四·趣味數學2
巧稱蘋果
秋天到了，蘋果園裏，樹上碩果累累，一派豐收景象。
小明的叔叔是林場的工程師，星期天加班。小明要叔叔帶他到果園去玩。
小明和叔叔來到蘋果質量檢驗處。叔叔仔細察看了職工們的工作：把摘下的蘋果分類，檢驗，裝箱。
“叔叔，一箱蘋果有多重?”小朋問。
“四五十公斤吧，重量不一定相同。”叔叔說。
“咱們稱一稱吧!”小明要求道。
“好。”叔叔把小明領到一架磅秤旁邊。不巧，管計量的職工有事離開了，把磅秤的小秤砣收了起來，隻留下了100公斤的大秤砣。
小明不高興了：“那怎麼稱一箱蘋果的重量?”
叔叔想了想，說：“咱們把這5箱蘋果兩兩合稱吧!”
小明說：“兩兩合稱就是每兩箱一起稱，一共要稱10次。”
叔叔說：“對。不過，需要說明一下：咱們稱的是蘋果連同紙箱的重量，叫做毛重；箱子裏麵蘋果的重量叫做淨重。咱們以下說的每箱蘋果的重量，都是毛重。”
小明和叔叔抬起蘋果箱過稱，記錄如下：
5箱蘋果，兩兩合稱，重量(單位：公斤)為：
111，112，113，114，115，
116，117，118，119，121。
叔叔知道小明是數學課外小組成員，便想考考他：“你算算每箱蘋果的重量，”叔叔又補充，“假定每箱蘋果重量的公斤數都是整數。”
小明說：“我把這10個數加起來，除以20，不就算出來了!”
叔叔笑了：“那是平均數。你從這10個數中，能看出這5箱蘋果的重量有兩箱相同嗎?”
小明說：“因為這10個數兩兩不相同，而且前麵9個是連續自然數，所以，我推測這5箱蘋果的重量兩兩不相同。”
“對。還有呢?”
“還有……沒有了!”
叔叔啟發說：“你從最簡單的數，比如1，2，3下手，找找規律。”
小明說：“我試試看。1，2，3兩兩相加，得到3，4，5。這是什麼規律呢?”
叔叔說：“思考要來一個飛躍，由簡單到複雜，由具體到抽象，才能發現規律。你剛才說的，抽象到一般情況就是，3個連續自然數n,n+1,n+2，兩兩之和為2n+1,2n+2,2n+3，還有3個連續自然數。”
小明恍然大悟：“哎呀，我的腦子到這會兒才有點兒開竅。111，112，113應該是3個連續自然數兩兩相加而得到的，這3個數是……”
小明在草稿紙上做了一些計算之後，把草稿紙遞給叔叔，說：“我已經算出來了，這5箱蘋果的重量是……”
小明觀察出這10個數，它們兩兩不同，而且前9個是連續的自然數，在叔叔的啟發下推出，這5箱蘋果的重量兩兩不相同，而且最小的3個重量數可能是連續的自然數。因為3個連續自然數兩兩之和仍為3個連續自然數，所以首先推出最小的3個重量的公斤數為55，56，57，它們兩兩之和為111，112，113。其次，第四個公斤數不可能是58，因為不然的話，便有58+55=56+57=113，得出了兩個113，這與已知條件“兩兩合稱，結果兩兩不同”相矛盾。取第四個公斤數為59，經過試驗：
55+59=114，56+59=115，
57+59=116，
符合已知條件。類似地，可以求得第五個公斤數為62。
因此，這5箱蘋果重量的公斤數分別是
55，56，57，59，62。
會下金蛋的母雞
神話裏有個仙人，他有一個神奇的寶盆，裝進石子就能變成金子；童話裏有個仙女，她有一個神奇的手指，能點石成金；……這些當然都是人們編造出來虛無飄渺的故事。
然而，在數學王國裏，卻真有一隻神奇的會下金蛋的母雞……
那是在300多年前的法國。
當時巴黎有一位律師，名叫皮埃爾·費爾馬，是一個數學愛好者。他把畢生的業餘時間都用來研究數學，並且在許多數學領域裏做出了開創性的貢獻，被人們稱為“業餘數學家之王”。
費爾馬性情好靜，不喜歡寫書和發表論文，但是喜歡在鑽研別人的著作時，在書頁的空白處隨時寫下問題，記下心得。
1637年，費爾馬在巴黎買了一本古希臘數學家丟番都的著作《算術》的拉丁文譯本。他在這本書第2卷的“將一個平方數分為兩個平方數”旁邊的空白處寫了一段話：“將一個立方數分為兩個立方數，一個四次冪分為兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關於這個結論，我確信已經發現了一種美妙的證明方法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下。”
當然，這段話是費爾馬死後，人們為編輯、整理他的論述而查閱他的書籍時發現的。
但是，誰也沒有見到過這個“美妙的證明”。費爾馬的兒子整理了他的全部遺稿和書信，都沒有找到那個“美妙的證明”。
後人把費爾馬寫在書頁空白處的那個結論叫做“費爾馬猜想”或“費爾馬問題”，但更普遍的是稱之為“費爾馬大定理”。用數學術語表達費爾馬大定理就是：“當n是大於2的整數時，方程xn＋yn＝zn沒有非零的整數解。”
費爾馬大定理的證明激起了許許多多數學家的興趣，高斯(“數學王子”)和歐拉(18世紀最優秀的數學家)都為證明它而花費了巨大的精力，但都沒有解決。人們驚呼：費爾馬大定理的證明實在太難了!它簡直是在向人類的智慧挑戰!
為了鼓勵人們解決這道難題，許多國家的科學院曾設立多種獎金。17世紀末，德國一個城市的科學家和市民募捐了10萬金馬克，準備獎給解決這個難題的人，但沒有得到結果；19世紀中，法國科學院兩次設立3千法郎獎金，也沒有得到結果；1908年，德國哥廷根科學院設立獎金10萬馬克，限期100年，向全世界征求費爾馬大定理的證明，到現在為止，仍然沒有看到完全的證明!
300多年來，一代一代數學家為了顯示人類的智慧，揭示難題背後的數學真理，不斷地創造新穎的數學方法，無意中創立和發展了新的數學分支，推動了整個數學的發展，這個意義遠遠超過了解決這個難題的本身。
1900年8月6日，第2屆國際數學家大會在巴黎開幕了。8月9日，德國大數學家希爾伯特向到會的200多名數學家，也是向國際數學界提出了23個問題，這些問題當然都是非常非常難的，是新世紀裏數學家們應當解決的。人們奇怪地問希爾伯特，為什麼不把費爾馬大定理列入這23個問題中去?希爾伯特意味深長地說：“如果我能解決這個問題，我將回避而故意不解決，這是因為我們應當更加注意，不要殺掉這隻經常為我們生出金蛋的母雞。”
希爾伯特把費爾馬大定理比作“經常為我們生出金蛋的母雞”，說明追求一個難題的解決，往往會使人們闖入新的領域裏去。例如，德國數學家庫麥爾(1810～1893)在研究費爾馬大定理的過程中，創立了重要的數學概念——理想數，同時開創了一門嶄新的數學分支——代數數論(1884)，在現代數學中，代數數論仍然是十分活躍的領域，因為數學家們認為，庫麥爾因此而創立的代數數論比費爾馬大定理本身還重要得多!
“光陰似箭，日月如梭”，轉眼就到了20世紀90年代，證明費爾馬大定理的工作也不斷取得進展。“說時遲，那時快”，曆史的指針指向了公元1993年，距離德國哥廷根科學院1908年懸賞10萬馬克征求費爾馬大定理的證明的100年有效期限，隻有短短的14年了!這時，在向費爾馬大定理進軍的征途中，傳出了震驚世界的消息：1993年6月23日，在英國劍橋大學舉行的一次小型數學學術會議上，四十多歲的威爾斯(AWiles)博士在連續3天的學術報告結束時宣布：他已證明了費爾馬大定理!幾小時內，費爾馬大定理獲得證明的消息傳遍四方，震驚了國際學術界。
威爾斯出生於英國牛津，小時候聽說過“一隻會下金蛋的母雞”故事後，就對費爾馬大定理著了迷，立誌征服這座無人登頂的數學王國的高峰。就是這條奇妙的定理將他引入數學的殿堂，他選擇“數學”作為他的職業。兒時的夢想，雖然帶有絢麗的光環，但是，對於已成為數學家的威爾斯博士來說，卻是一個耀眼的燈塔，他擬訂了一套切實可行的研究方案來實現他童年的夢想——證明費爾馬大定理。不過，所有這些研究工作都是極其秘密地進行的，就是在他宣布證明了費爾馬大定理的學術會上，人們開始也未能察覺到他報告的最終目標。