問題
灌水問題的經典形式是這樣的：
“假設有一個池塘，裏麵有無窮多的水。現有2個空水壺，容積分別為5升和6升。問題是如何隻用這2個水壺從池塘裏取得3升的水。”
當然題外是有一些合理的限製的，比如從池塘裏灌水的時候，不管壺裏是不是已經有水了，壺一定要灌滿，不能和另一個壺裏的水位比照一下“毛估估”（我們可以假設壺是不透明的，而且形狀也不同）；同樣的，如果要把水從壺裏倒進池塘裏，一定要都倒光；如果要把水從一個壺裏倒進另一個壺裏，也要都倒光，除非在倒的過程中另一個壺已經滿了；倒水的時候水沒有損失（蒸發溢出什麼的）等等。
解答方式
要解決上麵這題，你隻要用兩個壺中的其中一個從池塘裏灌水，不斷地倒到另一個壺裏，當第二個壺滿了的時候，把其中的水倒回池塘裏，反複幾次，就得到答案了。以5升壺（A）灌6升壺（B）為例：AB0050A→B0555A→B4640A→B0454A→B36。
現在我們問，如果是多於2隻壺的情況怎麼辦（這樣一來就不能用上麵的循環倒水法了）？如何在倒水之前就知道靠這些壺是一定能（或一定不能）倒出若幹升水來的？試舉數例：（1）兩個壺：65升和78升，倒38升和39升。
（2）三個壺：6升，10升和45升，倒31升。
我們可以看到，在（1）中，65=5×13，78=6×13，而39=3×13。所以如果把13升水看作一個單位的話（原題中的“升”是沒有什麼重要意義的，你可以把它換成任何容積單位，毫升，加侖——或者“13升”），這題和最初的題目是一樣的。而38升呢？顯然是不可能的，它不是13的倍數，而65升和78升的壺怎麼也隻能倒出13升的倍數來。也可以這樣理解：這相當於在原題中要求用5升和6升的壺倒出38/39升來。
那麼（2）呢？你會發現，隻用任何其中兩個壺是倒不出31升水的，理由就是上麵所說的，（6，10）=2，（6，45）=3，（10，45）=5，（這裏（a，b）是a和b的最大公約數），而2，3，5均不整除31。可是用三個壺就可以倒出31升：用10升壺四次，6升壺一次灌45升壺，得到1升水，然後灌滿10升壺三次得30升水，加起來為31升。
一般地我們有“灌水定理”：
“如果有n個壺容積分別為A1，A2，……，An（Ai均為大於0的整數）設w為另一大於0的整數。則用此n個壺可倒出w升水的充要條件為：（1）w小於等於A1＋A2＋……＋An；（2）w可被（A1，A2，……，An）（這n個數的最大公約數）整除。”
這兩個條件都顯然是必要條件，如果（1）不被滿足的話，你連放這麼多水的地方都沒有。（2）的道理和上麵兩個壺的情況完全一樣，因為在任何步驟中，任何壺中永遠隻有（A1，A2，……，An）的倍數的水。
現在我們來看一下充分性。在中學裏我們學過，如果兩個整數a和b互素的話，那麼存在兩個整數u和v，使得ua＋vb=1。證明的方法很簡單：在對a和b做歐幾裏德輾轉相除時，所有中間的結果，包括最後得到的結果顯然都有ua＋vb的形式（比如第一步，假設a小於b，記a除b的結果為s，餘數為t，即b=sa＋t，則t=（-s）a＋b，即u=-s，v=1）。而兩個數互素意味著歐幾裏德輾轉相除法的最後一步的結果是1，所以1也可以記作ua＋vb的形式。稍微推廣一點，如果（a，b）=c，那麼存在u和v使得ua＋vb=c（兩邊都除以c就回到原來的命題）。