除此外，還有一個更深入的問題是，按照分支類型論的做法能真正建立起全部的數學理論嗎？當時，羅素滿足於從“邏輯”（按羅素理解的包含集合論的邏輯）出發去建立在他們之前已經發展起來的數學理論。他並沒有試圖去證明“所有的數學都可以在他們的係統中得到發展”。事實上，這一問題在後來希爾伯特的工作中才得到明確的表述和足夠的重視。這就是係統的完備性問題。數理邏輯的進一步發展（哥德爾的不完備性定理）則證明了，任何足夠豐富的無矛盾的形式係統都是不完備的，從而也就不可能從邏輯主義的係統發展出全部的數學理論——這都是後話了。
從更一般的角度說，邏輯主義試圖為數學奠定一個絕對可靠基礎的想法也是站不住腳的。事實上，他們的工作實質上隻是把關於整個數學理論真理性的考慮壓縮到集合論。然而，集合論無法做出純邏輯的解釋，因此邏輯主義者尋求數學基礎的基底就建立在關於集合的直覺上。這是用一種直覺代替另外的直覺（算術的直覺、幾何的直覺）。
“我所一直尋找的數學的光輝的確定性在令人困惑的迷宮中喪失了”；“尋找完美性、最終性和確定性的希望破滅了”，羅素本人最後承認道。
事實上，由於他們的努力是從抹殺數學與邏輯之間的質的區別開始的，這決定了他們的失敗是不可避免的。然而，雖然他們因數學哲學觀的錯誤，未能實現自己的目標，但其成員在數學和邏輯的發展中仍然做出了極為重要的貢獻。正如有人所評價的：
“不能由此以為邏輯主義是不結果實的花朵。應該記住兩件重要的事情。一件事情是數學的詞彙歸約成了一個令人驚奇的簡單的原始詞彙的表，而所有這些原始詞彙都屬於純邏輯的。另一件事是使現有的全部數學建立在一個比較簡單的統一的公理和推理規則的係統的基礎上。如果說……數學的原始基礎的歸納確實是可以通過不同的方法來實現，那麼無論如何，這個歸納的第一範例是由邏輯主義者完成的。”
“《數學原理》仍然是一個裏程碑式的成就，它一勞永逸地證明了，在一個符號邏輯係統中對數學進行完全的形式化是絕對可行的。類型論至今仍是數理邏輯中主要的係統之一。”
分支類型論是“人類思想迄今所建立過的最複雜的概念迷宮中的一個”。
確實，羅素等邏輯主義者的曆史功績是不可磨滅的。是他們為數學奠定了邏輯基礎，在一段時期內，《數學原理》是一部引導數學邏輯家的經典，至今它還有一定的意義。另外，正是由於他們的工作，數學基礎的研究深入了。這首先是指數學理論的係統化和公理化方法的研究：《數學原理》為全部已知的數學理論的係統化做出了一個樣板，而這為數學基礎問題的進一步研究，特別是為希爾伯特在這方麵的工作提供了必要的基礎。從這種意義上而言，後麵我們將要介紹的形式主義是對羅素邏輯主義的繼承與發展。
不過，我們還是暫時放下形式主義，看看按照曆史順序出現的一個與邏輯主義者針鋒相對的學派：直覺主義。
第二節直覺主義
當羅素為古典數學尋找一種邏輯基礎以避免悖論時，一位優秀的年輕數學家登場了，他說：這一切幾乎都是錯誤的，都應被拋棄。這位打算發動另一場從頭開始重建數學的人物就是荷蘭數學家布勞威爾。
布勞威爾(1881～1966)，出生於荷蘭北部港口鹿特丹附近的一個小鎮。他很早就顯露出與眾不同的才華：高中畢業僅僅兩年，他就掌握了進入大學預科所必需的希臘文和拉丁文。1897年，他考入阿姆斯特丹大學攻讀數學。進入大學後，他很快就掌握了當時通行的各門數學。大學時，布勞威爾接觸到了拓撲學和數學基礎，並且終身鍾愛它們。學習數學的同時，他還對哲學非常感興趣，尤其熱衷於研究神秘主義。1907年，他獲得了博士學位，他的博士論文題目是：“論數學基礎”。這是他攻讀博士學位期間，以極大的熱情注視羅素與龐加萊關於數學的邏輯基礎的論戰後做出的個人思考的小結。後來，這一論文成為闡述其直覺主義觀點的代表性著作。
布勞威爾的晚年在“莫須有的經濟顧慮和對疾病妄想的恐懼”中度過。1966年，85歲的他在穿過自家門前一條街道時被一輛車撞死。
在完成了博士論文後，布勞威爾決定暫時把他備受爭議的觀點擱置起來，把注意力集中到證明他的數學能力上。他選擇的競技場是當時剛剛興起的拓撲學領域。
1907～1912年這短短的幾年裏，布勞威爾完成了數量驚人的59篇論文，其中包括了許多重要成果，布勞威爾不動點定理就是這一時期他的重要貢獻之一。1910年，29歲的布勞威爾發表這一基本定理時，曾給大數學家希爾伯特留下了深刻印象。希爾伯特邀請這位看來前途無量的年輕人加入自己那份著名雜誌《數學年鑒》的編委會，後來希爾伯特對此後悔不已。
由於在拓撲學上的出色成就，布勞威爾成為享有世界聲譽的數學家。1912年，他被任命為阿姆斯特丹大學的數學教授，並被推選為荷蘭皇家科學院院士。但在1912年的就職演說上，出乎人們的意料之外，他不談他那頗為得意的拓撲學，反而大講他對數學基礎的新見解。其實，這意料之外的事也是情理之中。因為他隻不過是重拾幾年前的熱情罷了。
在1912年後的一段時間，布勞威爾在各種學術刊物上發表一係列論文，宣傳和論證自己的觀點，從而開創了數學基礎研究的直覺主義學派。
我們前麵已提到克羅內克可看做直覺主義的先驅。此外，我們多次提到的法國數學家龐加萊算是半直覺主義者，他同樣反對實無窮，反對實數集合，反對選擇公理，主要因為他認為根本不能進行無窮的構造。雖然在布勞威爾之前，克羅內克和龐加萊等已經提出了一些零散的直覺主義的意見。但直覺主義作為一種學派的形成，仍然要歸之於布勞威爾。
布勞威爾在數學上開創這一派別，是與他致力於哲學研究分不開的。他在一係列哲學論文裏，詳盡地闡述了他那具有高度個人特色的哲學見解，而他正是從這樣的哲學出發，批判了先前的數學賴以建立的基礎。
在1907年的論文中，布勞威爾從哲學的立場對邏輯做出評論。他指出，邏輯是從數學派生出來的。他指出，邏輯隸屬於語言，邏輯法則的用處是導出更多的陳述；然而，邏輯絕不是揭示真理的可靠工具，用其他辦法不能得到的真理，用邏輯也照樣不能推導出來。布勞威爾有一個著名的論斷：是邏輯依賴數學，而不是數學依賴邏輯。在他看來，邏輯不過是一種具有特殊的一般性的數學定理。也就是說，邏輯隻是數學的一部分，而絕不能作為數學的基礎。邏輯主義者關於邏輯和數學關係的斷言在直覺主義者這裏完全被顛倒過來了。
在斷然否定了邏輯是人們站立的基地之後，布勞威爾對數學的可靠基礎給出了與邏輯主義立場直接相對立的回答：隻有建立在“數學直覺”之上的數學才是真正可靠的。在他這裏，直覺取代了邏輯而成為數學的基礎。
如何理解這種數學直覺呢？布勞威爾認為這種直覺來自於時間。他強調了“短暫感覺”，認為它是數學的發端：自我從“短暫感覺”中分離出了不同的感受。這種“短暫感覺”乃是某一生活瞬間分解成不同質的兩部分，其中一部分比另一部分先退出了生活，但它們仍然留在記憶裏。數學最基礎的直覺就是這樣的短暫感覺的結構的抽象——拋棄了一切內容的數學抽象。於是，從原始的數學直覺中可以產生所有的有限序數，即潛無限意義下的自然數。
由於確信數學的基礎在於數學直覺，而自然數又恰來自於這種直覺。因此，布勞威爾以自然數理論，而不是以集合論為基礎來開展他的數學理論。
從直覺主義立場出發，在數學基礎研究方麵，布勞威爾采取的是激進的立場。在他看來，已有的數學並不都是可靠的。必須按照某種更為嚴格的要求對此進行全麵的審查。而且，應當毫不猶豫地舍棄那些“不可靠”的概念和方法，代之以新的“可靠”的概念和方法。直覺主義的主要特點就在於：“我們借助於可信性進行思考。”
在直覺主義眼中，什麼才是“可靠”的概念和方法呢？
布勞威爾的回答是：數學概念在“主觀直覺上的可構造性”是數學理論可靠性的唯一標準，真正的數學意味著能夠通過數學直覺得到構造。從直覺主義觀點出發，布勞威爾聲稱數學的對象是從理智的構造得來的，他堅持所有的定義和命題都必須通過構造來實現，指出數學證明應要求在有限步可以確定到任何需要的精度。在這種觀點下，直覺主義者提出了自己的著名口號：“存在必須等於被構造。”
在他們看來，悖論在集合論中的出現，並不是一件偶然的事情，也不可能通過小修小補就能奏效。它實質上是整個數學所感染的疾病的一個症狀，這種疾病表明已有數學的“不可靠性”問題不能通過局部修改和限製完成，而必須依據“可信性”的標準對全部已有數學進行徹底的審查和改造。
直覺主義批判鋒芒之所向，許多已有的數學成果、數學方法、傳統邏輯法則等都成了被質疑的對象。
布勞威爾否定排中律的有效性。他指出，排中律——間接證明方法的基石——是從有限集合抽象出來的，不能無限製地使用到無窮集合中。這樣所有純粹“存在性的證明”在直覺主義者看來都成了被拒絕的對象。
在無限問題上，他承認潛無限，而不承認實無限。而且，他認為數學無窮集合隻有一個基數，即可數無窮，超窮數是胡說八道。
由於堅持構造性的立場，由於對傳統邏輯法則普遍有效性和實無限概念與方法的否定，直覺主義對於已有數學知識的大部分采取否定態度。它的否定範圍是如此廣泛，以致如果接受這種觀點，那麼已有的數學知識將“支離破碎”。但是，直覺主義者認為，這是使數學合理化的必要的一步。
不過，直覺主義者並不僅僅是“批判者”，而且也是建設者。他們力圖按照他們認為最終可接受的形式來重建數學，即按照“構造性”的標準重建數學。為了從自然數理論出發開展其數學，關鍵的第一步在於如何依據構造性的標準建立實數理論，以便為微積分理論提供一個可靠的直覺基礎。布勞威爾通過提出“實數生成子”，特別是在1918年引進“展形”概念完成了這一工作，對此人們給予了很高評價。不過，直覺主義的目標卻遠遠沒有實現。
另外，在數學基礎方麵，以“直覺上的可構造性”作為數學思想“可信性”的唯一標準也是行不通的。直覺在本質上是主觀的和易謬的，因此，它不可能成為客觀數學知識的可靠基礎。事實上，對什麼是“直覺上可構造的”這一根本性問題甚至在直覺主義者之間就存在著不同的理解。
在按照自己的綱領對數學進行重建方麵，直覺主義者取得了一些成果。這些成果在當作古典數學的補充時，是有益的。然而如果像布勞威爾那樣，堅持隻有這樣的成果才是可靠的，那麼數學將喪失它極為可觀的寶貴財富，這是絕大多數數學家所無法接受的。在當時，布勞威爾並沒有使多少人皈依。好在，這其中有一位大名鼎鼎的人物：外爾。他是希爾伯特的得意門生，也是20世紀最偉大的數學家之一。外爾當時確信，維爾斯特拉斯等已經建立的處理極限過程的基礎是不可靠的，整個大廈“都建立在沙堆之上”。這個懷疑數學基礎的人，在與布勞威爾進行了一次深談後，受到了布勞威爾的蠱惑。他宣稱：“……布勞威爾，這就是革命。”
一場革命？
“外爾和布勞威爾的所作所為歸根結底是在步克羅內克的後塵！他們要將一切他們感到麻煩的東西掃地出門，以此來挽救數學，並且以克羅內克的方式宣布禁令。但這將意味著肢解和破壞我們的科學，如果聽從他們所建議的這種改革，我們就要冒險，就有可能喪失大部分最寶貴的財富。外爾和布勞威爾把無理數的一般概念、函數甚至是數論函數、康托爾的超限數等等都宣布為不合法。無限多個自然數中總有一個最小的數，甚至是邏輯上的排中律，比如斷言或者有有限多個素數，或者有無限多個素數：這些都成了明令禁止的定理和推理模式。我相信，正如克羅內克不能廢除無理數一樣……外爾和布勞威爾今天也不可能獲得成功。不！布勞威爾的綱領並不像外爾所相信的那樣是在進行什麼革命，他隻不過是在重演一場有人嚐試過的暴動，這場暴動在當初曾以更凶猛的形式進行，結果卻徹底失敗了。何況今日，由於弗雷格、戴德金和康托爾的工作，數學王國已經是武裝齊備，空前強固。因此，這些努力從一開始就注定遭到同樣的厄運。”