7.1灰色模型的數學原理
灰色係統理論與方法的核心是灰色動態模型[107]，其特點是生成函數和灰色微分方程。
灰色模型建模機理為：
（1）把原始數據加工成生成數。
（2）對殘差(模型計算值與實際值之差)修訂後，建立差分微分方程模型。
（3）基於關聯度收斂的分析。
（4）GM模型所得數據須經過逆生成還原後才能使用。
灰色動態模型是以灰色生成函數概念為基礎，以微分擬合為核心的建模方法。灰色係統理論認為：一切隨機量都是在一定範圍內變化的灰色量和灰過程，對於灰色量的處理不是尋求它的統計規律和概率分布，而是將雜亂無章的原始數據列，通過一定的方法處理，變成比較有規律的數據序列，再建立模型[108]。
若給定原始數據序列：
這些數據多為無規律的、隨機的、有明顯的擺動，若將原始數據列進行一次累加生成，獲得新的數據列：
其中：
新生成的數據列為一條單調增長的曲線，增加了原始數據列的規律性，而弱化了波動性。
灰色建模思想是直接將數據序列轉化為微分方程，從而建立抽象係統的發展變化動態模型。建立的GM(h，n)模型，是微分方程的連續函數模型，括號中的h表示方程的階數，n表示變量的個數。即：
則微分方程的係數向量：
7.2灰色係統建模方法
灰色係統理論在建模過程中一方麵提倡尊重原始數據，而又不拘泥於原始數據，並允許對研究對象的實驗、觀測、統計數據進行必要的調整和修正；另一方麵，需要的數據量較小，卻可以達到一定的模擬精度。
7.2.1GM(1,1)模型
灰色係統理論的核心模型GM(1，1)模型是最常用的一種灰色模型，它是由一個隻包含單變量的一階微分方程構成的模型。
7.2.2模型比較分析
金剛石木工刀具電火花磨削參數研究是針對多變量因素的研究，所以需建立多變量預測模型。GM(l，N)模型屬於多變量狀態方程，但是，如果要建立多因素預測模型，則必須按第一個變量超前其餘變量滯後的關係建立模型，這樣會造成預測精度較低。因此，GM(l，N)不適於預測模型的建立。
GM(l，N)雖然反映的是第一個變量的變化規律，但是每一時刻的這一變量的值都依賴於其他變量在該時刻的值，如果除它以外的其他變量的預測值未求出，則該變量的預測值不可能得到。因此，適合於預測的模型應該是單個變量的模型，應該是預測量本身的模型。
所以，通過兩種模型的比較分析，本文在GM(1,1)模型和GM(1,N)模型基礎之上，提出了多變量灰色預測模型[109]。多變量灰色預測模型是GM(1,1)模型在N元多變量情況下的推廣，但不是GM(1,1)模型的簡單組合，也不同於GM(1,N)模型隻建立1個N元一階微分方程，而是建立N個N元微分方程，通過聯立求解，使所得的模型參數能滿足多變量的相互關係，最終使預測的值更符合實際。
7.3基於多變量灰色組合模型
GM模型具有弱化序列隨機性、發掘係統演化規律的獨特功效，它對一般模型具有很強的融合力和滲透力，因此，將GM模型融入一般模型建模的過程中，能夠實現模型間的功能互補，能夠使預測精度大大提高[110]。
所以，本文針對金剛石木工刀具電火花磨削的實際情況，利用單變量GM(1，1)模型在多變量情況下，提出多變量灰色預測模型，對傳統的多元線性回歸分析方法進行改進，建立了多元線性回歸模型的一種改進模型。應用改進模型對實例進行預測，由結果說明改進後的組合模型的預測效果和預測精度優於原始模型。
假設原始數據矩陣為：
7.4.2模型精度檢驗
預測模型得到的預測值必須經過模型精度檢驗，才能確定其預測精度等級。常采用後驗差檢驗準則檢驗，即使用後驗差比值和小誤差概率兩個指標綜合評判模型的精度，具體指標7-3。
後驗差比值：
（1）脈衝寬度實際值與擬和值的比較曲線7-1所示，殘差數值在表7-4中列出，其中=16。
通過灰色組合模型和多元線性回歸模型的驗證比較，從表7-17、7-18中的誤差可以明顯看出，灰色組合模型各個預測值的相對誤差均比多元線性回歸模型要低，因此，可以認為灰色組合模型的精度更高，其抗幹擾性和隨機性也比線性模型要好。