創建天元術與四元術
天元術和四元術是宋代創造的高次方程的數值解法。天元術是列方程的方法，四元術是高次方程組的解法。
在我國古代，解方程叫做“開方術”。至宋代，開方術已經發展到曆史的新階段，遠遠走在當時世界的前列。
我國古代曆史悠久，數學成就更是十分輝煌，在民間流傳著許多趣味數學題，一般都是以朗朗上口的詩歌形式表達出來的。其中就有許多方程題。
比如有一首詩問周瑜的年齡：
大江東去浪淘盡，千古風流數人物。
而立之年督東吳，早逝英年兩位數。
十比個位正小三，個位六倍與壽符。
哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？
依題意得周瑜的年齡是兩位數，而且個位數字比十位數字大3，若設十位數字為X，則個位數字為（X＋3），由“個位6倍與壽符”可列方程得：
6（X＋3）=10X＋（X＋3）
解得X=3，所以周瑜的年齡為36歲。
再如有一首詩問寺內多少僧人：
巍巍古寺在山林，
不知寺內幾多僧。
三百六十四隻碗，
看看用盡不差爭。
三人共食一碗菜，
四人共吃一碗羹。
請問先生名算者，
算來寺內幾多僧？
設寺內有僧人X個，3人共食一碗菜，則吃菜用碗X÷3個，四人共吃一碗羹，則喝羹用碗X÷4個，正好用完364個碗，得X÷3＋X÷4=364，解得X=624，所以寺內有624個僧人。
這些古代方程題非常有趣，既普及了數學知識，又激發了人們的數學思維。
在古代數學中，列方程和解方程是相互聯係的兩個重要問題。
宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代著名數學家王孝通撰寫的《緝古算經》，首次提出三次方程式正根的解法，能解決工程建設中上下寬狹不一的計算問題，是對古代數學理論的卓越貢獻，比阿拉伯人早300多年，比歐洲早600多年。
隨著宋代數學研究的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對於列方程方法的研究，於是出現了我國數學的又一項傑出創造天元術。
據史籍記載，金元之際已有一批有關天元術的著作，尤其是數學家李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。
李冶在數學專著《測圓海鏡》中通過勾股容圓問題全麵地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字符號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
《益古演段》則是李冶為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。他還著有《敬齋古今黈》、《敬齋文集》、《壁書叢削》、《泛說》等，前一種今有輯本12卷，後3種已失傳。
朱世傑所著《算學啟蒙》，內容包括常用數據、度量衡和田畝麵積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、麵積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全麵的數學啟蒙書籍。
朱世傑的代表作《四元玉鑒》記載了他所創造的高次方程組的建立與求解方法，以及他在高階等差級數求和、高階內插法等方麵的重要成就。