尺規作圖拾趣
希臘是奧林匹克運動的發源地。奧運會上的每一個競賽項目，對運動器械都有明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰“更快、更高、更強”。一些古希臘人認為，幾何作圖也應像體育競賽一樣，對作圖工作作一番明確的規定，不然的話，就不易顯示出誰的邏輯思維能力更強。
應該怎樣限製幾何作圖工具呢?他們認為，幾何圖形都是由直線和圓組成的，有了直尺和圓規，就能作出這兩樣圖形，不需要再添加其他的工具。於是規定在幾何作圖時，隻準許使用圓規和沒有刻度的直尺，並且規定隻準許使用有限次。
由於有了這樣一個規定，一些普普通通的幾何作圖題，頃刻間身價百倍，萬眾矚目，有不少題目甚至讓西方數學家苦苦思索了2000多年。
尺規作圖特有的魅力，使無數的人沉湎其中，樂而忘返。連拿破侖這樣一位威震歐洲的風雲人物，在轉戰南北的餘暇，也常常沉醉於尺規作圖的樂趣中。有一次，他還編了一道尺規作圖題，向全法國數學家挑戰呢。
拿破侖出的題目是：“隻準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分。”
由於圓心O是已知的，求出這個題目的答案並不難。
我們可以在圓周上任意選一點A，用圓規量出OA的長度，然後以A點為圓心畫弧，得到B點；再以B點為圓心畫弧，得到C點；再以C點為圓心畫弧，得到D點。這時，用圓規量出AC的長度，再分別以A點和D點為圓心畫兩條弧，得到交點M。接下來，隻要用圓規量出OM的長度，逐一在圓周上劃分，就可以把圓周4等分了。
如果再增添一把直尺，將這些4等分點連接起來，就可以得到一個正4邊形。由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實際上是一回事。
隻使用直尺和圓規，怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。
不過，隻使用直尺和圓規，要作出正7邊形可就不那麼容易了。別看由6到7，僅僅隻增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策。後來，大數學家阿基米德發現了前人之所以全都失敗了的原因：正7邊形是不能由尺規作出的。阿基米德從理論上嚴格證明了這一結論。
那麼，采用尺規作圖法，究竟有哪些正多邊形作得出來，有哪些作不出來呢?
有人猜測：如果正多邊形的邊數是大於5的質數，這種正多邊形就一定作不出來。
17是一個比5大的質數，按上麵這種說法，正17邊形是一定作不出來的。在過去的2000年裏，確實有許多數學家試圖作出正17邊形，但無一不遭受失敗。豈料在1796年，18歲的大學生高斯居然用尺規作出了一個正17邊形，頓時震動了整個歐洲數學界。
這件事也深深震動了高斯，使他充分意識到自己的數學能力，從此決心獻身於數學研究，後來終於成為一代數學大師。
高斯還發明了一個判別法則，指出什麼樣的正多邊形能由尺規作出，什麼樣的正多邊形則不能，圓滿地解決了正多邊形的可能性問題。高斯的判別法則表明，能夠由尺規作出的正多邊形是很少的，例如，在邊數是100以內的正多邊形中，能夠由尺規作出的隻有24種。
有趣的是，正7邊形的邊數雖少，卻不能由尺規作出；而正257邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832邊形，邊數多得叫人實際上很難畫出這樣的圖形，卻一定可由尺規作出。1832年，數學家黎克洛根據高斯指出的原則，解決了正257邊形的作圖問題。他的作圖步驟極其繁瑣，寫滿了80頁紙，創造了一項“世界紀錄”。
不久，德國人赫爾梅斯又刷新了這個紀錄。他費了10年功夫，解決了正65537有的作圖問題。這是世界上最繁瑣的尺規作圖題。據說，赫爾梅斯手稿可以裝滿整整一手提箱呢!