第二章7
21數學王子高斯
高斯，德國數學家、天文學家、物理學家。1777年生於德意誌一個貧苦農民家庭。
高斯是數學史上少有的天才。很多人都認為偉大的科學家和才子都出自書香門第，家裏人可以對他的智力進行較早的開發。可是，高斯的出身卻正好推翻了這一論斷。高斯的祖父是一個樸實的德國農民，父親也以種果樹為生，母親則是一個窮石匠的女兒。由於家貧，他的母親在34歲時才做新娘，而他父親這時已經40歲了。父親根本就沒有指望他能讀書長學問，也根本不可能對他進行早期教育。幸運的是，高斯有一個聰明的舅舅，他是一位心靈手巧的織綢能手，雖然文化不高，但知道許多故事。這位舅舅也十分喜歡高斯，常常通過給他講故事來教育他。
高斯的父親整天忙於自己的事，根本沒有時間照顧小高斯。隻要高斯不哭，他就專心算自己的賬。而小高斯則經常在旁邊一聲不響地看父親算賬。有一次，還在牙牙學語的高斯像往常一樣聚精會神地看父親算賬。父親一邊算，一邊直搖頭，算來算去也算不出一個結果來，過了好久，才自言自語地報出一個結果。父親緊縮的眉頭終於舒展了，點上一支煙，深深地吸了一口，一邊準備把答案寫下來。可是小高斯在一旁卻用小手敲擊著桌子，不停地搖頭，向父親示意這個結果是不正確的，然後自己從小嘴中慢慢地說出了一個數字。父親感到十分驚異，兒子還不會說話，怎麼會報數呢?他突然靈感一現，莫不是高斯說的是自己所計算的正確答案。於是，父親抱著好奇的心理，重新進行演算，答案竟然真的和高斯說的一樣，高斯對了！
父親高興極了，逢人便誇自己的兒子還不會說話就會做數學了。此後，高斯的父親發現高斯具有良好的天賦，於是決定全家省吃儉用送他去讀書。
1795年10月，高斯遠離家鄉來到他渴望已久的哥廷根大學深造。很快，那裏豐富的數學藏書深深地吸引了他。
在哥廷根大學的第一年，高斯就用代數方法解決了兩千多年來對正幾邊形用直尺和圓規幾何作圖的世界性難題。同時，他還證明了單用圓規和直尺根本不可能作出正七邊形、正九邊形、正十一邊形、正十三邊形和正十四邊形。也就是說，高斯用一般性的方法歸納證明哪些正多邊形可以用直尺和圓規做出來，哪些做不出來。他的這種思想已經超越他所在時代的方法論水平，具有很高的創意。少年高斯的這一數學思想，將數學的方法論研究帶入了一個新領域。有一天，高斯帶著他正十七邊形可以用幾何作圖的代數證明去找哥廷根大學的數學教授卡斯特請教。高斯說明來意後，卡斯特先是大吃一驚，然後哈哈大笑起來。他根本不相信一個19歲的少年能解決這道兩千多年來的數學難題。
為了讓卡斯特對他的證明感興趣，高斯換了一個說法：“卡斯特教授，我曾經解出過一道十七次方的代數方程。”
“年輕人，別開玩笑了。科學是神聖的，容不得半點虛假。”卡斯特一臉嚴肅地說。
“但這是真的。教授，我把這個十七次方程化簡成了一個低次方程。”高斯冷靜地答道。
“噢，那好吧，讓我看看你的‘傑作’吧！”卡斯特略帶懷疑、甚至嘲諷的口氣說道，把高斯的手稿接了過去。
不看則罷，看了之後，卡斯特大吃一驚：這個少年太神奇了，其中的運算推理極其嚴密，看不出半點漏洞。卡斯特馬上讓高斯把證明過程重新整理，然後由他推薦到一家著名數學雜誌上去發表。高斯小小的年紀就引起了世界數學界的注意，他自己也對這個發現十分得意。他在日記中寫道：“這是多麼幹淨利索、周密漂亮！我死以後，要在墓碑上鐫刻一個正十七邊形，以紀念我在少年時代最偉大的發現！”
高斯是數學領域繼歐幾裏德、牛頓、歐拉以後最偉大的數學家，有人稱之為“數學之王”。
22法國應用數學家柯西
柯西，1789年8月21日出生生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。
柯西在幼年時，他的父親常帶領他到法國參議院內的辦公室，並且在那裏指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數學家。他們對他的才能十分常識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數學家，但建議他的父親在他學好文科前不要學數學。
柯西於1802年入中學。在中學時，他的拉丁文和希臘文取得優異成績，多次參加競賽獲獎；數學成績也深受老師讚揚。他於1805年考入綜合工科學校，在那裏主要學習數學和力學；1807年考入橋梁公路學校，1810年以優異成績畢業，前往瑟堡參加海港建設工程。
柯西去瑟堡時攜帶了拉格朗日的解析函數論和拉普拉斯的天體力學，後來還陸續收到從巴黎寄出或從當地借得的一些數學書。他在業餘時間悉心攻讀有關數學各分支方麵的書籍，從數論直到天文學方麵。根據拉格朗日的建議，他進行了多麵體的研究，並於1811及1812年向科學院提交了兩篇論文，其中主要成果是：
(1)證明了凸正多麵體隻有五種(麵數分別是4，6，8，12，20)，星形正多麵體隻有四種(麵數是12的三種，麵數是20的一種)。
(2)得到了歐拉關於多麵體的頂點、麵和棱的個數關係式的另一證明並加以推廣。
(3)證明了各麵固定的多麵體必然是固定的，從此可導出從未證明過的歐幾裏得的一個定理。
這兩篇論文在數學界造成了極大的影響。柯西在瑟堡由於工作勞累生病，於1812年回到巴黎他的父母家中休養。
柯西於1813年在巴黎被任命為運河工程的工程師，他在巴黎休養和擔任工程師期間，繼續潛心研究數學並且參加學術活動。這一時期他的主要貢獻是：
(1)研究代換理論，發表了代換理論和群論在曆史上的基本論文。
(2)證明了費馬關於多角形數的猜測，即任何正整數是個角形數的和。這一猜測當時已提出了一百多年，經過許多數學家研究，都沒有能夠解決。以上兩項研究是柯西在瑟堡時開始進行的。
(3)用複變函數的積分計算實積分，這是複變函數論中柯西積分定理的出發點。
(4)研究液體表麵波的傳播問題，得到流體力學中的一些經典結果，於1815年得法國科學院數學大獎。
以上突出成果的發表給柯西帶來了很高的聲譽，他成為當時一位國際上著名的青年數學家。
1815年法國拿破侖失敗，波旁王朝複辟，路易十八當上了法王。柯西於1816年先後被任命為法國科學院院士和綜合工科學校教授。1821年又被任命為巴黎大學力學教授，還曾在法蘭西學院授課。這一時期他的主要貢獻是：
(1)在綜合工科學校講授分析課程，建立了微積分的基礎極限理論，還闡明了極限理論。在此以前，微積分和級數的概念是模糊不清的。由於柯西的講法與傳統方式不同，當時學校師生對他提出了許多非議。
柯西在這一時期出版的著作有《代數分析教程》《無窮小分析教程概要》和《微積分在幾何中應用教程》。這些工作為微積分奠定了基礎，促進了數學的發展，成為數學教程的典範。
(2)柯西在擔任巴黎大學力學教授後，重新研究連續介質力學。在1822年的一篇論文中，他建立了彈性理論的基礎。
(3)繼續研究複平麵上的積分及留數計算，並應用有關結果研究數學物理中的偏微分方程等。
他的大量論文分別在法國科學院論文集和他自己編寫的期刊“數學習題”上發表。
1830年法國爆發了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲力浦繼任法王。當時規定在法國擔任公職必須宣誓對新法王效忠，由於柯西屬於擁護波旁王朝的正統派，他拒絕宣誓效忠，並自行離開法國。他先到瑞士，後於1832～1833年任意大利都靈大學數學物理教授，並參加當地科學院的學術活動。那時他研究了複變函數的級數展開和微分方程(強級數法)，並為此作出重要貢獻。
1833～1838年柯西先在布拉格、後在戈爾茲擔任波旁王朝“王儲”波爾多公爵的教師，最後被授予“男爵”封號。在此期間，他的研究工作進行得較少。
1838年柯西回到巴黎。由於他沒有宣誓對法王效忠，隻能參加科學院的學術活動，不能擔任教學工作。他在創辦不久的法國科學院報告“和他自己編寫的期刊分析及數學物理習題”上發表了關於複變函數、天體力學、彈性力學等方麵的大批重要論文。
1848年法國又爆發了革命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和國，廢除了公職人員對法王效忠的宣誓。柯西於1848年擔任了巴黎大學數理天文學教授，重新進行他在法國高等學校中斷了18年的教學工作。