數學悖論趣談
悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子·難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚國人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人無言以對。這裏關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。
悖論雖然看似荒誕，但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚，為之絞盡腦汁，並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說，悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。
世界上有記載的最早的悖論，是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在我國公元前三世紀的《莊子·天下篇》中，也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的“集合論悖論”，它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎，引發了所謂的“第三次數學危機”。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。
本文隻想談點輕鬆的話題。其實，許多數學悖論是饒有趣味的，它不僅可以令你大開眼界，還可以從中享受到無盡的樂趣。麵對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題，你必須作一點智力準備，否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下麵的幾個小故事，你就會相信此話不假。
第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受托去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調查數據看，中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計複核，匪夷所思的事情發生了，這時他得出的統計結果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎麼會是這樣呢?這就象在玩一個魔術，少的變多了，多的變少了。你能幫他找找原因嗎?
接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。
一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出采，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。