裏呢？
心理學家動手測量了它們的邊長，發現它們的長和寬分別是：5、8；8，13；13，21；21，34。而這些邊長的比值，又都出乎意料地接近了0618。
58≈0625；813≈0615；
1321≈0619；2134≈0618。
這是一次偶然的巧合嗎？
選擇一扇看上去最勻稱的窗戶，量一量它的各個邊長吧；選一冊裝幀精美的圖書，算一算它邊長的比值吧……隻要留心觀察，就不難時時發現“0618”的蹤跡。有經驗的報幕員上台亮相，決不會走到舞台的正中央，而是站在近乎舞台長度的0618倍處，給觀眾留下一個美的形象……
哪裏有“0618”，哪裏就閃爍著美的光輝。連女神維納斯的雕像上也都烙有“0618”的印記。如若不信，不妨去算一算這尊女神身長與軀幹的比值，看看是不是接近於0618？而一般人身長與軀幹之比，大約隻有058。難怪芭蕾舞演員在翩翩起舞時，要不時地踮起腳尖呢。
這些都是偶然的巧合嗎？當然不是。數學家會告訴你，它們遵循著數學的黃金分割律。
公元前4世紀，有位叫攸多克薩斯的古希臘數學家，曾經研究過這樣一個問題：“如何在線段AB上選一點C，使得AB∶AC＝AC∶CB?”這就是赫赫有名的黃金分割。
C點應該選擇在什麼地方呢？不妨假設線段AB的長度是1C，點到A點的長度是X，則C點到B點的長度是（1－X），於是
1∶X＝X∶（1－X）
解得X＝-1+52。
舍去負值，得X＝5-12≈0618。
“0618”是唯一滿足黃金分割的點，叫做黃金分割點。
黃金分割冠以“黃金”二字，足見人們對它的珍視。藝術家們發現，遵循黃金分割來設計人體形象，人體就會呈現最優美的身段，音樂家們發現，將手指放在琴弦的黃金分割點處，樂聲就益發宏亮，音色就更加和諧；建築師們發現，遵循黃金分割去設計殿堂，殿堂就更加雄偉莊重，去設計別墅，別墅將更使人感到舒適；科學家們發現，將黃金分割運用到生產實踐和科學實驗中，能夠取得顯著的經濟效益……
黃金分割的應用極其廣泛，不愧為幾何學的一大寶藏。
48送給外星人看
幾何學裏有一個非常重要的定理，在我國叫勾股定理，在國外叫畢達哥拉斯定理，相傳畢達哥拉斯發現這個定理後欣喜欲狂，宰了100頭牛大肆慶賀了許多天，因此這個定理也叫百牛定理。
勾股定理的大意是：任意畫一個直角三角形，它的兩條直角邊的平方和，一定會等於斜邊的平方。這個定理精確地刻畫了直角三角形3條邊之間的數量關係，以它為基礎，還可以推導出不少重要的數學結論來。
勾股定理不僅是最古老的數學定理之一，也是數學中證法最多的一個定理。幾千年來，人們已經發現了400多種不同的證明方法，足以編成厚厚的一本書。實際上，國外確實有一本這樣的書，書中收集有370多種不同的證法。在為數眾多的證題者中，不僅有著名的數學家，也有許多數學愛好者。美國第20任總統伽菲爾德，就曾發現過一種巧妙的證法。
伽菲爾德的證法很有趣。他首先畫兩個同樣大小的直角三角形，然後設法組成一個梯形。根據梯形麵積的計算公式，整個圖形的麵積為
S＝a+b2(a+b)
＝12（a2＋b2＋2ab）。
另一方麵，根據三角形麵積計算公式，整個圖形的麵積為
S＝12ab＋12ab＋12c2＝12（2ab＋c2）。
即a2＋b2＝c2。
據說，世界上最先證明勾股定理的人，是古希臘數學家畢達哥拉斯，但誰也未見過他的證法。目前所能見到的最早的一種證法，屬於古希臘數學家歐幾裏得，他的證法采用演繹推理的形式，記載在世界上數學名著《幾何原本》裏。
在我國，最先明確地證明勾股定理的人，是三國時期的數學家趙爽。
趙爽的證法很有特色。首先，他作4個同樣大小的直角三角形，將它們拚成設定的形狀，然後再著手計算整個圖形的麵積。顯然，整個圖形是一個正方形，它的邊長是C，麵積為C2。另一方麵，整個圖形又可以看作是4個三角形與1個小正方形麵積的和。4個三角形的總麵積是2ab，中間那個小正方形的麵積是（b－a）2，它們的和是2ab＋（b－a）2＝a2＋b2。比較這兩種方法算出的結果，就有，
a2＋b2＝c2。
趙爽的證法鮮明地體現了我國古代證題術的特色。這就是先對圖形進行移、合、拚、補，然後再通過代數運算得出幾何問題的證明。這種方法融幾何代數於一體，不僅嚴謹，而且直觀，顯示出與古代西方數學完全不同的風格。
比趙爽稍晚幾年，我國數學家劉徽發明了一種更巧妙的證法。在劉徽的證法裏，已經用不著進行代數運算了。
劉徽想：直角三角形3條邊的平方，可以看作3個不全相等的正方形，這樣，要證明勾股定理，就可以理解為要證明：兩條直角邊上的正方形麵積之和，等於斜邊上正方形的麵積。
於是，劉徽首先作出兩條直角邊上的正方形，他把由一條直角邊形成的正方形叫做“朱方”，把由另一條直角邊形成的正方形叫做“青方”，然後把圖中標注有“出”的那部分圖形，移到標注有“入”的那些位置，就拚成了圖中斜置的那個正方形。劉徽把斜置的那個正方形叫做“弦方”，它正好是由直角三角形斜邊形成的一個正方形。
經過這樣一番移、合、拚、補，自然而然地得出結論：
朱方十青方＝弦方。
即a2＋b2＝c2。
“青朱出入圖”，這是一幅多麼神奇的圖啊！甚至不用去標注任何文字，隻要相應地塗上朱、青兩種顏色，也能把蘊含於勾股定理中的數學真理，清晰地展示在世人麵前。