異想天開
泥版的故事
19世紀前期，人們在亞洲西部伊拉克境內發現了50萬塊泥版，上麵密密麻麻地刻有奇怪的符號。這些符號是古巴比倫人所用的文字，現在人們稱它為“楔形文字”。科學家經過研究，弄清了泥版上所記載的，是古巴比倫人已獲得的知識，其中包括了大量的數學知識。
古代人最初用石塊、繩結，後來又用手指來記數。一個指頭代表1，兩個指頭代表2，……，當數到10時，就得重新開始，巴比倫人由此產生了逢十進一概念。又因為，一年中月亮有12次圓缺，一隻手又有5個指頭，12×5=60。這樣，他們又有了隔60進一的記數法。他們用表示1，＜表示10，從1到9是把寫相應的次數，從10到50是把＜和結合起來寫相應的次數。例如35寫成＜＜＜。這種記數的方法，影響了後人，產生了現在我們所用的十進製和六十進製。例如，時間分為1小時=60分，1分=60秒。
巴比倫人還掌握了許多計算方法，並且編製各種數表幫助計算。從那些泥版上，人們發現巴比倫人已有了乘法表、倒數表、平方和立方表、平方根和立方根表。他們還運用了代數概念。
巴比倫泥版上還有這樣的問題：兄弟10人分123米那的銀子(米那及後麵的賽克爾都是古代的重量單位，其中1米那=60賽克爾)，已知他們分得的銀子數成等差數列，而且第八個人的銀子為6賽克爾，求每人所得的銀子數量。從這樣一些例子中，科學家認識到了巴比倫已知道等差數列、等比數列的概念。
巴比倫人也具備了初步的幾何知識。他們會把不規則形狀的田地分割為長方形、三角形和梯形來計算麵積，也能計算簡單的體積。他們非常熟悉等分圓周的方法，求得圓周與直徑的比π≈3，還使用了勾股定理。
他們的成就對後來數學的發展產生了巨大的影響。
何時照的相
萌萌照了三張相片，一張是上午拍的，一張是中午拍的，一張是晚上拍的。可是，哪張是在什麼時間拍的，她忘記了。你能把每張照片的拍攝時間告訴她嗎？
［答案：從影子看，(1)拍於上午；(2)拍於中午；(3)拍於晚上，她背後有三盞燈照射著。］
金字塔和紙草書
聞名世界的埃及金字塔，幾百年來不僅以它宏偉高大的氣勢，吸引了無數旅遊觀光者，而且由於它設計的別致，建造的精巧，吸引了世界各地的科學家。據對最大的胡夫金字塔的測算，發現它原高1465米(現因損壞還高137米)，基底正方形每邊長233米(現為227米)。但是，各底邊長度的誤差僅僅是16厘米，隻是全長的114600；基底直角的誤差隻有12″，僅為直角的127000。此外，金字塔的四個麵正向著東南西北，底麵正方形兩邊與正北的偏差，也分別隻有2′30″和5′30″。
這麼高大的金字塔，建造精度如此之高，這使得科學家深信，古埃及人已掌握了豐富的知識。當科學家破譯了古埃及人流傳下來草片上的文字後，這一猜想得到了證實。
原來，在尼羅河三角洲盛產一種形狀如蘆葦的水生植物——紙莎草，古埃及人把這種草從縱麵剖成小條，拚排整齊，連接成片，壓榨曬幹，用來寫字，在紙莎草上寫的字，叫紙草書。如今將這種紙草書的一部分整理出來。
1822年，一位名叫高博良的法國人弄清了它們的含義，使人們知道，古埃及人已學會用數學來管理國家和宗教事務，確定付給勞役者的報酬，求穀倉的容積和田地的麵積，按土地麵積估計應該征收的地稅，計算修造房屋和防禦工程所需要的磚塊數；計算釀造一定量酒所需的穀物數量；等等。換成數學的語言就是，古埃及人已經掌握了加減乘除運算、分數的運算；他們解決了一元一次方程和一類相當於二元二次方程組的特殊問題。紙草書上還有關於等差數列和等比數列的問題。他們計算矩形、三角形和梯形的麵積，長方體、圓柱體、棱台的體積等結果，與現代計算值相近。更令人驚奇的是，他們用公式A=(89d)2(d為直徑)來計算圓麵積，這相當於取π值為31605，這是非常了不起的。
由於具有了這樣的數學知識，古埃及人建成金字塔就不足為怪了。
佛掌上的“明珠”
印度是個信奉佛教的國度，古印度人對古代數學的貢獻，猶如印度佛掌上明珠那樣耀眼、令人注目。
在公元前3世紀，印度出現了數的記號。在公元200年到1200年之間，古印度人就知道了數字符號和0符號的應用，這些符號在某些情況下與現在的數字很相似。此後，印度數學引進十進位製的數字和確立數字的位值製，大大簡化了數的運算，並使記數法更加明確。如古巴比倫的小記即可以表示1，也可以表示160，而在印度人那裏，符號1隻能表示1單位，若表示十、百等，須在1的後麵寫上相應個數的0，現代人就是這樣來記數的。
印度人很早就會用負數來表示欠債和反方向運動。他們還接受了無理數概念，在實際計算中把適用於有理數的運算步驟用到無理數中去。他們還解出了一次方程和二次方程。
印度數學在幾何方麵沒有取得大的進展，但對三角學貢獻很多。這是古印度人熱衷於研究天文學的副產品。如在他們計算中已經用了三種三角量：一種相當於現在的正弦，一種相當於餘弦，另一種是正矢，等於1cosa，現在已不采用。他們已經知道三角量之間的某些關係式。如sin2α+cos2α=1，cos(90°-α)=sinα等，還利用半角表達式計算某些特殊角的三角值。
數學之橋
阿拉伯人對古代數學的貢獻，早現在人們最熟悉的1、2、…9、0十個數字，稱為阿拉伯數字。但是，在數學發展過程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希臘和印度的數學，並將它傳給歐洲，架起了一座“數學之橋”。
在算術上，阿拉伯人采用和改進了印度的數字記號和進位記法，也采用了印度的無理數運算，但放棄了負數的運算。代數這門學科的名稱就是由阿拉伯人發明的。阿拉伯人還解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，並且用幾何圖形來解釋它們的解法。如對於方程x2+10x=39，他們的幾何解法如下：作一個正方形，假定它的邊長為未知數x，然後在經四邊上，向外作x=52的矩形。將整個圖形擴充成邊長為x+5的正方形，整個大正方形麵積等於邊長為x的正方形麵積與邊為52的四個正方形麵積及邊長各為x、52的四個矩形麵積之和。所以大正方形麵積是x2+4x×52×x+4×52×52，即x2+10x+25。因為x2+10x=39，所以大正方形麵積等於39+25即是64。因此，大正方形邊長等於8，而x就是8-252=3。阿拉伯人還用圓錐曲線相交來解三次方程，這是一大進步。
阿拉伯人還獲得了較精確的圓周率，得到了2π=6283185307195865，π已計算到17位。此外，他們在三角形上引進了正切和餘切，給出了平麵三角形的正弦定律的證明。平麵三角和球麵三角的比較完整的理論也是他們提出的。
阿拉伯數學作為“數字之橋”，還在於翻譯並著述了大量數字文獻，這些著作傳到歐洲後，數字從此進入了新的發展時期。
數學的搖籃
巴比倫人和古埃及人積累了許多數學知識，但他們隻能回答“怎麼做”，卻無法回答“為什麼”要這麼做的道理。古希臘人從阿拉伯人那裏學到了這些經驗，進行了精細的思考和嚴密的推理，才逐漸產生了現代意義上的數學科學。
第一個對數學誕生作出巨大貢獻的是泰勒斯。他曾利用太陽影子計算了金字塔的高度，實際上就是利用了相似三角形的性質。他弄清了：直角彼此相等；等腰三角形的底角相等；圓被任一直徑平分；如果兩個三角形有一邊及這邊上的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形全等；而且證明了這些知識。這些知識現在看起來很簡單，但在當時是非常了不起的。
在泰勒斯之後，以畢達哥拉斯為首的後批學者對數學作出了貢獻。他們最出色的成就之一是發現了“勾股定理”，在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”。正是用了這一定理，後來導致了無理數的發現，引起了第一次數學危機。
稍晚於畢達哥拉斯的芝諾，提出了四條著名的悖論，對以後數學概念的發展產生了重要的影響。
經過泰勒斯到芝諾等人的努力，古希臘的數學有了全新的發展。歐幾裏德吸取其中的精華，寫成了《幾何原本》這本在數學史上最有名的著作。今天人們所學的平麵幾何學知識，都來源於這本書。
繼歐幾裏德之後，阿基米德開創了希臘數學發展的新時期，人們稱之為亞曆山大時期，阿基米德在數學方麵的工作，遠遠超越了他那個時代，被後人稱為“數學之神”。他設計過一種大數體係，即使整個宇宙都填滿了細小的砂粒，也可以毫不費力地把砂子的粒數數出來。他通過作邊數越來越多的內接正多邊形、外切正多邊形，算得了圓周率的值在31071到317之間。他得到了求麵積和求體積的公式，還發明了以他名字命名的螺線。
在阿基米德之後，古希臘的數學更加側重於應用。在天文學發展的促進下，希帕恰斯、梅尼勞斯、托勒密創立了三角學。尼可馬修斯寫出了第一本專門的數論典籍——《算術入門》，丟番圖則係統地研究了各種方程，特別是各種不定方程。這樣，初等數學的各個分支——算術、數論、代數、幾何、三角全部建立了起來，這意味著，由巴比倫人、古埃及人孕育的數學“嬰兒”，終於在古希臘的搖籃中誕生了。
幾何學的奧秘
兩三千年前，古埃及人生活在尼羅河兩岸，生產力很發達，大片大片的土地被開發。但是，人類無法與大自然抗爭，當時的人們對洪水束手無策。每年，當夏秋季節尼羅河泛濫時期，河兩岸的田地就有不少被洪水淹沒或因河床改道，好端端的一塊農田就會被吞沒一塊。每到這時，就會有幾個聰明的埃及人拿著木棍繩子又比又量，準確地計算法老租給人們土地麵積的變化。漸漸地，埃及人積累了不少計算麵積的公式。如：
矩形：A＝ab（其中A是麵積，a是長，b是寬。）
三角形：A＝ah／2（其中a是邊長，h是高。）
另外，還能計算出梯形麵積。而當時計算圓形麵積的公式（8d／9）2，和如今的計算公式極為相近。
但是，當時的人們還沒有把這些公式命名為幾何學。
到了公元前320年，有一位叫作歐德謨的學者，根據埃及人的經驗，寫了一本《幾何學的發展史》。這部書隻有殘篇傳到了現在。又過了大約20年，古希臘出了一位叫歐幾裏得的人，他根據前人的經驗，經過自己的計算推理，寫出了一本共13篇的《原本》（又稱《幾何原本》）。這是人類第一次出現的“幾何”概念。