二`科學的創新2
伯努利級數麵前的創新
瑞士數學家雅各·伯努利(1654～1705)，是當年著名的伯努利數學家族中的佼佼者。他對無窮級數很有研究，也求出過一些無窮級數的和。
112+122+132+…，被稱為伯努利級數。但是，“伯努利級數”卻“徒有虛名”——伯努利對這級數的求和問題一籌莫展。於是他聲稱，如果誰能求出這個無窮級數的和並把方法告訴他，他將非常感激。但伯努利一直未能如願以償，直至生命的終結。
伯努利死後兩年，歐拉出生了。他求得這個和為π2／6。
那麼，歐拉是用什麼方法求得這個和的呢?
歐拉設2n次代數方程(1)b0-b1x2+b2x4-…+(-1)nbnx2n=0的2n個不同的根是：±β1，±β2，…±βn。
我們知道，兩個代數方程如果有相同的根，而且常數項相等，那麼其他項的係數也應分別相等，所以有
b0-b1x2+b2x4-…+(-1)nbnx2n=b0（1-x2/β21）（1-x2/β22…（1-x2/β2n）。
比較上式等號兩邊x2的係數，就得到方程(2)b1=b0(1／β21+1／β22+…+1／β2n)。
現在，考慮三角方程sinx=0，它有無窮多個根：0，±π，±2π…。把sinx展開為級數後的方程兩邊除以x，就得到方程(3)1-x2／3！+x4/5！-x6/7！+…=0。
顯然，(3)的根是：±π，±2π…
本來，(3)的左方有無窮多項，也不是代數方程，明顯與(1)不同。但是，歐拉不管這些，硬拿(3)與(1)來做類比，並對(3)運用(2)，就得到1／3！=1／π2+1／(2π)2+1／(3π)2+…
這個式子就是有名的π2／6=1+1／22+1／32+…
這樣，歐拉就解決了“伯努利難題”。其結果刊登在1734年歐拉的一篇文章中。
從以上可以看出，類比推理的基本過程是5個：確定研究對象；尋找類比對象；將研究對象和類比對象進行比較，找出它們之間的相似關係；根據研究對象的已知信息，對相似關係進行重新處理；將類比對象的有關知識類推到研究對象上。
將這5個過程綜合起來，就得到以下類比推理的動態結構圖：
歐拉的類比雖然巧妙、大膽，但卻有失嚴密。因為雖然“一元n次方程有n個根”是成立的，但沒有“一元無限次方程有無限個根”這個定理，更不知道一元無限次方程的根與係數的關係。因此一些人指責他將有限項方程過渡到無限項方程缺乏可靠的邏輯依據。這正是：“常恨時人新意少，木秀於林又招風。”
歐拉自己也認識到這一點。因此，他不為求得答案而滿足，而是采用其他方法繼續研究，以回答這些人對他的詰難。歐拉最終找到了求該級數和的嚴格方法，並發表在他的大作《無窮分析引論》之中，這本書於1748年在瑞士洛桑出版。
歐拉通過有失嚴密但卻巧妙、大膽的類比，得到了正確的結論。從這件事中，我們可以得到以下有益的啟示。
在科學研究中，不能囿於現成的“嚴格”理論而裹足不前，不敢越雷池一步，不敢進行創新，否則就會錯過碰到鼻子尖的真理而一事無成。
挪威數學家阿貝爾(1802～1829)在1826年寫道：“在數學中幾乎沒有一個無窮級數是以嚴格的方式確定出來的。”所以，我們要敢於衝破“有限”，直取“無窮”，進而得到真理。如果事事要有依據，墨守原有理論，就不可能走得更遠。正如英國數學家拉姆(1849～1934)那廣為流傳的名言所說：“一個非親自檢查橋梁每一部分的堅固性而不過橋的旅行者，是不可能遠行的。冒險嚐試是必要的，在數學領域也應如此。”中國著名學者王梓坤(1929～)也深諳此道：“在科學研究中，不僅需要嚴格，而且還需要‘不嚴格’……”
事實上，在科學史中從“不嚴密”出發得出“嚴密”的例子不止一個。
在17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茲發明微積分理論的時候，使用了“不嚴密”的“無窮小”。他們將無窮小“招之即來，揮之即去”的做法並不嚴密，因而遭到許多人的反對，但這並不影響微積分理論的正確性。19世紀後半葉，人們終於用嚴密的極限理論代替了無窮小，使微積分理論建立在可靠的基礎之上，達到了微積分理論的“嚴密”。
對於歐拉的創新，我們不妨借英國哲學家弗朗西斯·培根(1561～1626)來讚賞：“推理建立起來的公理不足以產生新的發現，因為自然界的奧秘遠勝過推理的奧秘。”
科學的活水，永遠在創新的河床上奔流……
從尖鐵棒到等離子帶
1753年，在美國的勃蘭地茲，出了一件“怪事”：一些房屋上豎起了一根根鐵棒，它們的尖端直指蒼穹。
“這還了得，竟敢把‘矛頭’指向上帝!太不吉利了，太不吉利了!”
在教會和保守勢力這樣的蠱惑下，一些居民當晚就偷偷拆下了這些尖鐵棒。
“不吉利”果然降臨人間——一陣挾著雷電的暴風驟雨之後，沒有那種尖鐵棒的、“神聖”的教堂著火了。
愚昧付出了慘痛的代價，而裝有尖鐵棒的房屋則安然無恙——這和“太不吉利”的預言正好相反。
我們知道，那些尖鐵棒就是西方最早的避雷針，它是美國科學家富蘭克林(1706～1790)首先在這個地區試用的——一年前的夏天，他作出了這個發明。而有史料記載的世界上的第一根避雷針，則出現在中國的唐代武則天時期(684～704)。那時五台山的五個“台頂”曾建立過“鎮龍”鐵塔——一種避雷針。
富蘭克林的避雷針的原理，是用“尖頭”來引雷，這在理論上完全正確——與其對空中積累的電荷進行“堵拒”，倒不如“引導”，就像大禹當年治水“疏通九河”那樣。
但是，當尖頭避雷針在1762年傳到英國以後，英國國王喬治三世(1738～1820)在約1780年卻認為：避雷針應該做成鈍頭的形狀，這樣才可以“拒雷”。
於是，一場關於避雷針形狀的爭論，就持續了100多年。
在20世紀，美國物理學家莫爾對避雷針形狀進行了30多年的研究，最後得到了正確的結論：用鈍頭避雷針“引雷”來避雷，比用尖頭避雷針“拒雷”來避雷的效果更好——富蘭克林和喬治三世各對一半，各錯一半。
但是，人們卻不止一次地發現，即使裝上鈍頭避雷針或避雷帶，也不是進了“保險箱”——“雷公”、“電母”年年歲歲光顧，雷擊災難歲歲年年降臨。
這又是什麼原因呢?科學家們終於開了竅：安裝避雷針或避雷帶是被動地“守株待‘雷’”；而且，時機也不好——不是把它消滅在“搖籃”之中，而是等它長成“大器”之後。