神秘的兩棲物
著名數學家華羅庚說過：“數是數（shǔ）出來的，一個一個地數（shǔ），因而出現了1，2，3，4，5……”其實，不僅是自然數，其他一些數的引入，也都與物體的度量有關。分數的引入，與度量物體的細小部分有關；無理數的引入，與度量正方形對角線這類長度有關……
16世紀時，數學家們遇到了一種奇怪的數，這種數與物體的度量無關，而且在很長的一段時間裏，誰都沒能在生活中找到一樣事物，說它需要用這種數來刻畫。
例如，意大利數學家卡當就曾遇見過這種奇怪的數。有一次，他動手解答一道很簡單的數學題：“兩個數的和是10，積是40，問這兩個數各是多少？”
卡當設第一個數是X，由於兩個數的和是10，他將第二個數記作（10－X）；因為兩個數的積是40，於是有
X（X－10）＝40，
即X2－10X＋40＝0。
這是一個一元二次方程。數學家們早就知道了這類方程的求根公式，隻要把方程的係數1、－10、40代入公式裏，馬上就可以算出方程的兩個答案來。可是，當卡當把1、－10、40代入公式後，卻算出了兩個令人困惑不解的怪東西：5＋-15和5－-15。
卡當為什麼困惑不解呢？
原來，他遇上了負數開平方的情形。“ ”是開平方運算的符號，如32＝9，則9＝3。人們一直認為，負數是不能開平方的，不僅如此，當時的人們對一些正數開平方，如2、15，也認為“僅僅是些記號而已”，不承認它們是一種數。因此，討論-15就更加沒有意義了。
卡當想，既然“15僅僅是些記號而已”，那麼，何嚐不把-15也看作“是些記號而已”呢？他鼓足勇氣，“不管良心會受到多大的責備”，把那兩個怪東西當作是兩個數，代入題中進行了演算。瞧：
（5＋-15）＋（5－-15）＝10，
（5＋-15）×（5－-15）＝40，
這兩個怪東西正好是題目要求的數！
從這個意義上說，這兩個怪東西應該是一種數。可是，這是一種什麼樣的數呢？卡當沒有弄清楚，17世紀的數學家們，也沒有弄清楚。他們覺得這種數不像其他的數那樣“實在”，有一種虛無縹緲的味道，於是就起了個名字叫“虛數”。
盡管虛數有了數的名稱，許多數學家仍然拒絕承認它。例如大數學家牛頓就曾嚴厲指責虛數缺乏“實在”的物理意義。大數學家萊布尼茲更有趣，他說：虛數是“理想世界的奇異創造”，是一個“介於存在與不存在之間的兩棲物”。
18世紀下半葉，大數學家歐拉最先用i這個記號來表示虛數單位，例如，-1可以記作i，-15可以記作15i。但是，歐拉也沒有弄清虛數到底是個什麼東西。他說：“一切形如-1、-2的數學式，都是不可能有的、想像的數，……它們既不是什麼都是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼。它們純屬虛構。”
其實，虛數並不是虛構的數，其中的秘密，數學家們直到19世紀才弄清楚。有人用平麵上的點來表示虛數，對虛數的性質作出了合理的解釋，虛數也就逐漸為大家所接受。在現在高中課本裏，對虛數的性質作了詳細的敘述，到時候，讀者們自會去作一番探幽攬勝的巡遊，這裏就不多加介紹了。
需要指出的是，有了虛數之後，整個數係也就完備了。除了0不能作分母以外，任何兩個數都可以相加、相減、相乘、相除，以及乘方和開方了。