《麟德曆》日躔表（部分）
這裏“躔差率”就是從冬至至小寒一氣之中太陽實際運行量比平均運行量多出的數，即SS′，“益”表示正（快），“損”表示負（慢），分母為1340，單位是天。“消息總”為“躔差率”的累積數，“息”為正，“消”為負。“先後率”是“躔差率”除以月速，即SS′月速，《麟德曆》以此來代替SS′月速-日速，即太陽改正值，其實這是不對的，誤差達8%，該曆取月速為89567，故先後率的算法為：
7221340÷89567541340
6181340÷89567461340
……
可見，先後率的分母也是1340，單位為天。盈朒積為先後率的累積數，盈為正，《朒》為負。
等間距二次內
插法的幾何原理對於用平均運動算得的任何一個平朔時刻來說，它不一定正好在冬至、小寒等等這些節氣上，而是距某一節氣有一距離，因此上述日躔表中的數據不能直接引用。中國古曆中一般用內插法來求某二個氣節之間的任一時刻太陽改正值是多少。隋以前曾用一次內插，即平均內插，隋以後改用二次內插法，《麟德曆》用等間距二次內插法，其幾何原理可解釋如下：A是冬至，B是小寒，H是大寒，梯形ABCD的麵積就是太陽實際行度比平均行度多出的量。F是冬至和小寒間的某一平朔時刻，梯形AFGD的麵積就是F點的“躔差率”。按梯形麵積公式：
SAFGD=12（AD+FG）·AF
由圖可知：AB=BH=μ（設一氣之長為μ天）
（SABCD+SBHKC）÷AH=BC
（SABCD-SBHKC）÷EC=ED
梯形ABCD是冬至氣躔差率（本氣率），梯形BHKC為小寒氣“躔差率”（後氣率），從日躔表中都可以查得，所以
BC=12μ（本氣率+後氣率）
ED=1μ（本氣率-後氣率）
用相似三角形的有關知識，可求得：
JG=EC-AFEC·ED=（1-AFμ）·ED
∵AD=BC+ED，FG=BC+JG
∴AFGD=12（AD+FG）·AF
=12[BC+ED+BC+（1-AFμ）·ED]·AF
=（BC+ED-12μ·AF·ED）·AF
根據這一公式就可以計算任何時刻的“躔差率”，進一步求得太陽改正值。
在《麟德曆》中，BC稱做末率，ED稱做總差，EDμ稱做別差，AD稱做初率，AF稱做氣朔距（即所求的某一個平朔到最近一個節氣的距離），AFGD稱做氣內改正。《麟德曆》認為，冬至前後日行速，一氣之間天數少，夏至前後日行遲，一氣之間的天數多，故有進綱16，退紀17的安排，總稱為綱紀。秋分後用進綱，每氣含16×1112天（14.67），春分後用退紀，每氣間含17×1112天（15.58），故式中的μ就叫做綱紀。按《麟德曆》原文可以列出求氣內改正的計算公式，結果為：
氣內改正=初率×氣朔距±12別差×氣朔距2
這就是我們上麵從梯形麵積而求得的公式。
式中本氣率大於後氣率時稱前多，用正號，反之稱前少，用負號。在公式推導中，一氣之間的天數是相等的，稱做等間距，上述式子就是等間距二次差內插法的公式。根據《唐書·曆誌》所述計算方法亦可得到這一公式。
月離
日躔表解決了計算太陽視運動不均勻引起的太陽改正值問題。月離表是解決月亮改正值問題的，各曆法中都給出了以近點月為周期的月離表，因為月亮視運動不均勻不是以朔望月為周期的。這首先就給計算增加了一個麻煩，即要先算出某一個平朔時刻距近點有多少天。按本章第二節的方法，設近點月的長度是D天，所求年冬至到上元有NA天，每過D天就是一個近點，所以：
（NA÷D）取餘數=g
g-d=h
h就是所求年十一月平朔到近點的距離。
下麵還是引用《麟德曆》月離表的一部分，解釋其計算方法。
《麟德曆》月離表（部分）
這一公式的推導是依據梯形麵積公式而來的。對於太陽視運動來說，其不均勻性較小，用直線梯形來做近似，誤差不大；但對月亮運動來說，用直線梯形來考慮隻能作為一級近似。因此，麟德曆的術文中又有一段求變率（即經辰變率）增減率（這一名詞述文中未出現，作者依述文暫起的名。其詳細算法參見劉金沂、趙澄秋：鱗德曆定朔計算法，《中國天文學史文集》第三集，科學出版社，1984年）的計算方法，其幾何原理如同上述，結果也頗為相似，這裏錄其結果而省去詳細推導，可參見所引論文。
變率增減率=[通率±（率差-率差總法×轉餘）]×變率總法
前多時取正號，前少時取負號。
其中轉餘=入餘±12變率
入變日是十四日以前取負號，十四日以後取正號。
總結前述幾個公式，得到求月亮改正值的計算方法：
月亮改正值=遲速積±經辰變率±變率增減率
右邊第一項是入變日整數部分的增減率總和，第二項是入變日整數天以後餘數部分（入餘）的增減率一次修正值，第三項為二次修正值。當然還可以再做三次、四次修正值，等等。
平朔時刻與定朔時刻之差是太陽改正值與月亮改正值二項，利用上節和本節求得這二項之後，再加到平朔時刻上以後就得到定朔時刻，這就是第三期曆法計算定朔的具體方法。
為明了起見，現舉一例，試計算龍朔三年（664年）十一月定朔。
查《麟德曆》，該年距上元269880年（N），回歸年長3653281340天（A），朔望月長297111340天（B），近點月長27743121340天（D），按公式計算：
a=（NA÷60）取餘數=269880×3653281340÷60｜餘=2401340
（冬至幹支，甲子）
b=（NA÷B）取餘數=269880×3653281340÷297111340｜餘
=133501340
ɡ=（NA÷D）取餘數=269880×3653281340÷27743121340｜餘=
27297121340
十一月平朔幹支=a-b=4612301340（庚戌）（不夠減時加60再減）
十一月平朔距近地點=ɡ-b=131287121340（不夠減時加D再減）
大雪節幹支=a-A24=2401340-15292561340=441287161340（戊申）
可見十一月平朔在大雪節後二日不足，約為二日，即氣朔距約為2.查日躔表知大雪節盈朒積為-54，屬於前少的情況，算得該氣初率5014.67，別差8（14.67）2，按公式算得：
氣內改正=初率×氣朔距-12別差×氣朔距26.7（朒）
太陽改正=盈朒積+氣內改正=-54+6.7=-47.3
十一月平朔的入變日為13，入餘為128712，該日遲速積為-223，算得通率129.5，率差17，屬於前少的情況，由公式（4.5）算得：
經辰變率=[129.5-（17-12×171340×128712]
×1287121340116
由公式（4.7）算得：
轉餘=入餘-12變率=122912
由公式（4.6）算得：
變率增減率=[129.5-（17-171340×122912）]×116134011
由公式（4.8）算得：
月亮改正=-223+116+11=-96
十一月定朔幹支=4612301340-47.31340-961340=461086.71340（庚戌）
這個時刻相當於戊初二刻，約19時28分。
對於民用曆法來說，計算定朔一般不用這樣的方法，而是簡單地用一次內插法來計算氣內改正和經辰變率，也不計算變率增減率，故計算工作變得比較簡單。仍用上例說明：
太陽改正=盈朒積+氣內改正=-54+54×215，]46.8
其中第二項的54是大雪氣的先後率，2是氣朔距，15是認為一氣約有15天。
月亮改正=遲速積+經辰變率=-223+121×1287121340-107
其中121是第十三日的增減率，128712是入餘。
十一月定朔幹支=4612301340-46.81340-1071340=461076.21340
這個結果同上麵計算的相差無幾。
晷漏和中星
晷是日影，漏是刻漏。由於太陽赤緯的變化，每日中午的影長不同，晝夜時刻的長短不同，冬夏至是兩個極點。冬至影最長，晝最短，夏至影最短，晝最長。步晷漏或作步軌漏術即是計算各節氣及一年中每一天的日影和晝夜長短的方法。顯然，這同太陽的去極度有關。中星是指晨昏時刻正處於南中天的星，由於太陽每天在恒星背影上東移，故每日同一時刻處於南中天的星不同，這跟太陽每日東移的量有關。它可以用中天的宿度表示，也可用晨昏的太陽距中天的度數（去中度）表示。在第一、二期曆法中就有相應的術文，但那時是用平均運動步算；第三期曆法，認識到太陽視運動的不均勻，故在計算中也開始用不均勻運動步算。
由於地球大氣對陽光的散射，日出前天已亮，日沒後過一段時間天才黑，這叫晨昏曚影。因此，晝夜漏的開始不是日出沒時刻。古曆一般規定日出前2.5刻為晝漏的起點，日沒後2.5刻為夜漏的起點。一天分100刻，又分十二辰，故1辰=813刻，一辰又分初、正二段，故每段為半辰=416刻，一天的起點是夜半，為子正，而十二辰從子初算起。所以對於日出日沒辰刻和晝夜漏的起點辰刻都需要化算。
刻漏與十二辰由於太陽在黃道上運動，太陽赤緯隨時變化，致使每日的晨前刻都不同，這就要借助步晷漏術。步晷漏術的名稱雖然從唐《大衍曆》才開始有，但《大衍曆》之前的曆法就有相應的算法，即使第一、二期曆法中也有晷漏中星表，按24節氣給出各氣初日的晨前刻或夜漏刻之半，還有陽城晷景長度，黃道去極度（即太陽去極度），昏去中星度（即昏中度），昏旦中星等內容。第三期曆法的表中又增加每日的陡降律和消息衰（或屈伸率、發斂差），各曆名稱不同，意思是指逐日的變化量和累積數，這是考慮太陽視運動不均勻的需要。
根據實際觀測，冬夏至晝夜漏刻之差為20刻，而太陽去極度為48度（黃赤交角為24度），按比例計算，太陽去極每差2.4度晝夜漏刻差一刻，所以，相鄰二氣晝夜漏刻差=2048×去極度差。刻差和去極度差兩項隻要知其一項，另一項即可求。《麟德曆》用屈伸率和每日的發斂差來累計刻差，求得每日刻差以後即可求每日的晨前刻和太陽去極度。
宇宙無限和天地成亡
盡管蓋天說和渾天說在我國有廣泛影響，它們都主張天體附綴在有形質的天蓋或天球上，但是關於宇宙無限的思想也在我國流傳。這類思想有的認為天是無形質的無限空間，如宣夜說；有的認為在有形質的天之外還有無限的宇宙，如張衡的《靈憲》。對於這無限的內容又包含有空間和時間二方麵，實際上就是時空無限的統一。
戰國時代，後期墨家的論述中具體講到了宇宙的時空含義，《墨經》曰：“宇，彌異所也。”《經說》解釋為：“宇，蒙東西南北。”《墨經》曰：“久，彌異時也。”《經說》解釋為：“久，合古今旦莫。”這裏久同宙，莫同暮，二句話的意思是說宇宙為空間和時間。戰國時代的屍佼也有類似看法，後人輯錄成書的《屍子》中提到：“上下四方曰宇，往古來今曰宙。”空間和時間的統一在於它們的緊密結合，《墨經》曰：“宇或徙，說在長宇久。”意思是說，空間的遷移（徙）使得時空都變化了（長）。《經說》的解釋是：“長宇，徙而有處，宇南宇北，在旦有在莫，宇徙久。”這個意思也就是空間的變化，遷移又靜止，或南或北，而時間上相應有早晚之變，結果是時空都變遷了。
張衡是著名的渾天說學者，他闡述了渾天說的天地結構，在作了“渾天如雞子，地如雞中黃”的比喻之後又說：“過此而往者，未知或知也。未知或知者，宇宙之謂也。”“宇之表無極，宙之端無窮。”他將宇宙和天地作了區分，在有形質的天地之外是未知或知的宇宙，而這宇宙是無極無窮的。這種無限觀雖然還不能同宣夜說相比，但主要是由於對我們日常所見的天空有局限認識所致，他將無限的宇宙與直觀感覺中的天地區別開來還是有一定現實意義的。
用現在的觀點來看，我們所見到的天空就是無限的宇宙，但古人對所見之藍天卻有自己的理解。他們認為自古所見之日月星在我們的天地之內，我們的這個天地之外還有另外的天地，在那裏是另一番世界。且看一段頗帶神話色彩的對話：
姑射謫女問九天先生曰：天地毀乎？
答曰：天地亦物也，若物有毀，則天地焉獨不毀乎？
問曰：既有毀也，何當複成？
答曰：人亡於此，焉知不生於彼？天地毀於此，焉知不成於彼也？
問曰：人有彼此，天地亦有彼此乎？
答曰：人物無窮，天地亦無窮也。譬如蛔居人腹，不知是人之外更有人也；人在天地腹，不知天地之外，更有天地也。故至人坐觀天地，一成一毀，如林花之開謝耳，寧有既乎？
這則小故事包含了豐富的思想，這裏承認，天地是物質的，天地有成毀之演變過程，天地是宇宙中的一個局部區域，天地之外更有天地，宇宙中有無限的天地。由於這無限天地的不斷成毀，構成了宇宙的無限。
“或問天地有始乎？曰：無始也。天地無始乎？曰：有始也。未達，曰：自一元而言，有始也；自元元而言，無始也。”《豢龍子》的這段話也表達了上述思想。
盡管在古代尚沒有近代科學的理論武裝，古人對天地起源和演化的論述缺乏理論基礎，隻能停留在思辨的範疇內，但他們用變化的眼光來看待天地，用無限的概念來對待具體事物的演變，確實包含著樸素辯證的思想因素，成為中國古代宇宙理論的重要成就。
星名
當你翻看一張古星圖或打開前麵提到的《步天歌》，你馬上會為各種古星名而眼花繚亂。如果你還知道一些現代星座的名字，你也馬上會感到這兩者有多麼明顯的不同！是的，中國古星名同現代流行的星座是完全不同的兩個體係。
現在流行的星座和星名基本上是古希臘的體係。將全天分成若幹區域，每一區域就是一個星座，將該區域內的亮星按某種想像用線聯結起來，構成各種圖形，賦予各種名稱。目前通用的星座共88個。名稱多係各種動物和神話故事中的人物、用品。
中國古星名是一個龐雜的體係。這可能說明了這些星名的產生不是一時一地一人的作為，它綜合了不同時代、不同地域和不同人物的貢獻而成為這個樣子。
如果粗略地將中國古星名進行歸納，大體可有如下10大類。
生產生活用具類：北鬥、南鬥；箕、畢、弧矢、屏、天囷、天侖、天苑、天園、天廩、天船、天津、杵、臼、五車，等等；
人物類：人、子、孫、老人、丈人、農丈人、王良、造父、奚仲、織女，等等；
官職類：帝、太子、上衛、少衛、上丞、少丞、上將、次將、上相、次相、郎將、從官、幸臣、謁者、五諸侯、侯、虎賁、進賢、執法、攝提、禦女、七公、太尊、文昌、三公、九卿，等等；
軍事類：騎陣將軍、天大將軍、騎官、積卒、車騎、壘壁陣、天槍、座旗、參旗、左旗、右旗、軍井、軍市、軍南門、斧鉞、鐵锧、鉞、羽林軍，等等；
動物類：魚、龜、鱉、狗、天狗、天狼、狗國、野雞、螣蛇、天雞，等等；
國名地名類：魏、趙、中山、九河、河間、晉、鄭、周、秦、蜀、巴、梁、楚、齊、燕、南海、徐、東海、吳越、南河、北河，等等；
貿易類：列肆、屠肆、車肆、斛、帛度、天錢、酒旗、市樓，等等；
建築類：天街、天廟、天壘城、南門、天門、天關、離宮、器府、車府、天廚、廁、靈台、明堂、長垣、羅堰、墳墓、天牢、神宮、天廄，等等；
自然類：月星、霹靂、雷電、雲雨、積水、梗河、天陰，等等；
其他類：阿星、耀、常陳、玄戈、平星、招搖、天饞、卷舌、附耳、傅說、伐星、四瀆、鉤鈴、長沙、建星、河鼓，等等。
當然，還有二十八宿的一組名稱。
命名，往往帶有某種含義，還同人們的經曆、思想、哲學邏輯有關。古人對天空很崇拜，給天星命名也會含有不同的意識，那眾多的官職名稱可能出自統治製度逐漸完善後的官員，而大量的生產生活用品名稱可能來源於廣大的原始勞動者之口。隨著人們對恒星的不斷認識，數量和名稱逐漸增長，形成了帶有中國特色的星名係統。
除了在書上看到的大量古星名，在我國各地民間還流傳著一些別名，這些別名往往同一些美麗的故事聯在一起。例如牛郎織女的故事，就同銀河兩旁的河鼓（牛郎）和織女星相關。河鼓三星和心宿三星還有另外的名稱，分別稱為石頭星和燈草屋。有一則故事說石頭和燈草分別是前娘和後娘生的兒子，後娘讓前娘生的兒子挑石頭，讓自己生的兒子挑燈草。這一天遇上了大雨和頂頭風，石頭既不吸水，受風的阻力也小，所以他順利地渡過河到達河東；而燈草吸足了水，分量又重、體積又大，大風頂著走不上前，仍遠遠落在河西。此外，尾宿的最後二星正在銀河邊，夏夜在南方天空閃亮，人們稱她們為姑嫂車水星，好像她們正利用夏夜的涼爽時刻辛勤地車水灌地哩！
冬夜星空中的昴星，民間稱為“七姐妹”星，鄂倫春人稱為“那裏那達”，意為七仙女。附近的畢宿稱為豬星，東邊的參宿稱“瑪恩”，是個妖精，畢參之間的小星是瑪恩的弓箭。這個妖精老想追上七仙女並要同她們結婚，而那頭豬就回頭拱它，因而瑪恩用弓箭去射豬頭，但因為沒對正，所以總射不著，它的目的也達不到，隻好永遠這樣呆在天上。在海南黎族人民中昴星稱為“多兄弟星”，即六個兄弟在一起，說另外還有一個小兄弟星，本來生活在一起，但六個哥哥都結婚後就誰也不養活小兄弟了。小兄弟看見月亮又大又亮，心想那裏一定有吃的，就跑到那裏去了，在那裏開荒種地蓋房子，還同一個仙女結了婚。六個哥嫂看見小兄弟富裕起來了，就叫他們回去，但小兄弟不喜歡這些無情無義的兄嫂，無論如何也不回去，所以昴星裏隻看見六個星。在中原地區，昴星在大地回暖季節的早晨高懸南天，催促人們及早春耕，故也被稱為犁星和犁頭星。
從上述故事可見，天文學從古老的時候起，就同人們的生產活動和日常生活緊緊相聯。給星辰命名，也反映了人們的辛勤勞動，對美好的追求，對邪惡的憎惡和反抗，這是多麼真摯而樸素的情感啊！
古日食與地球自轉
自古以來，人們用一天作為計量時間的基準，這就是地球自轉一周所需的時間。在這樣做的時候大家不自覺地承認地球自轉周期是不變的。但從18世紀以來的天文觀測中就已發現了這一問題，隨著計時測時科學的發展，20世紀終於確認了地球自轉是不均勻的，因此以地球自轉作為計算時間的傳統觀念發生了動搖，天文學上不得不用均勻的時間係統來做基準，出現了曆書時和原子時係統，以區別於用地球自轉而確立的世界時。不過由於民用時的要求不必那麼精確，所以人們日常使用的是一種協調世界時。
地球自轉不均勻表現為三種變化，一是長期減慢，二是不規則變化，三是周期性變化。
長期減慢是逐漸累積的，由於地球自轉變慢，一天的長度在增加，古時候一天較短，現代較長。引起地球自轉長期減慢的主要原因是潮汐摩擦，因為潮汐總是逆著地球自轉的方向，它使地球自轉的角動量減少，而因地月係角動量守恒，故月亮逐漸遠離地球，月亮繞地球的公轉周期變長，根據古珊瑚化石和淺海裏一種鸚鵡螺化石生長線的研究，發現日長和朔望月長度在曆史上的情況。
由於上述時間的累積差，必然使我們按現今的日長而計算的古代日食同古代實際觀測的情況產生差別，這一差別有二種表現形式，一是全食帶的經度東移，二是某地食甚時刻推遲。這一現象在上世紀末德國天文學家奧泊子等人編算《日月食典》時已經發現，但那時人們對地球自轉長期減慢的現象尚不清楚，他們隻能按實際情況做些經驗性的修正。
20世紀20年代天文學家福瑟林厄姆和德西特想到可利用古代日食記錄來求觀測時刻與計算時刻的積累差值，進而探索日長增加的規律。他們隻收集到古巴比倫和古希臘的5次日全食資料，得到的結果雖比現代測定值大了幾乎近一倍，但這畢竟開拓了這一領域的研究方法。1939年，瓊斯利用200多年來行星和太陽的觀測資料從理論上求出地球自轉的相對變化，發現日長的增加大約每世紀0.0016秒。這一數據為許多人公認，研究工作暫告一段落。
由於這一係列因素，古代的日食記錄再次受到重視，因為這畢竟是一種有別於現代觀測的資料。1969年以後，羅·牛頓、姆勒、斯蒂芬遜等人重新分析古代日食資料，尤其利用了9項中國漢代以前的古記錄，得到了大致跟現代測量一致的結果。牛頓認為，中國的古記錄非常可靠。
進行這一項研究，對中心食（日全食或日環食）隻要有見食地點或時刻就行。中國古代的日食記錄往往無見食地點的明確記載，但在曆代的都城都建有天文台，故可將見食地點定在都城。至於見食時間，由於古代的時刻製度和計時精度都有誤差，給研究工作帶來困難，但是隻要記錄日足夠古老，就可以降低相對誤差。從上麵的估算可見，古代記錄應選用公元600年以前的，最好選漢代之前的古日食記錄。
20世紀80年代初，北京天文台李致森、韓延本等人對春秋時代到初唐1400多年間的88次中心食記錄做了係統分析。他們用曆書時標準逐一計算出每次食的中心線，定出每次食中心線上與觀測地點緯度相同的點，該點的經度與觀測地點經度的差化成時間差，就是所求的計算值與觀測值的時間累積差值ΔT。這是因為曆書時標準的古代日食中心線與實際發生日食時地球表麵上的見食中心線之差主要表現在經度方麵，緯度方向的漂移較小。
他們繪出了88次日食的ΔT值隨時間的變化圖，可以看出越到古代Δt值越大的趨勢。這一趨勢就表示了地球自轉變慢的累積效應，據其平均值就可以求出地球自轉長期變慢的速率。將這一結果同最近200年來的天文觀測相比，發現同現今的值接近。
筆者曾從古代記錄的見食地點方麵分析，發現籠統地定為都城所在地會帶來ΔT值彌散過大的毛病，因而提出一種修正方案。經修正後可以降低彌散，改善計算結果。
應該指出，該問題的研究還隻是開始，要擬合一個較好反映曆史時期地球自轉速率變化的ΔT曲線還有待於利用更多的古代天象記錄和多種方法。上麵提到的隻是一種方法，即中心食法，而且隻用了見食地點一個參量。其實可以用來做此項研究的還有其他參量，如見食時刻，偏食的最大食分，月食、月掩星、行星衝時刻，春秋分和冬夏至時刻等，一般說來，對於地域性差異較強的天象，如中心食帶，行星掩星，月掩恒星等，可利用它們的記錄地點，對於可見地域廣大的天象，可利用它們的記錄時刻。當然如何利用這些古記錄，還有待理論研究和處理方法的提出，以及相應的計算技術。目前這一領域的研究正成為天文地球動力學研究的一個課題，大有發掘之必要。
彗星記錄
古代彗星記錄的整理研究尚有待進一步開展，目前的工作還僅在於確定哪些記錄屬於同一個彗星的若幹次觀測或同一個周期彗星的多次回歸。研究工作中對哈雷彗星的軌道和長期運動較為成熟，且得到了一些有趣的結果。